СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Критерий устойчивости Рауса-Гурвица

Проблема устойчивости издавна волновала умы многих ученых и инженеров. Впер­вые вопрос устойчивости динамических систем был исследован Максвеллом и Вышнег­радским. В конце XIX века А. Гурвиц и Э. Дж. Раус независимо друг от друга опублико­вали работы, посвященные методу анализа устойчивости линейных систем. Метод Рау­са-Гурвица позволяет ответить на вопрос об устойчивости путем анализа характеристи­ческого уравнения системы, записанного в виде

A(s) = g(s) = altsn + а„_ ts"~ 1 + ... + ats + а0 = 0 . (6.3)

Для ответа на поставленный вопрос необходимо установить, находится ли хотя бы один из корней этого уравнения в правой половине 5-плоскости. Уравнение (6.3) можно

записать в виде произведения сомножителей:

a, is - r,)(s - r2) ... (s - r„) = 0, (6.4)

где через г, обозначен і-й корень характеристического уравнения. Перемножение скобок приводит к результату:

q(s) = а,/' - а,/г, + г2 + ... + г„>”_ 1 + а„(г, г2 + гггъ + г, г3 + ... >”“2 -

- агкгг2гг + гхг2г4 + ... У~3 + ... + а„(-1)"г,/уз... г„ = 0 . (6.5) Иначе говоря, для уравнения п-й степени можно записать:

q(s) = alfs" — я„(сумма всех корней).?” “ 1 +

+ а„(сумма произведений всех корней, взятых по 2)sn ~2 -

- а„(сумма произведений всех корней, взятых по 3)sn~3 + ...

+ я„(-1)”(произведение всех и корней) = 0 . (6.6)

Анализ уравнения (6.5) показывает, что если все корни расположены в левой полу­плоскости, то все коэффициенты характеристического полинома должны иметь один и тот же знак. Необходимо также, чтобы все коэффициенты были отличны от нуля (если си­стема устойчива). Однако эти условия являются лишь необходимыми, но не достаточны­ми. Это означает, что если данные условия не выполняются, то сразу можно сказать, что система неустойчива; но если даже эти условия выполняются, то для ответа на вопрос об устойчивости системы необходимы дальнейшие исследования. Например, если характе­ристический полином имеет вид

q(s) = (.9 + 2 )(s2 - s + 4) = s3 + s2 + 2s+S, (6.7)

то система является неустойчивой, хотя все коэффициенты полинома положительны.

Критерий Рауса-Гурвица дает необходимое и достаточное условие устойчивости линейных систем. Первоначально он был предложен в форме определителей, но мы при­ведем его в более удобной табличной форме.

В основе критерия Рауса-Гурвица лежит упорядочение коэффициентов характери­стического уравнения

(6.8)

,s” 2 + ... + a{s + а0 = О

в виде следующей таблицы:

ип “л-2 п-4 -

1 ап-Ъ ®и-5 ■

Следующие строки таблицы образуются по приведенному ниже правилу:

и ил-2 “п-4 °п-1 ап-3 &п~5 К- *л-3 ^п-5

и—I •'л - 3

н~4

^/7-1 ^гг—5

°И-1

^п-1

У»-1

и т. д. Алгоритм вычисления элементов таблицы можно построить на основе определите­лей или на основе выражения для Ь„_х.

Критерий Рауса-Гурвина утверждает, что число корней полинома q(s) с поло­жительной действительной частью равно числу изменений знака в первом столбце таблицы Рауса.

Этот критерий требует, чтобы для устойчивой системы в первом столбце таблицы Рауса не было изменений знака. Данное условие является и необходимым, и достаточ­ным.

Необходимо рассмотреть четыре различных случая, относящихся к виду первого столбца таблицы, причем для каждого из них в отдельности должны быть указаны специ­фические правила вычисления элементов таблицы. Эти частные случаи таковы:

1. В первом столбце нет ни одного нулевого элемента;

2. В первом столбце имеется нулевой элемент, но некоторые другие элементы строки, содержащей нуль в первом столбце, отличны от нуля;

3. В первом столбце имеется нулевой элемент, и все остальные элементы соответству­ющей строки также равны нулю;

4. Тот же случай, что и (3), но характеристический полином имеет кратные корни на мнимой оси.

Проиллюстрируем эти случаи несколькими примерами.

Случай 1. В первом столбце нет ни одного нулевого элемента

Пример 6.1. Система второго порядка

Характеристический полином системы второго порядка имеет вид:

Составим таблицу Рауса:

где

Следовательно, условие устойчивости системы второго порядка сводится к тому, чтобы все коэффициенты характеристического полинома были положительными или отрицательными.

Пример 6.2. Система третьего порядка

Характеристический полином системы третьего порядка имеет вид:

q(s) = a3s3 + a2s2 + a + а0 .

где

Ьуа0

Ь = ЪЕ-Ш и с,=

°2 k

Для устойчивости системы третьего порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффици­енты были положительны и выполнялось неравенство а2ау > а^ру При и2их = айаъ система на­ходится на границе устойчивости и пара корней расположена на мнимой оси. Эта предельная ситуация соответствует случаю (3), поскольку в первом столбце таблицы Рауса оказывается нулевой элемент, а второй элемент этой строки также равен нулю. Данный случай будет про­иллюстрирован позже.

В заключение рассмотрим характеристический полином, который не дает нулевых элементов в первом столбце таблицы Рауса:

ф) =0-1+ //7)0 -1 - j-Jl)0 + 3) = s3 + s2 + 2s + 24 . (6.9)

Этот полином удовлетворяет необходимым условиям, т. к. все коэффициенты существуют и являются положительными. Составив таблицу Рауса, мы получим:

-3 1 2 1 24

-22 О 24 0.

Поскольку в первом столбце дважды происходит изменение знака, то мы приходим к выводу, что два корня q(s) расположены в правой половине s-плоскости; это подтверждает и фактори­зованное представление полинома q(s) в выражении (6.9).

Случай 2. В первом столбце имеется нулевой элемент, но некоторые другие эле­менты строки, содержащей нуль в первом столбце, отличны от нуля. Если только один элемент первого столбца равен нулю, его можно заменить малым положительным числом є, которое после завершения таблицы необходимо устремить к нулю. Например, рассмотрим следующий характеристический полином:

ф) = s5 + 2 s4 + 2si + 4s2 + 1 Is + 10. (6.10)

Таблица Рауса принимает вид:

4є-12 -12 , 6q - 10е,

raeq =------------- =------ и а1 =--------------- >6.

ЕЕ С[

В первом столбце дважды происходит изменение знака из-за наличия бесконечно бо­льшого отрицательного числа сх = -12/б. Следовательно, система является неустойчивой, а два корня полинома q(s) расположены в правой полуплоскости.

Пример 6.3. Неустойчивая система

В качестве еще одного примера на случай (2) рассмотрим характеристический полином

q(s) = s4 + s3 + s2 + s + K, (6.11)

где необходимо определить коэффициент К, при котором система будет находиться на грани­це устойчивости. Составим таблицу Рауса:

1 1 1 1

Е К

О О

К О О,

е-К

где q =

Е Е

Отсюда следует, что при любых положительных значениях К система является неустойчивой. Кроме того, поскольку последний элемент в первом столбце равен К, то и отрицательные зна­чения К также будут соответствовать неустойчивой системе. Значит, данная система неустой­чива при любых значениях К.

Случай 3. В первом столбце имеется нулевой элемент, и все остальные элемен­ты соответствующей строки также равны нулю. Этот случай имеет место, когда все элементы какой-либо строки равны нулю или когда строка состоит из одного элемента, равного нулю. Такое возможно, если корни характеристического полинома расположены симметрично относительно начала координат s-плоскости, например, если полином со­держит сомножители (s + a)(s - а) или (s + ja>)(s - /со). Возникающую при этом проблему можно обойти путем использования вспомогательного полинома U(s), который образу­ется из элементов строки, предшествующей нулевой строке таблица Рауса. Порядок вспо­могательного полинома является четным и равным количеству симметричных корней. Проиллюстрируем сказанное на примере характеристического полинома

<7(s) = s3 + 2s2+4s + K, (6.12)

где К — варьируемый коэффициент. Составим таблицу Рауса:

Чтобы система была устойчива, должно выполняться условие 0 < К < 8. При К= 8 два корня расположены на мнимой оси и система находится на границе устойчивости. Заме­тим, что при К=Ъ мы получаем строку, состоящую из нулей. Вспомогательный полином U(s) образуется с помощью элементов предшествующей строки, т. е. строки, соответству­ющей s2. Напомним, что эта строка образована коэффициентами при четных степенях s, следовательно, в данном случае

Чтобы показать, что вспомогательный полином действительно входит сомножите­лем в характеристический полином, разделим q(s) на U(s):

s3 + 2s2 + 4s +8 j 2s" + 8

53 +4 s y2s+1

2s2 +8

2s2 +8

0

При К = 8 характеристический полином представляется в виде сомножителей:

<?(s) = (s + 2)(s +J2)(s - j2). (6.14)

Очевидно, что система находится на границе устойчивости, а ее реакция имеет вид незатухающих колебаний.

Случай 4. Характеристический полином имеет кратные корни на миимой оси. Если корни характеристического уравнения, расположенные на мнимой оси, являются простыми, то система не является ни устойчивой, ни неустойчивой — говорят, что она на­ходится на границе устойчивости, т. к. в ней возникают незатухающие синусоидальные колебания. Если же корни на мнимой оси являются кратными, то реакция системы будет расходящейся, вида /[sin(m/ + V|/)]. В этом случае критерий Рауса-Гурвица данный вид не­устойчивости обнаружить не может.

Рассмотрим систему с характеристическим полиномом

q{s) = (s + l)(s + j)(s - j)(s + j)(s - J) = s5 + s4 + 2s3 + 2s2 + s + 1.

Таблица Рауса имеет вид:

s5

s4

s3

s2

s°

где e -> 0. Заметим, что отсутствие перемены знака в первом столбце ошибочно указывает на то, что система находится на границе устойчивости. Однако импульсная переходная ха­рактеристика системы возрастает со временем по закону t sin(f + vj/). Вспомогательные по­линомы для s2 и s4 равны соответственно (s2 + 1) и (s4 + 2s2 + 1) = (s2 + I)2, что указывает на наличие кратных корней на мнимой оси.

Пример 6.4. Управление роботом

К 2000 году во всем мире в эксплуатации находилось около 100 000 роботов. На рис. 6.4 изоб­ражен шестиногий микроробот, каждая нога которого обладает высокой подвижностью и управляется регулятором с большим коэффициентом усиления. За счет этого соответствую­щая система управления может стать неустойчивой, и в ней возникнут незатухающие колеба­ния. Характеристический полином системы имеет вид:

Составим таблицу Рауса:

s^ 14 3

s4 1 24 63

s3 -20 -60 0 s2 21 63 0

s' ООО.

Вспомогательный полином

U{s)= 21s2 + 63 = 21(s2+ 3) = 21(s+ jS)(s-jS) (6.16)

указывает на то, что два корня находятся на мнимой оси. Чтобы определить положение осталь­ных корней, разделим q(s) на вспомогательный полином:

= s3 + s2+ S+ 21.

s + 3

Составляя таблицу Рауса для этого полинома, получим:

s3 1 1

s2 1 21

s1 -20 0

s° 21 0.

Два изменения знака в первом столбце говорят о наличии двух корней в правой полуплоско­сти. следовательно система неустойчива. Эти корни имеют значения s = 1+ j-J6.

Рис. 6.5

Система

позиционирования наконечника сварочного узла

R(s) Заданное — положение

-Y(s)

Действительное

положение

Пример 6.5. Управление сваркой

На современных автомобильных заводах широко применяются большие сварочные роботы. Наконечник сварочного узла подводится к различным местам кузова автомобиля и быстро и точно совершает необходимые действия. На рис. 6.5 изображена структурная схема системы позиционирования наконечника. Требуется определить диапазон значений параметров К и а, при которых система будет устойчивой. Характеристическое уравнение системы имеет вид:

К О + а)

1 + G0) = 1+-

.ф' + 1)0 + 2)(s + 3)

Следовательно, q(s) = s4 + 6s3 + 1 Is2 + (К + 6)s + Ка = 0. Составим таблицу Рауса:

11 Ка

(К+ 6)

Ка

где

, 60 - К Ь}(К + 6) - 6Ка

ь,.— „ 4„_S—JL-------------

Коэффициент с3 устанавливает связь между параметрами К и а, с другой стороны анализ Ь3 требует, чтобы К было меньше 60. Полагая с3 = 0, получим:

(К - 60)(А + 6) + ЗбКа = 0.

Отсюда вытекает требуемая зависимость между К и а:

(60-KVK + 6)

а <------------------- .

36К

где а — положительная константа. Так, если принять К = 40, то получим а < 0.639.

Система /7-го порядка имеет характеристическое уравнение общего вида: s' + ап _ ,s" " 1 + ап_2sn ~ 2 + ... + o, s + со" = 0 . Если разделить все члены уравнения на cojj и ввести обозначение s* = skn„, то мы получим запись характеристического уравнения в нормированном виде:

5*" + bs*"-1 + cs*"~2 + ... + 1=0.

Например, если уравнение s'i + 5s2 + 2s + 8 = 0 разделить на 8 = co;J, то мы получим:

или

.У*3 + 2,5s*2 + 0,55* +1=0.

В данном случае b = 2,5 и с = 0,5. Используя нормированную запись характеристиче­ского уравнения, мы можем составить сводную таблицу условий устойчивости систем до 6-го порядка включительно (см. таблицу 6.1). Заметам, что для нашего примера Ьс = 1,25, следовательно система устойчива.

Примечание: Уравнения нормированы делением на ш".