СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Дискретный способ вычисления временных характеристик

Временные характеристики системы, описываемой векторно-матричным дифференциаль­ным уравнением состояния, можно получить, воспользовавшись дискретной аппрокси­мацией этого уравнения. Подобная аппроксимация основана на разбиении временной оси на достаточно малые отрезки. Тогда значения переменных состояния будут вычисляться в дискретные моменты времени t = 0,T, 2Т, ЪТ,..., где Тесть шаг дискретности по времени. Этот метод широко используется при численном анализе и при вычислениях на цифровых компьютерах. Если шаг дискретности Тявляется достаточно малым по сравнению с посто­янными времени системы, то точность вычислений будет вполне приемлемой.

Этим определением мы воспользуемся для вычисления значений х(/) при разбиении t на малые отрезки At = Т. Тогда, приняв аппроксимацию производной

х(/ + 7’)-х(/)

подставим ее в уравнение (3.87) и получим:

x(r + 7’)-x(f)

Выразим отсюда х(г+7):

х(/ + Т) * 7Ax(f) + х(/) + 7Ви(/) = (7А + I) х(/) + 7Ви(/), (3.91)

где t разбито на малые отрезки длительностью Т. Поэтому время / принимает дискретные значения t = kT, k = 0, 1,2, 3,... Тогда (3.91) будет записано в виде:

х[(А + 1)Z-] * (7А + 1)х (кТ) + ТВи (кТ). (3.92)

Таким образом, значение вектора состояния в (А+1)-й момент времени выражается через значения х и и в к-й момент времени. Выражение (3.92) можно записать иначе:

х(к + 1) *\i(T)x(k) + 7Bu(/c), (3.93)

где j/(7) = (7А +1), а символ Тв аргументах переменных опущен. Выражение (3.93) пока­зывает, что определение х(/) сводится к вычислению его дискретной аппроксимации х(А+1) на основании предыдущего значения х(к). Эта рекуррентная операция, известная как ме­тод Эйлера, представляет собой последовательную цепочку вычислений и очень просто реализуется на цифровых компьютерах. Для вычислений по формуле (3.87) могут быть ис­пользованы и другие методы численного интегрирования, например методы Рунге-Кутта. Некоторые методы интегрирования реализованы в среде MATLAB. Метод дискретного (численного) определения временных характеристик мы проиллюстрируем ниже на при­мере А’ІС-цепи (рис. 3.4).

Пример 3.6. Временные характеристики RLC-цепи

Вычислим временные характеристики. RLC-цепи с помощью дискретной аппроксимации урав­нения состояния, не прибегая к определению переходной матрицы состояния. Как и в примере 3.5, положим R = 3, L= 1 иС = 1/2. Тогда векторно-матричное уравнение состояния примет вид (см. уравнение 3.18):

Шаг дискретности Т мы должны выбрать достаточно малым, чтобы получить приемлемую точность аппроксимации производной (3.89) и, следовательно, как можно лучше приблизить вычисления по рекуррентной формуле (3.92) к точному решению уравнения состояния. Обыч­но Т выбирают так, чтобы он был по крайней мере вдвое меньше самой малой постоянной вре­мени системы. Учитывая то, что наименьшая постоянная времени системы равна 0,5 с [напом­ним, что характеристический полином системы имеет вид (s + l)(s + 2)], выберем значение

Т = 0,2 с. Заметим также, что с уменьшением шага дискретности пропорционально увеличива­ется количество вычислений. Итак, при Т= 0,2 с уравнение (3.92) принимает вид:

х(к + 1)« (0.2А+ I)x(£) + 0,2Ви(А). (3.95)

Следовательно,

” 1 -0,4'

0,2 0,4

(3.96)

(3-97)

Предположим, что нас интересует реакция системы при*((0) = х2(0) = 1 и u(t) = 0. Реакция сис­темы в первый момент времени, т. е. при t = Т, или при к = 0, равна

Далее, при t = 2T= 0,4 с, или при к= 1:

х(2) ’

Дальнейшие значения при к = 2, 3. 4. ... вычисляются аналогично.

Сравним теперь точное значение реакции системы, полученное в предыдущем разделе с помо­щью переходной матрицы состояния, с приближенным значением, вычисленным в результате дискретизации времени. В примере 3.5 при Х|(0) = *2(0) = 1 мы получили точное решение для переменных состояния: x](t) = x2(t) = e~2'. В табл. 3.1 приведены вычисленные точные значе­ния Х|(0, а также приближенные значения при Т = 0,2 с и при Т = 0,1 с. В случае Г = 0.2 с ошиб­ка остается приблизительно постоянной и равной 0,07, что составляет 7% от начального значе­ния переменных состояния. При уменьшении 7’до 0,1 с ошибка также уменьшается приблизи­тельно до 3,5% от начального значения переменных состояния. Если взять Т = 0,05 с, то ап­проксимация решения в момент t = 0,2 с дает значение *,(/) = 0,655, и ошибка уменьшается до 1,5% от начального значения переменных состояния.

Пример 3.7. Динамика эпидемического заболевания

Рассмотрим еще раз модель в переменных состояния, отражающую распространение эпидеми­ческого заболевания, с которой мы познакомились в примере 3.2. Полагая в уравнении состоя­ния (3.55) а = р = у = 1, получим:

Характеристическое уравнение системы [см. (3.57)] имеет вид s2 + 2s + 2 = 0, и, следовательно, его корни — комплексные. Определим динамику распространения заболевания, считая, что скорость появления новых восприимчивых к нему равна нулю, т. е. к, = 0. Скорость появления

новых инфицированных определим как и2(0) = 1 и и2(к) = 0 при к > 1; это означает, что в нача­льный момент времени появляется только один инфицированный (что эквивалентно импуль­сному входному воздействию). Постоянная времени, соответствующая комплексным корням, l/Cfo„ = I с, поэтому выберем Т = 0,2 с. (Заметим, что в действительности время может измеря­ться месяцами, а входное воздействие — тысячами человек.)

Запишем уравнение состояния в дискретной форме:

Реакция системы в первый момент времени t = Т, т. е. при к = 0 и при условии, что jtj(O) = х,(0) = х3(0) = 0, равна

0

(3.102)

Аналогично в момент t = 3T получим:

Последующие значения вычисляются так же просто. Разумеется, в действительности величина х, не может принимать отрицательные значения, но в нашем примере так получается из-за неа­декватности модели.

Метод дискретизации уравнения состояния оказывается чрезвычайно полезным при вычислении временных характеристик нелинейных систем. В этом случае уравнение со­стояния имеет общий вид:

x = f(x, u,f),

где f есть функция (не обязательно линейная) вектора состояния х и вектора входа и. Век­тор f представляет собой матрицу-столбец функций от х и и. Если система является линей­ной по отношению к входным сигналам, то уравнение (3.104) принимает вид:

x = f(x,0 + Bu. (3.105)

Если система является стационарной, т. е. описывается дифференциальным уравне­нием с постоянными коэффициентами, то уравнение (3.105) принимает вид:

x = f(x) + Bu. (3.106)

Рассмотрим уравнение (3.106) для нелинейной системы и получим его дискретную

аппроксимацию. Используя аппроксимацию производной в виде (3.89), запишем:

x(t+T)-x( О

= f[x(0] + Bu(r) і

Полагая t = кТ, выразим отсюда х(А+1):

х(к +1) = х( к) + Т [f (х( к)) + Ви(А)].

(3.107)

(3.108)

Аналогично, для уравнения общего вида (3.104) дискретная аппроксимация записывается как

х(к +1) = (к) + ТІ [х(А), и(А), к. (3.109)

Далее мы рассмотрим систему из предыдущего примера с учетом того, что она явля­ется нелинейной.

Пример 3.8. Уточненная модель распространения эпидемического заболевания

Распространение эпидемического заболевания более точно описывается следующей системой нелинейных дифференциальных уравнений:

х, = - ах, - Рлус2 +

х2 = f>XfC2 - Ух2 + (3-110)

х3 = ссх, + ух2 ,

где взаимодействие между группами населения представлено нелинейным членом х, х2. Как и в предыдущем примере, будем считать, что а = Р = у =1, И|(/) = 0, и2(0) = 1 и и2(к) = 0 при

к> 1. Выберем шаг дискретности Т - 0,2 с и зададим начальные условия в виде хт(0) = [1 0 0].

Тогда, подставляя в уравнения (3.110) t-kT и

(з. ш)

получим:

*,(* +1) — лг,(Л) ,,Л... ...

— — = ~*і(*) - Х(к)хг(к

+ I) - »,(>) _ >[№>^№|_ ,2(t) + (3.112)

О) = 3(t|Wt>

Выражая из этих уравнений х,(к+1) и помня, что Т = 0,2 с, получим: х,(к + 1) = 0,8.x,(/с) - 0,2х,(к)х2(к),

х2(к+ 1)= 0,8х2(к)+ 0,2л|(/с)л:2(Л) + d. hi^k) , (3.113)

х^(к + 1) = хъ(к) + 0,2х,(А) + 0,2х2(к).

Тогда в первый момент времени, при t = Т имеем:

*,(1) = 0,&х,(0)=0,8. х2(1) = 0,2и2(0) = 0,2,

*3(1) = 0,2Л|(0) = 0,2.

Еще раз используя уравнения (3.113) и учитывая, что и2(1) = 0, получим: хі(2) = 0.8хіС1) - 0.2.ті(1)л2(1) = 0.608.

х2(2) = 0.8jc2(1) + 0,2х](1)х2(1) = 0,192, (3.114)

х3(2) = *з(1) + 0,2х,(1) + 0,2ї2( 1) = 0,40.

Аналогично, при / = 37” имеем:

*,(3) = 0,463, *2(3) = 0,177, х3(3) = 0,56.

Дальнейшие вычисления не вызывают проблем. Нетрудно видеть, что реакция нелинейной си­стемы существенно отличается от реакции ее линейной модели, рассмотренной в предыдущем примере.

Вычисление временных характеристик линейных систем легко производится путем либо (1) использования переходной матрицы состояния, либо (2) с помощью дискретной аппроксимации уравнения состояния. Для нелинейных систем наиболее подходящим яв­ляется метод дискретизации уравнения состояния, тем более, что он очень удобен при численных вычислениях на компьютере.