СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Примеры на синтез систем управления

Пример 2.12. Управление устройством электрической тяги

Большинство современных поездов дальнего и пригородного сообщения работают на электри­ческой тяге. На рис. 2.35(a) изображена функциональная схема системы управления приводом электровоза, предназначенная для обеспечения заданной скорости движения. Цель синтеза со­стоит в получении модели системы, ее передаточной функции в замкнутом состоянии,

a) (s)/to/s), выборе надлежащих номиналов резисторов Rt, R2. R-$ и R4 и предсказании характе­ристик системы.

Первый шаг состоит в получении передаточной функции каждого блока. В качестве датчика скорости мы используем тахогенератор, выходное напряжение которого. V„ пропорциональ­ное скорости, подадим на один из входов дифференциального усилителя, как показано на рис. 2.35(6). Усилитель мощности обладает нелинейной характеристикой, которая прибли­женно может быть описана зависимостью v2 = 2e3v‘ = 2exp(3v,) = gCv,). Рабочей точке на этой

характеристике соответствует значение v)0 = 1.5 В. Воспользовавшись методом, изложенным в разд. 2.3, получим линейную модель усилителя мощности:

Ay, = 2[3 exp(3v|0 )]Av, = 540Av, . (2.105)

Далее, отбрасывая символы приращений и воспользовавшись преобразованием Лапласа, по­лучим:

V2(s) = 540 Г, (5).

Для дифференциального усилителя можно записать:

l+R7/R, r7

v, =------ 2-3-v0 —2 у (2.106)

1+R3/R4 й.

Потребуем, чтобы входной управляющий сигнал v() численно был равен заданному значению скорости, т. е. to,/=v0, где ш(/ измеряется в рад/с. a v0 — в вольтах. Тогда, если v0 = 10 В, то уста­новившееся значение скорости должно быть равно 10 рад/с. Заметим, что в установившемся режиме v, = К, iad и следует ожидать, что выходное напряжение дифференциального усилителя будет равно

1+ RJiRl Rj

Vi =----- = ~V0 Л * Vii. (2.107)

1 1 +Rj/R4 Rt

Когда система находится в равновесии, то V| = 0 и если К, = 0,1, то

1 + RУ?2

1 +/?3/л4 л.

Это условие выполняется, если R2!R = 10 и R3/Rd = 10. Параметры двигателя и нагрузки приве­дены в табл. 2.7.

Таблица 2.7. Параметры мощного двигателя постоянного тока

Кт = 10 J = 2

Ra = 1 Ъ = 0,5

U= Кь = 0,1

Полная схема системы изображена на рис.2.3 5(6). Используя формулу Мейсона, по сигналь­ному графу на рис.2.35(г) получим:

сф) _ 540С|(дХ^2(^ 540G|G2

0)^(5) 1 + 0,1 G|G-> + 540 G|G? 1+ 540,1 G(G^

5400 5400 2700

(2.108)

(5+ l)(2s + 0.5)+ 5401 2s2 + 2.5s + 5401,5 s2 + 1,25s + 2700,75

Поскольку характеристическое уравнение имеет второй порядок, то можно видеть, что ыи = 52 и С, = 0,012, т. е. следует ожидать, что реакция системы будет сильно колебательной.

Пример 2.13. Механический акселерометр

На рис. 2.36 изображен механический акселерометр, предназначенный для измерения ускоре­ния салазок, подвешенных на магнитной подушке. Эти салазки от направляющего рельса отде­ляет зазор величиной 8. Измерение ускорения салазок a(t) обеспечивается за счет того, что по­ложение у массы М относительно корпуса акселерометра пропорционально ускорению этого корпуса (и, соответственно, салазок). Задача состоит в синтезе акселерометра, обладающего заданными динамическими характеристиками. В частности, желательно, чтобы результат из­мерения, y(t) = qa{t), где q = const, был достигнут за приемлемое время.

1---- ► х - положение корпуса

Направляющий рельс

Рис. 2.36. Акселерометр на базе салазок с реактивным двигателем

Сумма сил. действующих на массу, равна

-Ь^--ку=М^{у+х), dt dt

или

,, d2y , dy,, d2x

M—%-+b—+ky=-M—г-. (2.109)

dt dt dt2

Поскольку сила, развиваемая реактивным двигателем, равна

F(t) = Ms~.

dt~

то

Му+ by+ky = -^-F(t).

М,

У* Ті У* Ті (2110)

м м Ms

Зададимся значениями ЫМ= 3, к! М= 2. обозначим F(t)/Mx = Q(t) и примем начальные условия у(0) = -1 и у(0) = 2. Если внешнее воздействие и. следовательно. Q(l) есть ступенчатая функ­ция, то преобразование Лапласа последнего уравнения дает:

(s2Y(s) - sy(0) - j<0)) + 3(аУ(*) - ЯО» + 2Y(s) = - Q(s). (2.111)

Поскольку Q(s) = P/s. где P — амплитуда ступенчатой функции, то

CAXs)+ s - 2)+ 3(іУ(і)+ 1)+ 2Г(і) = -- ,

s

или

с?2 + 35 + 2)Г(д) = -(S +s+P (2.112)

Таким образом, преобразование Лапласа для выходной переменной имеет вид:

s + s+ Р

к, =-

(s + l)(s + 2)

Р+ 2

Аналогично. к2 = Р и =

. Таким образом, z

Р Р Р+ 2

Y(s) = ~-- + —---

2s s + 1 2(s + 2)

Следовательно, измеряемое значение выходной переменной равно ></) = -[-Я + 2Ре~' -(Р+ 2)ё~2' ], 1> 0.

График y(t) для Р = 3 представлен на рис. 2.37. Как видно из графика. y(t) становится пропор­циональным величине силы спустя 5 секунд. Если это время считается недопустимо большим, то следует увеличить жесткость пружины к и коэффициент трения b с одновременным умень­шением массы М. Если выбрать значения ЫМ = 12 и к/М = 32, то акселерометр будет обеспечи­вать правильные показания через 1 секунду. (Читателю предоставляется возможность убеди­ться в этом самостоятельно.)

Пример 2.14. Синтез лабораторного работа

В этом примере мы попытаемся показать все сложности реального проектирования лаборатор­ного устройства. Одновременно мы представим ряд элементов, которые обычно входят в со­став систем управления.

Робот, предназначенный для использования в лабораторных условиях, показан на рис. 1.16. Ра­бочее пространство робота должно позволять ему достигать любой точки и манипулировать имеющимися в распоряжении приспособлениями. Кроме того, должна быть предусмотрена достаточная площадь для складирования материалов, не участвующих в текущих операциях. Лабораторный робот может выполнять три типа задач в процессе исследований. Первая задача состоит в том, что роботу поручается захватывать различные подносы, каркасы и контейнеры

и вносить их в рабочую зону. Второй круг задач включает в себя транспортировку образцов между пунктами приготовления химических препаратов и их анализа. В третьей группе задач роботу предоставляется возможность имитировать работу человека-оперетора в процессе раз­личных лабораторных экспериментов.

Фирма Хьюлетт-Паккард создала лабораторный робот ORCA, смонтированный на рельсовых направляющих, имеющий антропоморфную руку, оптимально приспособленную для аналити­ческих операций. Рельс может быть расположен как спереди, гак и сзади рабочего пространст­ва. либо по его центру, если необходим доступ по обе его стороны. С помощью простой про­граммы рука робота может перемещаться с одной стороны рельса на другую, сохраняя ориен­тацию кисти (чтобы переносить открытый контейнер) или фиксируя угловое положение кисти (при переносе объектов с произвольной ориентацией). Прямолинейная геометрия, в отличие от цилиндрической геометрии многих роботов, дает больше возможностей для размещения предметов в рабочем пространстве и установки самого робота в лаборатории. Движение всех сочленений координируется программными средствами, которые облегчают использование робота, задавая его ориентацию в более привычных декартовых координатах.

Основные технические характеристики робота ORCA приведены в табл 2.8.

Синтез лабораторного робота ORCA заключался в выборе компонентов, необходимых для сборки всего устройства. Робот в разобранном виде изображен на рис. 2.38. В нем использова­ны шесть двигателей постоянного тока, редукторы, ременные передачи, рельс и тележка. При синтезе основной задачей проектировщика являлась разработка точных моделей компонентов системы и исследование их взаимодействия.

Пример 2.15. Синтез фильтра низких частот

Цель состоит в синтезе низкочастотного фильтра первог о порядка, который пропускал бы сиг­налы с частотой менее 106.1 Гц и ослаблял сигналы с частотой выше указанной. Кроме того, фильтр должен иметь коэффициент передачи по постоянному току, равный 1/2.

В качестве искомого фильтра может служить двухзвенная цепь с одним реактивным элемен­том. изображенная на рис. 2.39(a). Заметим, что эта схема действительно будет иметь требуе­мый коэффициент передачи, поскольку конденсатор для постоянного тока представляет собой разомкнутую цепь. Выражения для токов и напряжений имеют вид:

/, = (К, - V2)C. h = (Уг ~ Уъ)С>,

У2 = (У, - I2)R,

Уз = AZ

где G = 1/R. Z(s) = 1/Cs и У|(і) = /| (опуская зависимость от і). Эти четыре уравнения отражает сигнальный граф. приведенный на рис. 2.39(6). Граф содержит три контура: L, = - GR = - I. L2 = - GR = -1 и /.j = - GZ. Все контуры касаются прямого пути, а контуры Lt и L3 'не касаются друг друга. Поэтому передаточная функция равна

Т(х)=Уз=___________ !л___________ GZ______ 1 1/ЗДС

1-(А + ^2 + £з)+3+2GZ iRCs+2 S+2/3RG '

-о

+

С l(s)

б)

КО

Заметим, что коэффициент передачи равен 1/2 , как и ожидалось. Желаемое значение полюса р= 2п ■ 106,1 = 666,7 = 2000/3. Отсюда следует, что RC = 0.001. Выберем R = 1 кОм и С = 1 мкФ. Тогда фильтр будет иметь передаточную функцию