Плоская стенка
Полагая в уравнении (2.16) W=0 и принимая во внимание, что
|
:0, |
dt _ dt ду dz
получим
|
ґх*л v dx j |
|
d_ dx |
|
О и зададим граничные условия |
|
(2.28) |
* (0) = f,, t(l) = t2
Будем считать, что Я =f(t), тогда, интегрируя (2.28), получим
ах
•| и
/ {t)dt = Cldxi J f (t)dt = J Cydx = - Cxx
Постоянная С і имеет простой физический смысл. Сравним выражение
„ dt ~ Л „ dt
1— = Ct с законом Фурье А— = - д, dx dx
тогда Сі = - q, т. е. Сі численно равна удельному тепловому потоку через
стенку, взятому с обратным знаком.
*6
Следовательно, ^ f{t)dt = qx.
t
Рассмотрим частные случаи. Пусть X=const.
|
t,-t |
|
(2.30) |
J Adt = A(t, - t) = qx; q = А
|
t2 |
При x = l, t =t2 и q = A Пусть A=Ao(l +fit).
2 .2
= К j(' + fiAn =Л)<<] -0 + РК1±-£
Если fd>0, то распределение температур в плоской стенке изобразится параболой с выпуклостью, обращённой в сторону (+£) (рис. 2.2). Если /?<0, то распределение температур в плоской стенке будет иметь вогнутый вид, представленной на рис. 2.2
|
Рис. 2.2. Характер изменения температуры плоской стенки |
q = b.(l + pt)(tx - t2),
где t = 0,5(tt +12)
Обозначим А = A0 (1 + fit),
тогда
Тепловое сопротивление плоской стенки равно
r =A^A==L.
Sq AS
где S - площадь плоской изотермической поверхности.
Отклонение распределения температур от прямой линии можно найти из формулы (2.31). Полагая в этой формуле х = I, получим
|
ql — Af)(ti t2) |
Отношение — равно
1 ti-h + ph±h.
Ошибки в оценке расстояния х, на котором наблюдается заданная температура t, дана вторым множителем (дробью) в правой части последней формулы.
Пример 1. Для большинства технических материалов-диэлектриков можно принять:
X=Ao(l+pt), р>0.
Например, теплопроводность кирпича следующим образом зависит от температуры
м К
Пусть / = 0,4 м, /;=900°С, ^=100°С, тогда
— 500 Вт
|
1000 |
Л = 1,0 +--- = 1,5 -
м-К
900-100 1пппВт q = 1,5 = 3000——
|
м |
0,4
Если бы пренебрегли зависимостью X=X(t), то в определение теплового потока внесли бы ошибку в 1,5 раза.
Пример 2. Пробковая стенка: коэффициент теплопроводности
изменяется с температурой по закону
л = 0,04(1 + 4,5-10‘3/),
/=0,1 м, ti=30 °С, t2= -20 °С,
^-^- = 5°С J = 0,04(1 - ь 4,5-10 3 -5) = 0,0409 Вт
м-К
q = 0,0409 30 "(~2°) = 20,45^- 0,1 м2
Если не учитывать зависимость X=X(t), то ошибка составила бы 2,25%.
Отсюда видно, что, смотря по обстоятельствам, зависимостью X от t можно иногда пренебрегать, особенно если рассматривается неширокий диапазон температур.
