Краевые условия
Задача теории теплопроводности состоит в определении поля температур в теле в данный момент времени. Для решения этой задачи, кроме дифференциального уравнения, необходимо знать поле температур для какого-нибудь предшествующего момента времени (начальное условие), а также форму тела и закон взаимодействия между окружающей средой и поверхностью тела (граничные условия). Начальное и граничные условия в совокупности называются краевыми условиями. Начальное условие определяется заданием закона распределения температуры в теле в начальный момент времени, т. е.
t(x, у, z, 0) = Щх, у, z).
|
(2.19) |
Граничные условия можно представить в различной форме в зависимости от характера явлений, протекающих на границе тела.
а) Например, может быть задано распределение температуры на поверхности тела в любой момент времени (задача Дирихле, или условие первого рода)
ts(r)=f(r), (2.20)
где ts(z) — температура на поверхности тела в момент времени г.
б) Задано распределение плотности теплового потока в любой момент времени (задача Неймана, или условие второго рода)
qs(t)=f(r), (2.21)
где qs(t) - плотность теплового потока на поверхности тела.
в) Задан закон теплообмена между поверхностью тела и
окружающей жидкой или газообразной средой (условие третьего рода). Математически выражение этого закона может быть получено на основании следующих рассуждений. По закону Ньютона удельный тепловой поток на границе тело-среда равен:
qs(t) = a(ts - tc), (2.22)
где а - коэффициент теплообмена.
По закону Фурье к поверхности изнутри тела подходит удельный
поток
|
(2.23) |
q's = - Л
dnJs
где п - внешняя нормаль к поверхности тела.
Если на границе тело-среда отсутствуют стоки или источники энергии, то qs(г) = q's(т) и граничное условие принимает вид:
|
(2.24) |
|
дп |
|
Js |
|
+ a(ts - tL) = 0 |
Если на границе тела имеется источник энергии, производительность
|
Вт |
|
которого равна q, |
, то граничное условие нетрудно получить,
м
основываясь на законе сохранения энергии
q's+q= qs
|
(2.25) |
В последнее равенство следует вместо q's и qs подставить их выражение (2.22) и (2.23).
г) Условия теплообмена на границе двух твёрдых тел (условия четвертого рода):
- отсутствие температурного скачка на границе (при отсутствии контактного теплового сопротивления)
(2.26)
где S - символическое обозначение границы.
- если на границе двух тел имеется источник (или сток) энергии, поверхностная мощность которого q, то на основании закона сохранения энергии
|
, , 6t2 +q =л2^г дп |
|
л,* дп |
|
(2.27) |
где п - нормаль к поверхности раздела тел.
