Расчет упругих и пластических деформаций
Уравнения равновесия узлов можно вывести из условия минимума упругой энергии. Для этого необходимо приравнять нулю частные производные упругой энергии по перемещениям каждого узла. Полученные при дифференцировании квадратичной функции уравнения равновесия соответствующих узлов являются линейными. В каждое уравнение входят перемещения данного узла и нескольких смежных с ним узлов, а также внешние силы, действующие на данный узел. Общее число уравнений равно числу неизвест
ных, т. е. система уравнений имеет единственное решение. После решения системы по найденным перемещениям узлов рассчитывают деформации и напряжения всех конечных элементов.
|
Рис. 13.13. Схема метода упругих решений (1-4 - результаты последовательных уточнений напряжений и деформаций, 5 - окончательный результат) |
Этот алгоритм применим для модели упругого материала с небольшим числом узлов. При решении системы с большим числом неизвестных накапливаются погрешности и необходимо итерационное уточнение найденных перемещений. Для упругопластичного материала применяют метод упругих решений, который состоит в следующем (рис. 13.13):
1) сначала материал считают упругим и из решения системы уравнений равновесия находят перемещения всех узлов, а по ним деформации и напряжения в конечных элементах;
2) в каждом конечном элементе найденные напряжения и деформации сравнивают с деформационной характеристикой материала о,(г;). Если точка, найденная в п. 1, оказывается выше диаграммы (как показано на рис. 13.13), то при тех же деформациях пересчитывают компоненты напряжения по формулам (11.20)—(11.24) для упругопластического деформирования;
3) поскольку в некоторых конечных элементах напряжения изменены, равновесие примыкающих к ним узлов нарушается, поэтому проводят повторное решение системы уравнений равновесия, в результате которого получают изменение напряжений. Кривая результирующего НДС вновь отклоняется от деформационной характеристики;
4) вновь определяют напряжения по формулам (11.20)—(11.24) упругопластического деформирования;
5) итерации продолжают до тех пор, пока и равновесие узлов, и соответствие деформационной характеристике не будут обеспечены с требуемой точностью.
