ТЕОРИЯ сварочных процессов

Моделирование процессов энергомассопереноса методом конечных элементов

Сущность МКЭ заключается в том, что все тело разбивают на несколько частей (элементов) конечного (а не бесконечно малого) объема, настолько простых по форме и внутреннему устройству, что численное интегрирование даже сложных функций по объему каждого из них не вызывает затруднений. Для приближенного ре­шения краевой задачи в целом необходимо обеспечить только стыковку элементов между собой. Условия стыковки записывают в виде алгебраических уравнений. В некоторых случаях эти урав­нения независимы друг от друга и могут быть решены по отдель­ности, но чаще они образуют систему уравнений, порядок которой зависит от числа конечных элементов.

Таким образом, процедура МКЭ состоит в замене дифференци­ального или интегрального уравнения системой алгебраических

уравнений. Существует ряд методов, родственных МКЭ - метод конечных разностей, метод граничных элементов и др. Каждый из них в чем-то превосходит МКЭ при реше­нии определенного ограни­ченного круга задач. Однако МКЭ является наиболее гиб­ким и универсальным.

Для упрощения процеду­рне. 13.3. Виды конечных элементов Ры МКЭ форму элемента

(рис. 13.3) обычно выбирают простой (треугольной или четырехугольной для плоских задач, призматической или пирами­дальной - для пространственных). Искомую функцию внутри него

также описывают простой формулой (обычно полиномом невысо­кого порядка). Поэтому при небольшом числе элементов решение может получиться весьма грубым. Однако математически доказа­но, что по мере измельчения элементов погрешность уменьшается и решение неограниченно приближается к точному. Чем грубее и проще элементы, тем мельче они должны быть для достижения заданной точности.

Наличие погрешности при использовании конечного элемента не является свидетельством его непригодности, если эта погреш­ность убывает при уменьшении размеров элемента и в пределе стремится к нулю. Это не значит, что все виды элементов равно­ценны. При прочих равных условиях следует предпочесть элемен­ты, дающие наименьшую погрешность при данных размерах и бо­лее быстрое ее убывание при уменьшении размеров.

Поскольку число элементов и порядок системы уравнений при моделировании сложных сварочных процессов достигает десятков и сотен тысяч, решение такой системы уравнений является наибо­лее серьезным этапом процедуры МКЭ. Часто идут на усложнение элементов (повышение степени полинома внутри элемента) для того, чтобы уменьшить число элементов и порядок системы урав­нений. Большую экономию может дать использование интерполя­ционных функций, близких к ожидаемому решению конкретной задачи, но это снижает степень универсальности программного обеспечения.

На понижение порядка системы уравнений направлена и суперэлементная процедура: несколько обычных элементов объе­диняют в суперэлемент, исключая из системы уравнений сначала неизвестные, связанные с внутренними границами между объеди­няемыми элементами, и оставляя те, которые участвуют в стыков­ке суперэлемента с другими суперэлементами. Тогда число урав­нений в системе для суперэлементной модели уменьшается. После решения этой системы необходимо вернуться к внутреннему устройству суперэлемента и найти значения исключенных ранее «внутренних» неизвестных.

В общем случае суммарное число операций не уменьшается, но задача упрощается за счет ее разделения на несколько этапов. Если в модели много одинаковых суперэлементов, то часть операций для них можно не повторять и объем расчетов будет сокращен.

Процедура МКЭ в принципе достаточно проста. Простейшая программа может быть написана и отлажена за неделю. Однако область применения такой программы весьма ограничена. На раз­работку программы среднего уровня, содержащей средства подго­товки данных (среду, аналогичную AutoCAD), эффективные про­цедуры составления и решения уравнений, а также визуальную систему анализа результатов моделирования, требуется затратить, по оценке специалистов, от 10 до 100 человеко-лет.

В мире существуют десятки коммерческих программных ком­плексов МКЭ (наиболее известны NASTRAN, ANSYS), в том чис­ле специализированных для решения сварочных и других техноло­гических задач (SYSWELD, MARC). На их создание были затра­чены еще большие усилия. Тем не менее среди них нельзя назвать ни одного, пригодного для решения всех возникающих задач. По­скольку внутренняя часть комплекса является для пользователя «черным ящиком», довольно трудно бывает самостоятельно при­способить его к решению задачи, не предусмотренной разработчи­ками. Отметим обстоятельства, оказывающиеся не в пользу ком­мерческих комплексов, - огромные размеры программного кода (сотни мегабайт) и необходимость поддерживать совместимость новых версий программ с предыдущими. Теряется гибкость и с трудом осваивается решение принципиально новых задач, а изме­нения в аппаратном обеспечении (например, переход с больших ЭВМ на персональные компьютеры) имеют для таких программ­ных комплексов катастрофические последствия.

Поэтому создание новых программных комплексов МКЭ, пре­жде всего не универсальных, а направленных на решение конкрет­ного круга задач, сохраняет свою актуальность. При использова­нии готового программного комплекса МКЭ можно добавлять к работающему программному комплексу недостающие элементы для более эффективного его применения. Некоторые коммерче­ские программные комплексы предусматривают для этого встро­енный язык программирования.