Простейшая модель протекания тока в пластине
Продолжим рассмотрение задачи о протекании тока в проводнике и рассмотрим порядок построения модели на основе простейших конечных элементов. Пусть имеется пластина, через которую течет ток, и обозначены точки (узлы), в которых требуется рассчитать потенциал. Пластина имеет постоянную толщину, а потенциал в направлении по толщине пластины не изменяется. Поэтому в разбиении пластины на элементы по толщине нет необходимости, и ее модель может быть двумерной (плоской). Разобьем плоскость пластины на ячейки (клетки) так, чтобы каждая граница проходила на равном расстоянии от двух соседних узлов
(рис. 13.4). Выделенный белым цветом конечный элемент позволяет установить, какой ток потечет из ячейки 2 в ячейку 7 через границу площадью s между ними, по известной разности потенциалов между точками 7 и 2. Если распределение потенциала по длине элемента аппроксимировать полиномом первой степени, то напряженность электрического поля во всех точках элемента будет
одинакова и равна Е = —1— —Плотность тока согласно (13.1)
равна j = — (материал изотропный, сопротивление во всех на - Р
правлениях одинаково). Ток через элемент прямо пропорционален разности потенциалов, т. е.
_ . и2-их с/9-с/,
I = js = —------ 1
|
R |
I
Р-
S
|
(13.4) |
Таким образом, выделенный на рис. 13.4 конечный элемент эквивалентен электрическому сопротивлению
R = р-
S
|
Рис. 13.4. Простейшая конечноэлементная модель электропроводящей пластины (7-5 - узлы модели; А и В - точки с заданными потенциалами; между узлами 7 и 2 показана схема четырехугольного конечного элемента) |
между узлами элемента 7 и 2. Такое сопротивление имеет вырезанный из исследуемой пластины проводник с удельным сопротивлением р, длиной I и по - _________
стоянной по длине площадью поперечного сечения S.
Если добавить в модель аналогичные конечные элементы для каждой пары соседних узлов, то они покроют всю пластину. Будем считать, что все заряды, попавшие в одну из ячеек, сосредоточены в ее узле. Тогда модель всей пластины можно представить в виде электрической схемы (рис. 13.5).
Согласно классификации конечных элементов, рассмотренный элемент следует называть стержневым линейным двухузловым.
|
Рис. 13.5. Электрическая аналогия схемы конечно-элементной модели пластины |
Если известны потенциалы на краях пластины и сопротивления конечных элементов, то можно по правилам Кирхгофа получить систему линейных уравнений, неизвестными в которой являются потенциалы внутренних узлов. Это типичная процедура МКЭ по сведению дифференциального уравнения краевой задачи к системе линейных уравнений. Ввод данных, составление и решение системы уравнений и вывод результатов должны быть реализованы в компьютерной программе.
