Физическая оптика

Нелинейный осциллятор в световом поле

Модель нелинейного осциллятора. Метод возмущений. Осциллятор с ква­дратичной нелинейностью. Генерация второй оптической гармоники. Ос­циллятор с кубичной нелинейностью. Зависимость частоты колебаний от амплитуды. Фазировка осциллятора внешним полем. Эффекты самовоздей - ствия света: самофокусировка световых пучков, самомодуляция импульсов. Генерация третьей оптической гармоники. Нелинейный резонанс и гистере­зис. Оптическая бистабильность. Параметрическая генерация света. Пара­метрический резонанс. Комбинационное рассеяние света. Модель нелинейно связанных осцилляторов. Неоднородный ансамбль нелинейных осцилляторов. Световое эхо.

В современной оптике видное место занимают явления, связанные с нели­нейностью отклика вещества на световое поле. Это такие явления как гене­рация оптических гармоник (например, удвоение или утроение частоты света), параметрические процессы (в частности, удвоение длины световой волны), вы­нужденное рассеяние света, самофокусировка световых пучков, самомодуля­ция импульсов и т. п. Для всех этих явлений, объединяемых понятием “нели­нейная оптика”, характерна сильная зависимость от интенсивности света; как правило, они становятся заметными лишь в мощных лазерных пучках.

Здесь мы рассмотрим элементарную картину явлений нелинейной оптики, пользуясь моделью нелинейного осциллятора. Более полное обсуждение этой темы дано в ч. IV.

Модель нелинейного осциллятора. В общем случае уравнение колеба­ний одномерного оптического осциллятора можно представить в виде

х + Г ± + —^ = —Е, (8.1)

т ах т

где ей т — заряд и масса осциллятора, Г — коэффициент затухания колеба­ний, U = U (х) — потенциальная энергия связанного заряда, характеризующая внутреннее силовое поле осциллятора (атома, молекулы), Е — электрическое поле световой волны.

Будем отсчитывать координату х и энергию U относительно значений, соот­ветствующих положению равновесия осциллятора. Тогда для точки равновесия имеем: х = О, U = О, U^(0) = 0. Равенство нулю производной = dU/dx имеет место в силу того, что в положении равновесия осциллятора его потен­циальная энергия имеет экстремум (минимум). Разлагая функцию U(x) в ряд по степеням х, получим

ВД = 1>2)(0) + |^(3)(0) + ^д(4)(0) + ... ,

или

U(х) = ах2 + Ьх3 + сх4 + ... . (8.2)

В случае малых колебаний можно ограничиться в разложении (8.2) членом, квадратичным по х:

U(x) = ах2. (8.3)

Это приближение соответствует гармоническому осциллятору и линейному уравнению колебаний

х+ Гх + uZx =—Е, (8.4)

m

где uq — собственная частота малых колебаний осциллятора. Если же ампли­туда колебаний становится большой, то необходимо учитывать в (8.2) слагае­мые, пропорциональные х3, Xі и т. д. При этом уравнение колебаний (8.1) ста­

новится нелинейным и движение осциллятора приобретает новые качественные особенности. Из уравнения (8.1) видно, что проявления нелинейных эффектов следует ожидать, прежде всего, в сильных световых полях.

Конкретный вид нелинейности определяется типом осциллятора. Если функция U{x) является четной, т. е. система обладает центром симметрии, то в низшем нелинейном приближении имеем

TOC o "1-5" h z U(x) = ах2 + сх4, (8.5)

и уравнение колебаний содержит кубичную нелинейность:

х + Гх + cjqX - /Зх3 = —Е. (8.6)

771

Для систем без центра симметрии учет первой нелинейной поправки дает

U{x) = ах2 + Ьх3 (8.7)

и, соответственно, квадратично-нелинейное уравнение колебаний

х + Гх - Ь o>nX + jx2 — —Е. (8.8)

т

В уравнениях (8.6), (8.8) /3 и 7 — параметры нелинейности.

Кубичной оптической нелинейностью обладают изотропные среды (газы, жидкости, стекла), квадратичная нелинейность характерна для анизотропных кристаллов (см. ч. IV).

Графики потенциальной энергии гармонического осциллятора, симметрич­ного нелинейного осциллятора и ассиметричного осциллятора показаны на рис. 8.1.

Метод возмущений. Обычно точные решения нелинейных дифференци­альных уравнений или вообще отсутствуют, или же настолько сложны, что ими трудно воспользоваться. Поэтому для анализа нелинейных систем часто используют различные приближенные методы. Одним из таких методов явля­ется метод возмущений.

Основная идея этого метода состоит в том, чтобы рассмотреть движение системы в слабо нелинейном режиме, т. е. в условиях, когда нелинейность проявляет себя лишь как малое возмущение. Например, в случае осциллято­ра можно рассмотреть колебания, амплитуда которых достаточно мала. Из физических соображений ясно, что колебания вблизи минимума потенциаль­ной энергии должны мало отличаться от гармонических (рис. 8.1). Это дает возможность рассматривать нелинейные искажения колебаний как малую по­правку, для которой может быть получено приближенное линейное уравнение.

а) б) в)

t

|Рис. 8.1. Потенциальная энергия осцилляторов: гармонического (о), симметричного нелинейного (б), асимметричного (в). На рис. б, в пунктиром показана энергия в параболическом (гармоническом) приближении

Осциллятор с квадратичной нелинейностью. Генерация второй оп­тической гармоники. Обсуждение нелинейных явлений в оптике начнем с эффекта удвоения частоты света в кристалле — генерации второй оптической гармоники. Данный эффект состоит в том, что под действием мощного лазер­ного излучения в нелинейном кристалле возникает излучение на удвоенной частоте (рис. 8.2).

В лекционном опыте демонстрируется генерация второй гармоники излу­чения неодимового лазера в кристалле KDP. Исходное инфракрасное лазерное излучение (“накачка”) имеет длину волны Л„ = 1,06 мкм. При фокусировке ла­зерного импульса в кристалл, на выходе последнего возникает яркая вспышка зеленого цвета (“гармоника”). При этом длина волны генерируемого излучения Аг = 0,53 мкм оказывается ровно в два раза меньше длины волны исходного лазерного луча.

Механизм генерации второй гармоники можно пояснить с помощью модели квадратично-нелинейного осциллятора. Уравнение колебаний такого осцилля­тора имеет вид (8.8). Из этого уравнения видно, что если под действием све­тового поля Е осциллятор колеблется на частоте ш, то нелинейное слагаемое 7Х2 совершает колебания на удвоенной частоте 2и>. Эти колебания и являются источником излучения второй гармоники.

Осциллятор с кубичной нелинейностью. Зависимость частоты ко­лебаний от амплитуды. Важным свойством нелинейного осциллятора явля­ется зависимость частоты колебаний от амплитуды

и> = иi(A). (8.9)

Это свойство, присущее нелинейным осцилляторам различной природы, на­пример математическому маятнику, называется неизохронностъю колебаний. В оптике оно приводит к своеобразным эффектам самовоздействия световых волн: самофокусировке или самодефокусировке световых пучков, самомодуля - ции импульсов и т. п.

Рассмотрим неизохронность нелинейных колебаний на примере кубично­нелинейного осциллятора без затухания. Свободные колебания такого осцил­лятора описываются уравнением

х + UqX — /Зх3 = 0. (8.10)

Применяя метод малых возмущений, потребуем, чтобы нелинейный член в этом уравнении был значительно меньше линейного. Для этого достаточно, чтобы выполнялось неравенство

fix2 «; (8.11)

т. е. чтобы амплитуда колебаний осциллятора была достаточно мала. Пред­положим, что в условиях слабого проявления нелинейности колебания осцил­лятора близки к гармоническим, однако их частота и отличается от частоты бесконечно малых колебаний gjq. Обозначив амплитуду колебаний буквой А, ищем приближенное решение уравнения (8.10) в виде

x(t) = xi(t) - f x2(t), (8-12)

где

xi(t) = Acosut (8.13)

и

|s2|<|zi|. (8.14)

Выведем уравнение для х2. Подставив (8.12) в (8.10), получим уравнение

Х1+Х2+ u>o(ti - I-х2) - /3(^1 + Z2)3 = 0.

Условие (8.14) позволяет линеаризовать это уравнение по х2, сохранив в нем лишь слагаемые наинизшего порядка малости (линейные) по х2:

хі +х2+ шo(xi + х2) - /З(х3 + Зх3х2) = 0. (8.15)

Используя (8.13), перепишем это уравнение следующим образом:

Х2 + (Jq - 3/3Xj)x2 = (и)2 - U1q)Xi + j3xf или, с учетом (8.11), (8.12), (8.14), как

Х2 + U)qX2 — (ш2 - Jq)X + /Зх3. (8.16)

Теперь подставим (8.13) в (8.16) и используем известную тригонометрическую

формулу

Получим уравнение

3 1

Ї2 + 0JqX2 = (и>2 - ujq + - j3A2)xі + ^/ЗА3 cos3u/t. (8-17)

Итак, изменение во времени малой компоненты Х2 определяется линейным уравнением (8.17). Для того чтобы компонента Х2 не содержала осцилляций на частоте ш основного колебания х, потребуем, чтобы коэффициент при Х в (8.17) обратился в ноль. Это приводит к соотношению

ш2 — u>q + ^(ЗА2 = 0, (8.18)

а уравнение для Х2 принимает вид

х2 + шх2 = ^0А3 cos 3u)t. (8.19)

Соотношение (8.18) определяет искомую зависимость частоты колебаний ш от амплитуды колебаний нелинейного осциллятора А. Принимая во внимание (8.11), эту зависимость можно приближенно представить в виде

ш = ujq — хА2, (8.20)

где

X = 3/3/8WO. (8.21)

График зависимости ш(А) показан на рис. 8.3. Обратимся теперь к проявлению неизохронности колебаний в оптике.

Фазировка осщшлятора внешним полем. Неизохронность нелинейного осциллятора в оптике приводит к тому, что частота осциллятора, возбужден­ного световым полем, зависит от интенсивности световой волны:

ш = ш{1). (8.22)

Эта зависимость, в свою очередь, вызывает появление дополнительного фазо­вого набега <р = J u>(t) dt, пропорционального интенсивности света:

Рис. 8.4. Картина самофокусировки мощного светового пучка в нелинейной среде

Ч> = у*/). (8.23)

Таким образом, возникает возможность фазировки осциллятора внешним по­лем. Это обстоятельство принципиально отличает нелинейный осциллятор от обычного гармонического осциллятора.

Нелинейная фазировка осцилляторов приводит к эффектам самовоздей - ствия мощных модулированных световых волн: самофокусировке пучков и са - момодуляции импульсов.

Эффекты самовоэдействия света: самофокусировка световых пуч­ков, самомодуляция импульсов. В ограниченном световом пучке интенсив­ность света зависит от поперечной пространственной координаты:

I = 1(г). (8.24)

Через механизм нелинейной фазировки (8.23) эта зависимость переносится на фазу колебаний осцилляторов

<р = р{г) (8.25)

и, следовательно, на фазу испускаемых ими вторичных световых волн. В ре­зультате этого волновой фронт мощного светового пучка в среде искривляется, что может привести, в частности, к изменению поперечных размеров пучка, т. е. к явлениям типа самофокусировки или самодефокусировки света (рис. 8.4).

Разумеется, нелинейный фазовый набег может зависеть не только от про­странственных координат, но и от времени. В коротком световом импульсе ин­тенсивность излучения быстро меняется го времени:

I = I(t). (8.26)

Вследствие (8.22), (8.23), (8.26) частота и фаза колебаний осцилляторов, воз­

буждаемых импульсом, а также частота и фаза испускаемого осцилляторами вторичного излучения оказываются промодулированными во времени:

ш = u)(t), <р = ip(t). (8.27)

Таким образом, мощный световой импульс в нелинейной среде испытывает са-

момодуляцию. В некоторых случаях это может приводить к значительному уширению частотного спектра импульса. Подобный эффект имеет место, на­пример, при распространении мощного короткого лазерного импульса в опти­ческом волокне (рис. 8.5).

Рис. 8.5. Уширение спектра мощного светового импульса в оптическом волокне в ре­зультате эффекта самомодуляции

Генерация третьей оптической гармоники. Предположим, что кубич­но-нелинейный осциллятор находится в поле монохроматической световой вол­ны, частота которой ш близка к собственной частоте осциллятора ио - Согласно уравнению (8.6), резонансное поле возбудит вынужденные колебания осцил­лятора, которые в силу (8.12), (8.13), (8.19) будут содержать сильную спек­тральную компоненту на частоте возбуждающей световой волны (“накачки”) и и слабую спектральную компоненту на частоте Зш. В спектре вторичного излучения осциллятора также будут присутствовать частоты и> и Зш, следо­вательно, нелинейный осциллятор в поле световой волны будет генерировать третью оптическую гармонику. Можно ожидать, что генерация гармоники будет наиболее эффективной при использовании в качестве накачки мощного лазерного излучения.

Эксперименты подтверждают эти выводы. Генерация третьей оптической гармоники наблюдалась при использовании лазеров в различных газах. Наи­большая эффективность процесса достигнута в опытах с парами металлов. Так, при использовании паров рубидия и импульсов лазера на гранате с неодимом длительностью 30 пс и мощностью 300 МВт, удалось осуществить генерацию третьей гармоники на длине волны 354,7 нм с коэффициентом преобразования около 10% [6; 7]. Добавим в этой связи, что использование высших оптиче­ских нелинейностей открывает возможность генерации когерентного излуче­ния в вакуумном УФ и мягком рентгеновском диапазонах. Так, путем гене­раций седьмой гармоники в гелии удалось получить когерентное излучение на длине волны 38 нм [8]. Эффективность генерации гармоники в этом случае составляла 10~6.

Нелинейный резонанс и гистерезис. Оптическая бистабильность.

Предположим, что кубично-нелинейный осциллятор, описываемый уравнением

х + Г± + ojZx - /Зх3 — — Е, (8.28)

m

возбуждается монохроматическим световым полем

Е = ife"* +к. с. (8.29)

Вычислим зависимость амплитуды колебаний осциллятора А от частоты по­ля ш. Применяя к решению этой задачи метод возмущений, рассмотрим слабо нелинейный режим колебаний, т. е. будем считать, что амплитуда колебаний осциллятора достаточно мала, так что выполняется условие (8.11). Сначала
вычислим амплитуду вынужденных колебаний в линейном приближении. В этом случае уравнение колебаний есть

І + ГІ + ШпХ = —Е. (8.30)

тп

Решение задачи (8.29), (8.30) хорошо известно (см. лекцию 7). Оно имеет вид

х = + к. с., (8.31)

причем действительная амплитуда колебаний осциллятора А = |х| в области частот вблизи резонанса (иишо) определяется формулой

(и>0-и>)2 + Г2/4’ В т(8'32)

Итак, в линейном приближении резонансная кривая осциллятора А(и>) дает­ся формулой (8.32). Теперь “подправим” эту формулу, приняв во внимание неизохронность нелинейного осциллятора. Согласно формуле (8.20), для этого следует заменить а>о на ujq — хА2, где х — параметр нелинейности осциллятора, определяемый формулой (8.21). В итоге получим соотношение

^л2 (шо - ш - *А2)2 + Г2/4' (8'33^

Формула (8.33) определяет искомую зависимость А(и>). Однако выразить эту зависимость в явном виде сложно, так как для этого необходимо решить ку­бическое уравнение относительно А2. Вместо этого напишем простую формулу для обратной функции ш = ш(А)

Задавая то или иное значение А, по этой формуле можно вычислить соот­ветствующее значение ш, и таким образом построить резонансную кривую А = А(ш). Результат представлен на рис. 8.6. Резонансная кривая имеет вид “клюва”. Показанная пунктиром “скелетная” линия соответствует значениям параметров Г = В = 0 и описывает неизохронность свободных колебаний не­линейного осциллятора (ср. рис. 8.3 и 8.6, а).

Важной особенностью нелинейного резонанса является существование обла­сти частот в которой возможны различные амплитуды колебаний (рис. 8.6, а). То, какая из них устанавливается в действительности, зависит от предысто­рии, а именно от того, какова была частота внешней силы (выше или ниже ре­зонанса) в предшествующие моменты времени (рис. 8.6, б). Указанное свойство нелинейного осциллятора называется гистерезисом. Оно может быть положе­но в основу бистабильных оптических элементов, необходимых для создания полностью оптического компьютера.

Одна из возможных схем бистабильного оптического элемента показана на рис. 8.7, а. Данный элемент представляет собой оптический резонатор (пара зеркал), заполненный нелинейной средой. Если направить на эту систему пу­чок света, то оказывается, что при одной и той же интенсивности входного пучка /вх в некоторой области ее изменения интенсивность света на выходе

б)

Рис. 8.6. Нелинейный резонанс (а) и гистерезис (б)

/вых имеет два возможных значения (рис. 8.7, б). Иначе говоря, данная система обладает двумя устойчивыми состояниями с высоким и низким пропусканием света, которые могут быть использованы в качестве логических “0” и “1”. Яс­но, что бистабильный элемент является принципиально нелинейным, так как выходную интенсивность /вых нельзя получить путем умножения входной ин­тенсивности /вх на постоянное число.

Оптическая бистабильность подобного типа впервые наблюдалась в 1974 г. Макколом с сотрудниками, которые использовали в своих опытах резонансную нелинейность паров натрия (рис. 8.7, в).

Параметрическая генерация света. Параметрический резонанс. Од­ним из важных эффектов нелинейной оптики является параметрическая гене­рация света. Этот эффект наблюдается в анизотропных кристаллах, обладаю­щих квадратичной нелинейностью (KDP, ниобат лития и др.) и состоит в том, что под действием мощного лазерного излучения частоты (“накачки”) в кри­сталле генерируется пара световых волн с частотами и и>2, сумма которых равна частоте накачки

+ и>2 —

(рис. 8.8). В частности, в вырожденном режиме параметрический генератор света генерирует оптическую субгармонику, частота которой равна половине частоты накачки:

(8.36)

При повороте кристалла относительно лазерного луча частоты генерируемых световых волн изменяются, что позволяет осуществлять плавную перестрой­ку частоты излучения. Например, в кристалле ADP при накачке излучением с длиной волны 0,347 мкм удается осуществить плавную перестройку длины волны излучения в диапазоне от 450 до 1000 нм. При этом величина перестрой­ки оказывается порядка 1000 см-1 при повороте кристалла на один градус от точки вырожденного режима (рис. 8.9).

В настоящее время параметрические генераторы света используются как источники когерентного излучения, перестраиваемые в видимом и ИК диапа­зонах длин волн.

м,

Нелинейная

среда

Зеркало Зеркало

а)

Механизм параметрической генерации света можно пояснить с помощью модели параметрического осциллятора, т. е. осциллятора, параметр которого (частота) заданным образом изменяется во времени. Колебания такого осцил­лятора описываются уравнением

x + u>2(t)x = 0. (8.37)

Основной физический эффект в подобной системе — параметрический резо­нанс. Это явление состоит в резком увеличении амплитуды колебаний при со­впадении частоты изменения параметра и>И (“частоты накачки”) с удвоенной частотой собственных колебаний осциллятора luq:

и>н = 2ljq. (8.38)

Иначе говоря, при параметрическом резонансе колебания на частоте накачки эффективно преобразуются в колебания вдвое меньшей частоты

Нелинейный

кристалл

Рис. 8.8. Схема параметрической генерации света

Ш° = 2^"’ (8.39)

т. е. имеет место процесс, аналогичный вырожденной параметрической генера­ции света (ср. (8.39) и (8.36)).

Покажем, что при выполнении условия параметрического резонанса (8.38), колебания осциллятора начинают экспоненциально нарастать, т. е. возникает параметрическая неустойчивость.

Полагая

ш2 (t) = ljq (1 + h cos 2шо t), (8.40)

где h — глубина модуляции, получим из (8.37) уравнение

х + Jq{ + h cos 2uot)x = 0. (8-41)

Будем считать далее, что /і С 1.

Ищем решение уравнения (8.41) в виде

x(t) — a(t) cos wot + 6(f) sinwof, (8-42)

где a(t), b(t) — медленно меняющиеся амплитуды. Подставляя (8.42) в (8.41) и пренебрегая величинами о, 6, получаем

—2а sin u>ot + 26 cos wo і + ujoh(a cos u>ot + bs'muiot) cos2wo t = 0. Пользуясь формулами

cos uj0t cos 2uj0t = - (cos ui0t + cos 3u0t),

sinu>otcos2cJot = ^(— sin + sin 3oJot),

и опуская “нерезонансные” члены, осциллирующие с частотой Зыо, получаем

-(2а + u>ohb/2) sinwot + (2b + uJoha/2) cosuJot = 0.

Приравнивая нулю коэффициенты при sin uiQt и coswo£, приходим к уравнениям

2d - Ь uJohb/2 = 0, 2b 4- cuoha/2 — 0. (8.43)

Решение системы (8.43) имеет вид

a(t) = cie7t 4- еге-7*, b(t) = —Cie74 4- сге-74, (8.44)

где

7 = шо/і/4, ' (8.45)

7 — инкремент параметрического усиления; сі и сг — постоянные, зависящие от начальных условий. В частности, если

x(t = 0)=хо, x(t — 0) = 0, (8.46)

ТО Сі = С2 = хо/2 и

x(t) — xoich'yt cosuJot — sh sin u>ot).

На достаточно больших временах (71^> 1) справедлива приближенная форму­ла

x(t) = A(t) cos(wot + 7г/4) ,

где

A(t) = ^е74.

s/2

Таким образом, в условиях параметрического резонанса амплитуда колебаний осциллятора экспоненциально нарастает во времени. При этом инкремент па­раметрического усиления определяется формулой (8.45).

Эффект параметрической раскачки колебаний легко продемонстрировать с помощью простых механических систем, например, с помощью маятника или качелей (рис. 8.10).

Комбинационное рассеяние света. Модель нелинейно связанных осцилляторов. Явление комбинационного рассеяния света было открыто в 1928 г. независимо Г. С. Ландсбергом и Л. И. Мандельштамом в России и Ч. В. Раманом и К. С. Кришнаном в Индии. Ландсберг и Мандельштам обна­ружили, что при облучении кристалла кварца светом ртутной лампы каждой спектральной линии падающего света в рассеянном свете соответствует не од­на линия той же частоты, но еще некоторое количество новых спектральных линий (“сателлитов”).

Рис. 8.10. Демонстрация парамерического резонанса с помощью математического ма­ятника

Схема эксперимента Ландсберга и Мандельштама, а также полученные ими экспериментальные данные показаны на рис. 8.11. Следует отметить, что но­вые спектральные линии в этих опытах были чрезвычайно слабыми; для их фотографической регистрации требовалось время экспозиции около 100 ч. На спектрограммах света, рассеянного кварцем, было обнаружено 72 новых (т. е. не содержащихся в ртутном спектре) линий, которые были подразделены на пять систем, так что внутри каждой системы разность частоты сателлита и основной линии постоянна по абсолютной величине. Касаясь механизма явле­ния, Ландсберг и Мандельштам высказали идею о том, что появление новых спектральных линий в рассеянном свете вызвано модуляцией падающего излу­чения собственными колебаниями кристаллической решетки кварца.

В 1962 г. Вудбери и Нга обнаружили, что рубиновый лазер, в резонатор которого была вставлена кювета с нитробензолом, в дополнение к обычному излучению рубина с длиной волны 6943 А испускал интенсивное излучение с длиной волны 7670 А. Когда между зеркалами резонатора лазера помещались другие жидкости, наблюдалось дополнительное излучение света на других ча­стотах. Во всех случаях новые частоты были смещены по отношению к частоте излучения рубина на величину, равную колебательной частоте молекул жид­кости. Правильное объяснение этого эффекта было дано Хеллуортом, который интерпретировал его как вынужденное комбинационное рассеяние света.

Процесс вынужденного комбинационного рассеяния (ВКР) света относится к классу нелинейно-оптических эффектов, в которых мощная световая волна индуцирует элементарные возбуждения в среде (оптические и акустические фононы, поляритоны, температурные волны и т. п.) и когерентным образом рассеивается на них. При ВКР речь идет о когерентном возбуждении оптиче­ских фононов; данный процесс есть вынужденный аналог спонтанного комби­национного рассеяния (СКР), при котором свет рассеивается на хаотических тепловых колебаниях среды.

В рамках классической теории процесс ВКР можно описать с помощью мо­дели нелинейно связанных осцилляторов. Рассмотрим изотропную среду, на­пример жидкость. Обозначим через у нормальную координату колебаний ато­мов в молекуле, а через х — нормальную координату колебаний электронов. В линейном приближении колебания атомов и определяющие оптическую поля­ризацию среды электронные колебания совершаются независимо друг от друга. Иная ситуация имеет место, если учесть нелинейные члены в выражении для

потенциальной энергии молекулы. При учете одного из младших нелинейных членов потенциальная энергия записывается в виде

U (х, у) = ^ах2 + 1/Зу2 + ^7 х2у. (8.47)

Здесь а и 0 — коэффициенты упругости связей в молекуле, коэффициент 7 описывает нелинейное взаимодействие электронов и ядер. Именно это взаимо­действие, взаимовлияние электронных и ядерных колебаний лежит в основе явления ВКР.

В соответствии с (8.47), уравнения движения электронов и ядер имеют вид

х + и&х = — Е — — ху, (8.48)

mm

у + П2у=-^х2. (8.49)

Здесь М и тп — приведенные массы атомного и электронного осцилляторов,

uJq = Ja. jm — собственная частота колебаний электронов, П = [ЩМ —

собственная частота колебаний ядер в молекуле, е — заряд электрона, Е — электрическое поле световых волн. Для реальных молекул частоты колебаний имеют следующие порядки величин: ш0 ~ 1015 Гц, П ~ 1013 Гц.

В приближении малых возмущений нелинейные слагаемые в уравнениях

(8.48) , (8.49) можно рассматривать как дополнительные вынуждающие силы, действующие на электронный и молекулярный осцилляторы.

Пусть на молекулу воздействует световое поле частоты и>. В соответ­ствии с уравнением (8.48) свет возбуждает электронные колебания на той же самой частоте. Предположим далее, что одновременно происходят коле-

а)

б)

m-Q т a> + Q

Рис. 8.12. Явление комбинационного рассеяния света. Спектры возбуждающего (а) и рассеянного (б) излучений (Q — частота молекулярных колебаний среды)

бания ядер в молекуле (“молекулярные колебания”) на частоте П (это могут быть, например, тепловые колебания). В этом случае х ~ cosut, у ~ cos Пі, ху ~ cos(w — Q)t + cos(a; + Cl)t. Таким образом, вследствие связи электронных и ядерных движений в молекуле, на электронный осциллятор действует эф­фективная вынуждающая сила, пропорциональная произведению колебатель­ных координат ху и содержащая колебания на комбинационных частотах из — П иш + fi. Иначе говоря, колебания ядер модулируют электронные колебания в молекуле. В результате молекула переизлучает свет не только на частоте из действующей на нее световой волны, но и на новых — “комбинационных” — частотах из ± П, где П — частота собственных молекулярных колебаний сре­ды. В этом и состоит объяснение явления комбинационного рассеяния света (рис. 8.12).

Обратимся теперь к уравнению (8.49), описывающему колебания ядер в мо­лекуле. Нетрудно видеть, что если электронная координата х содержит ко­лебания на частоте из, возбуждаемые исходной световой волной (“накачкой”), а также колебания на частоте из - О, возбуждаемые рассеянным излучением (“стоксовой компонентой”), то величина х2 содержит колебания на частоте соб­ственных колебаний молекулы П. Таким образом, в результате комбинационно­го рассеяния света возникает резонансная сила, возбуждающая молекулярные колебания. Если эта сила достаточно велика, то в системе возникает положи­тельная обратная связь: рассеяние света усиливает молекулярные колебания, а молекулярные колебания усиливают рассеяние света. В результате система самовозбуждается и переходит в режим вынужденного рассеяния, при котором интенсивность рассеяния скачком возрастает на много порядков и становится соизмеримой с интенсивностью лазерного луча.

Нетрудно показать, что пара световых волн (накачка и стоксова компо­нента ВКР) не только резонансно раскачивают молекулярные колебания, но и фазируют их в большом объеме среды. Иначе говоря, при ВКР возника­ет волна когерентных молекулярных колебаний. Эта волна наведена световым полем и эффективно взаимодействует с ним, приводя к усилению излучения на стоксовой частоте. Таким образом, благодаря нелинейности, в ансамбле клас­сических осцилляторов возникают принципиально новые эффекты: фазировка колебаний осцилляторов вследствие их взаимодействия через поле излучения и усиление света. В этом смысле ансамбль нелинейных классических осциллято­ров близок к ансамблю квантовых осцилляторов (см. ниже), обеспечивающему когерентность и усиление света в лазере.

На практике вынужденное рассеяние может выступать как причина не­устойчивости мощной световой волны, например при распространении в опти­ческом волокне или в термоядерной плазме. Важное применение вынужден­ного рассеяния — управление параметрами лазерного излучения: преобразо­вание частоты, сокращение длительности (компрессия) импульсов, улучшение пространственной когерентности. Так, комбинационные генераторы на сжатом водороде и жидком азоте позволяют осуществлять ВКР-преобразование ла­зерного излучения с квантовой эффективностью до 90%. При вынужденном рассеянии в направлении назад возможна эффективная компрессия лазерных импульсов с одновременным повышением их пиковой мощности. Практически таким образом удается сжимать импульсы в 10-20 раз, а при использовании нескольких каскадов компрессии — в 100-1000 раз.

Вынужденное рассеяние света можно использовать для обращения волново­го фронта излучения. Другая возможность — исправление волнового фронта. В этом случае речь идет о преобразовании энергии частично когерентного ла­зерного излучения в энергию полностью когерентного светового пучка на дру­гой (стоксовой) частоте. Это метод можно назвать “ВКР-коррекцией волнового фронта”. Эксперименты показывают, что данный метод позволяет значительно (в 100 и более раз) уменьшить угловую расходимость излучения. При этом энер­гетическая эффективность преобразования составляет обычно порядка 50%.

Неоднородный ансамбль нелинейных осцилляторов. Световое эхо.

Рассмотрим ансамбль нелинейных осцилляторов, в котором отдельные осцил­ляторы имеют разные собственные частоты колебаний. Такой ансамбль на­зывается неоднородным. Здесь мы обсудим своеобразное оптическое явление, возникающее в неоднородном нелинейном ансамбле — явление светового эха.

Явление эха состоит в излучении средой светового импульса через неко­торое время после того, как она была возбуждена парой коротких лазерных импульсов, разнесенных по времени (рис. 8.13). Световое эхо было предсказано в 1963 г. Копвиллемом и Нагибаровым [17] и позднее экспериментально обна­ружено в рубине Кенитом, Абеллой и Хартманом [18]. Поскольку сигналы эха излучаются средой через некоторое время после импульсов возбуждения, в ря­де работ была высказана идея применения явления светового эха в устройствах записи информации.

Для того чтобы выяснить механизм возникновения эха, рассмотрим динами­ку кубично-нелинейного осциллятора, возбужденного парой коротких световых импульсов. Пренебрегая затуханием колебаний, запишем уравнение движения осциллятора в виде

х + WqX — - ух3 = F(t).

Будем считать амплитуду колебаний достаточно малой и воспользуемся мето­дом возмущений. Приближенное решение уравнения (8.50) ищем в виде

X — хл + хнл, где хл есть решение линейного уравнения

хл 4- ujqXjj — F(t),

а £нл — малая нелинейная добавка. Подставив (8.51) в (8.50), получаем для хнл приближенное линейное уравнение

Рис. 8.13. Явление светового эха: нелинейная среда последовательно возбуждается парой коротких лазерных импульсов (“1” и “2”) и спустя время, равное задержке между импульсами, самопроизвольно испускает импульс света — сигнал эха (“Э”)

З'нл — Т^л' (8.53)

Теперь предположим, что осциллятор возбуждается последовательно двумя короткими световыми импульсами, следующими друг за другом с интервалом времени т. В этом случае

F(t) = h (t) + h (t ~ t) , (8.54)

где функции fi(t) и /2(t) описывают формы импульсов. В пределе бесконечно коротких импульсов можно считать f(t) ~ S(t), где S(t) — дельта-функция.

В силу линейности уравнения (8.52), решение задачи (8.52), (8.54) можно представить в виде суммы откликов на каждый импульс в отдельности. Напри­мер, в случае бесконечно коротких импульсов, используя известное выражение для функции Грина уравнения (8.52) (см. дополнение 16), получим

xn{t) — а sin wot + аг sino;o(i - т), (8.55)

где ai и аг — постоянные, пропорциональные энергиям возбуждающих им­пульсов. Выражение (8.55) входит в (8.53) нелинейно, поэтому фазы колебаний (8.55) войдут в него в различных комбинациях. Опуская слагаемые с частотами Зшо, получим

3 3

хЛ — -(а* + 2аіаз) sinc^ + ^(а2 + 2а^аг) sin до (t — т) +

З З

+ - аіа| sin u>o(t — 2т) + - а? а2 sinwo (t 4- r). (8.56)

Существуют моменты времени, в которые фазы колебаний (8.56) имеют строго определенные значения независимо от величины собственной частоты колеба­ний нелинейного осциллятора д>о - Это моменты времени

t-0, t = r, t = 2r. (8.57)

Если теперь обратиться к неоднородному ансамблю осцилляторов, в котором отдельные осцилляторы имеют разные собственные частоты колебаний, то из сказанного можно сделать вывод о том, что при возбуждении ансамбля двумя короткими импульсами света, в моменты времени, определяемые формулами (8.57), происходит фазировка (синхронизация) слабых нелинейных составляю­щих колебаний хнл для всех осцилляторов ансамбля. Это приводит к форми­рованию импульсов макроскопической оптической поляризации (суммарного дипольного момента) среды и испусканию импульсов света в соответствующие моменты времени. Последний из этих импульсов, испускаемый в момент вре­мени t = 2т, представляет собой сигнал светового эха (рис. 8.13).

Данный сигнал называется сигналом первичного эха. Его существование можно продемонстрировать на модели механических осцилляторов (маятни­ков — см. рис. 8.14), как это было сделано в работе [19].

Аналогичным образом можно показать, что при возбуждении тремя корот­кими импульсами света, посылаемыми в моменты времени t = 0, t = т, t = т+Т, среда испускает световой импульс в момент времени t = Т + 2т, называемый сигналом стимулированного эха (рис. 8.15). Стимулированное эхо можно ис­пользовать в устройствах записи информации. В самом деле, поскольку вре­мена т и Т независимы, можно считать, что первые два импульса записывают информацию в системе осцилляторов, затем она хранится там в течении вре­мени Т, а третий импульс считывает информацию, вызывая сигнал эха.

В 1979 г. были проведены эксперименты по изучению стимулированного све­тового эха в кристаллах LaFa:Pr3+ [20; 21] и было обнаружено, что в этом кристалле временнбй интервал между вторым и третьим возбуждающими им­пульсами может достигать нескольких минут и даже нескольких десятков ми-

Рис. 8.15. Возбуждение сигналов первичного (ПЭ) и стимулированного (СЭ) эха ' Зак. 350

нут при наложении внешнего магнитного поля. Этот эффект получил название долгоживущего фотонного эха. Была высказана идея создания на его основе оптического запоминающего устройства [16].

Резюмируя, подчеркнем еще раз наиболее важные для оптики особенности нелинейных осцилляторов. Это — чувствительность фазы колебаний к интен­сивности возбуждающей световой волны и вытекающая отсюда возможность фазировки осцилляторов световым полем, переизлучение света на оптических гармониках и комбинационных частотах, возможность усиления световой вол­ны, взаимодействующей с ансамблем осцилляторов. Именно эти свойства нели­нейных элементарных осцилляторов лежат в основе многообразных эффектов и явлений нелинейной оптики.