Физическая оптика

Тепловое излучение

Основные опытные факты. Методы исследования теплового излучения. Из - лучательная и поглощательная способность тел. Равновесное тепловое из­лучение. Закон Кирхгофа. Спектральная плотность равновесного теплово­го излучения. Термодинамика равновесного теплового излучения. Формула Рэлея-Джинса. “Ультрафиолетовая катастрофа”. Формула Планка. Необ­ходимость квантовых представлений. Законы теплового излучения. Закон Стефана-Больцмана. Закон смещения Вина. Примеры.

Представлены результаты экспериментальных исследований и основы тео­рии теплового излучения. Обсуждается вопрос о том, как на основе исследова­ний теплового излучения возникло представление о кванте.

Тепловое излучение — это свет, испускаемый нагретым телом. Солнечный свет, пламя свечи, свет лампы накаливания, электрическая дуга, инфракрас­ное излучение человеческого тела — все это примеры теплового излучения. Тепловое излучение используется в различных источниках света. Оно суще­ственно влияет на тепловой баланс во многих физических системах, в частно­сти определяет среднюю температуру поверхности Земли. Теория этого вида излучения важна для физики, поскольку, с одной стороны, тепловое излуче­ние универсально, его природа не связана ни с конкретным материалом, ни даже с устройством атома, а, с другой стороны, происхождение теплового из­лучения обусловлено фундаментальной термодинамикой света и вещества, и свойства этого излучения прямо указывают на тот факт, что атомы способны излучать и поглощать свет данной частоты не в любых количествах, а лишь строго определенными дискретными порциями (квантами).

Основные опытные факты. Методы исследования теплового излу­чения. Из опыта известно, что сильно нагретые тела начинают светиться. При увеличении температуры тела яркость свечения возрастает, а его цвет изменя­ется от темно-красного до белого. Подобные закономерности можно заметить, наблюдая, например, нагревание куска металла в кузнечном горне, нагревание спирали электроплиты или нити лампы накаливания.

Характерной чертой теплового излучения является широкий сплошной спектр. В этом можно убедиться с помощью опыта, схема которого показана на рис. 9.1. Излучение электрической дуги (свет дугового фонаря) направляется на стеклянную призму, которая разлагает его в спектр. Спектр наблюдается в затемненной аудитории на экране. Он представляет собой яркую радужную полосу и содержит красный, желтый, зеленый, голубой цвета, переходы ме­жду которыми непрерывны. С помощью термопары, которую экспериментатор перемещает вдоль радужной полоски, и стрелочного прибора можно измерить распределение энергии излучения по спектру. Такие измерения показывают, что в пределах видимой части спектра интенсивность излучения монотонно возрастает по мере увеличения длины световой волны, максимум интенсивно­сти излучения дуги лежит в инфракрасной области спектра.

Результаты измерений можно представить в виде графика зависимости ин­тенсивности излучения от длины волны или частоты света.

На рис. 9.2 показаны спектры излучения нагретых тел, измеренные Люмме - ром и Прингсгеймом (1899 г.). Графики отчетливо демонстрируют увеличение
полной мощности теплового излучения и смещение максимума спектральной плотности в коротковолновую область спектра при повышении температуры излучающего тела. На рубеже XIX — XX веков перед физикой встал вопрос: как объяснить спектр теплового излучения? Исследование этой проблемы при­вело к появлению квантовых представлений.

Излучательная и поглощательная способность тел. Разные тела по - разному поглощают свет. Черные тела сильно поглощают свет, белые — слабо. В подтверждение этого можно привести много примеров. Так, вода в бочке, выставленной на солнце, нагреется быстрее, если бочка выкрашена в черный цвет.

Для количественной характеристики поглощательной способности тела вве­дем величину

Здесь ІГпад — энергия падающего на тело света, Wn0m — энергия света, погло­щенного телом. Величину а будем называть “поглощательной способностью” тела. Поглощательную способность можно измерить экспериментально по на­греванию тела.

Для непрозрачных тел сумма энергий поглощенного и отраженного света равна энергии падающего светового потока (рис. 9.3):

Ч^пад — W0Tp + П^погл) поэтому безразмерная величина а лежит в пределах

О < а < 1.

Предельные случаи можно назвать так: а = 0 — “абсолютно белое тело”; а = 1 — “абсолютно черное тело”. Хорошим примером белого тела является мел, черного — уголь или сажа.

Опыт показывает, что поглощательная способность одного и того же тела меняется при изменении температуры тела Т и частоты падающего на него све-

та и = ы/27г. Следовательно, каждое тело можно охарактеризовать некоторой функцией

а = a(i;,Т)

(“поглощательная способность”). Разумеется, у разных тел эти функции совер­шенно различны.

Излучение света. Рассмотрим какое-нибудь нагретое тело, например, раскаленную нить лампы накаливания. Выделим элемент поверхности тела

I / dP™n

W t/„

(v + dv) da

Рис. 9.4. К определению понятия излучательной способности тела

площадью da и обозначим мощность излучения этого участка поверхности в интервале частот от v до и + dv через dP„зл (рис. 9.4).

Ясно, что величина dP„3JI пропорциональна величинам da и dv. Поэтому можно написать

dP„3Ji = є dv da. (9.2)

Коэффициент пропорциональности є в этой формуле назовем “излучательной способностью” тела. Опыт показывает, что излучательная способность, так же как и поглощательная способность, зависит от температуры тела Т и частоты света v, т. е.

e = e{v, T).

Равновесное тепловое излучение. Пусть есть некоторое тело, нагретое до температуры Т, внутри которого вырезана полость (рис. 9.5). Так как стенки полости испускают тепловое излучение, полость будет заполнена этим излуче­нием. В стационарных условиях, когда температура тела поддерживается по­стоянной, характеристики теплового излучения в полости также будут иметь постоянные и строго определенные значения, а именно, такие значения, при которых процессы испускания и поглощения света стенками полости взаимно уравновешивают друг друга. Иначе говоря, в стационарных условиях между стенками полости и излучением внутри нее устанавливается тепловое равно­весие. В этом случае тепловое излучение в полости называется равновесным.

Экспериментально исследовать равновесное излучение можно, проделав не­большое отверстие (канал), соединяющее полость с внешним пространством. Через это отверстие равновесное тепловое излучение будет выходить из поло­сти наружу и его характеристики могут быть измерены (рис. 9.5, б).

Закон Кирхгофа. В 1859 г. немецкий физик Густав Кирхгоф установил закон, согласно которому в состоянии теплового равновесия отношение излу­чательной способности к поглощательной способности не зависит от природы тела:

і - (9.3)

Здесь p{v, T) — универсальная (одинаковая для всех тел) функция частоты света v и температуры тела Т, называемая излучательной способностью аб­солютно черного тела. Смысл этого термина ясен из определения абсолютно черного тела, согласно которому для такого тела a(v, Т) = 1 и, следовательно,

Рис. 9.5. К понятию равновесного теплового излучения. Под равновесным понима­ется излучение, находящееся в равновесии с нагретым телом, например, излучение, заполняющее полость, вырезанную внутри нагретого тела (а). Способ измерения ха­рактеристик равновесного излучения (б)

є{и, Т) = p{v, T). Первоначально Кирхгоф вывел данный закон теоретически, используя соображения термодинамики. Позднее этот закон был подтвержден экспериментально.

Рассмотрим теоретические соображения, подтверждающие закон Кирхгофа. Предположим, что внутри полости, занятой равновесным тепловым излучени­ем, находится некоторое тело, например кусок мела (рис. 9.6, а). Очевидно, что в состоянии теплового равновесия мощность излучения, поглощаемого телом, равна излучаемой им мощности

TOC o "1-5" h z dPггогл = dP„зл, (9-4)

так как в противном случае тело начало бы нагреваться или охлаждаться, а это привело бы к нарушению равновесия. Используя определения излучательной и поглощательной способностей тела, можно записать

dPггогл = 0!<Н"пад> (9-5)

rf-Ризл = є du da, (9.6)

где є — излучательная способность, а — поглощательная способность, йРпад — мощность излучения, падающего на элемент поверхности тела площадью da и имеющего частоту в спектральном интервале от // до v + du. Из (9.4)-(9.6) следует, что

01 dP„m = є du da. (9.7)

Теперь заменим наше пробное тело (кусок мела) каким-либо другим телом такого же размера и формы, например, куском угля (рис. 9.6,5). Посколь­ку характеристики теплового излучения остаются неизменными (пробные тела можно считать достаточно малыми по сравнению с термостатом, так чтобы они не влияли на характеристики теплового излучения в полости), во втором случае на элемент поверхности тела той же площади da в пределах той же по­лосы частот du будет падать излучение той же самой мощности dPa&a. Формулы 9.4)-(9.7) по-прежнему остаются в силе, хотя коэффициенты а и є имеют те­перь другие значения. Итак, в формуле (9.7) инвариантны все величины, кроме f и а. Но тогда должно быть инвариантно отношение

Рис. 9.6. К выводу закона Кирхгофа. Стрелками показаны потоки излучения, погло­щаемого и испускаемого телами

е/а = inv,

что и составляет содержание закона Кирхгофа.

В лекционной демонстрации закона Кирхгофа используется нагретая до температуры около 1000 °С (в трубчатой или муфельной печи) фарфоровая тарелка, привязанная к стальной проволоке. На поверхности фарфора нанесен темный рисунок (“цветок”) на светлом фоне. Когда нагретый фарфор быстро вынимают за проволоку из печи в затемненной аудитории, рисунок на нем ярко светится на фоне слабого свечения неокрашенных частей фарфора (рис. 9.7, а). Однако по мере остывания фарфора яркие места рисунка становятся более темными и на остывающей тарелке снова становится виден темный цветок на светлом фоне (рис. 9.7,6). Таким образом, опыт показывает, что участки поверхности тела с большей поглощательной способностью имеют и большую излучательную способность, т. е. є ~ а, что подтверждает закон Кирхгофа.

Существенно также следующее обстоятельство. Если наблюдать тарелку не­посредственно в нагретой печи через небольшое отверстие, то оказывается, что рисунок на тарелке вообще не виден (рис. 9.7, в), и даже сама тарелка едва раз-

а)

Рис. 9.7. Демонстрация связи между излучательной и поглощательной способностя­ми тела. Свечение нагретой фарфоровой тарелки в затемненной аудитории (а). Вид остывшей тарелки (6). Вид тарелки в печи (в)

личима на фоне светящихся раскаленных стенок печи. Равновесное тепловое излучение, выходящее из печи, не несет никакого изображения, оно однородно. Это означает, что те тела или участки тела, которые сильно поглощают, одно­временно сильно испускают свет, т. е. излучательная способность тел пропор­циональна их поглощательной способности — в полном соответствии с законом Кирхгофа.

Спектральная плотность равновесного теплового излучения. Рав­новесное тепловое излучение характеризуют спектральной плотностью и(и>, Т), которая определяется как энергия равновесного излучения при температуре Т, приходящаяся на единицу объема пространства и бесконечно малый интервал частот шириной dw вблизи частоты и. Энергия теплового излучения в объеме V и полосе частот от w до w + dw есть

dW = Vu{w, T)dw. (9.8)

Величина dW измеряется в эргах. Формулу (9.8) можно рассматривать как определение функции и(ш, Т).

Функцию u(w, T) называют также спектральной плотностью излучения черного тела, поскольку эта функция однозначно связана с универсальной функцией Кирхгофа p(v, T), имеющей смысл излучательной способности аб­солютно черного тела.

Люммер и Прингсгейм экспериментально исследовали спектральную плот­ность равновесного теплового излучения с помощью установки, схема которой показана на рис. 9.8. Основной элемент установки — железная полость с отвер­стием для вывода излучения. Эта полость нагревалась с помощью специальной печи с двойными стенками. Нагретые пламенем газы протекали между стен­ками полости и внутренними стенками печи, затем попадали в пространство между двойными стенками печи и, наконец, выходили в дымоход. Температура измерялась ртутными термометрами либо термопарой.

Мощность теплового излучения, выходящего из полости, измерялась с по­мощью болометра. В этом приборе излучение, мощность которого необходимо определить, падает на одну из двух зачерненных платиновых проволочек и по-

*

L 2

Рис. 9.9. Оптический резонатор — элементарная система, позволяющая подсчитать число степеней свободы светового ПОЛЯ

глощается ею, повышая ее температуру и, следовательно, увеличивая ее элек­трическое сопротивление. Изменение сопротивления определяется сравнением с сопротивлением другой проволочки.

Были приняты все меры предосторожности, чтобы можно было с уверенно­стью считать, что регистрируемая мощность излучается именно полостью, и в результаты измерений вносились поправки на возможные ошибки, связанные с поглощением излучения воздухом по пути от полости до чувствительного эле­мента. Для спектрального разложения излучения использовался призменный спектрометр. Результаты этих исследований были приведены в серии работ, опубликованных в 1899-1900 гг. Они показаны на рис. 9.2.

Перейдем теперь к теоретическому расчету спектральной плотности равно­весного теплового излучения и(и>,Т).

Термодинамика равновесного теплового излучения. Теоретический расчет функции и(ш, Т) можно выполнить на основе известного из термоди­намики закона о равнораспределении энергии по степеням свободы. Согласно этому закону, в состоянии теплового равновесия на каждую степень свободы системы в среднем приходится одинаковая энергия, равная кТ/2. Здесь Т — абсолютная температура системы, к — постоянная Больцмана. Для того чтобы применить этот закон к тепловому излучению, необходимо подсчитать число степеней свободы электромагнитного поля, находящегося в замкнутой полости.

Основная идея расчета состоит в том, что равновесное тепловое излучение в полости можно представить в виде набора стоячих волн. По существу речь идет о спектральном разложении стационарной пространственной структуры равновесного излучения на элементарно простые структуры — синусоидальные стоячие волны.

Существенны следующие два обстоятельства. Первое — пространственная структура равновесного теплового излучения стационарна, второе — энергия излучения, падающего на стенку полости, равна излучаемой стенкой энергии. Простейшая система, в которой выполняются оба эти условия, представляет со­бой пару параллельных зеркал — оптический резонатор (рис. 9.9). Известно, что световое поле в таком резонаторе можно представить в виде дискретно­го счетного набора стоячих волн (“осцилляторов поля”). Количество разных стоячих волн и определяет собой искомое число степеней свободы поля.

Итак, рассмотрим световое поле, заключенное между двумя плоскими зер­калами. Расстояние между зеркалами обозначим буквой L. Направим ось z по нормали к поверхности зеркал. В плоском резонаторе световое поле удовлетво­ряет одномерному волновому уравнению

д2Е 1д2Е

л о о л. о — и

dz2 с2 dt2

Считая зеркала идеальными проводниками, граничные условия запишем в виде

E(0,t) = E(L, t)=0. (9.10)

Решение задачи (9.9), (9.10) есть

E(z, t) = A(t)sinkzz. (9.11)

Подставив (9.11) в (9.9), получим уравнение для амплитуды A(t):

(9.12)

Таким образом, амплитуда подчиняется уравнению гармонического осцилля­тора. Решение этого уравнения есть

A(t) = Aq cos(wt + ip), ш = ckz. (9.13)

С другой стороны, подставив (9.11) в (9.10), получим уравнение

sinA:2L = 0, (9-14)

откуда

kzL — mz7г; т2 = 1,2,3,... . (9.15)

Соответственно

7ГС

tj = ckz=mz — , mz = 1,2,3,... . (9.16)

Таким образом, световое иоле в резонаторе имеет структуру дискретного на­бора волн. Каждую стоячую волну, характеризуемую определенным простран­ственным распределением интенсивности света, можно назвать “осциллятором поля”. Несколько простейших структур показаны на рис. 9.10. Важно, что ос­цилляторы поля в резонаторе образуют счетный набор, т. е. могут быть пере­нумерованы. Поскольку различные осцилляторы независимы (их амплитуды совершенно произвольны), полное их число имеет смысл числа степеней сво­боды поля.

Согласно формуле (9.15), в пространстве волновых чисел kz на долю ка­ждого осциллятора поля приходится ячейка размером Ак = к/L (рис. 9.11), где L — длина резонатора.

Обобщая рассмотрение на случай трех пространственных координат, рас­смотрим световое поле внутри полости с зеркальными стенками, имеющей фор­му куба (рис. 9.12). Пусть длина ребра куба L, объем V = L3, оси координат направлены вдоль ребер куба.

Для каждой из декартовых компонент поля Ех, Еу, Ег справедливо волно­вое уравнение

тг = 1

АЛ 1ЛЛЛІ

Рис. 9.10. Пространственные структуры простейших осцилляторов поля в оптическом резонаторе

А — оператор Лапласа. Решение уравнения (9.17) ищем в виде

E(x, y,z, t) = Aosin(kxx) sin(kyy) sin(kzz) cos(ut + <р). (9.18)

Подстановка (9.18) в (9.17) приводит к уравнению

kl + fcy + к2, = к2 = ш2/с2, (9.19)

связывающему между собой модуль волнового числа к и частоту и световой волны (так называемое “дисперсионное уравнение”). По аналогии с (9.15), гра­ничные условия приводят к соотношениям

я/Ь

Рис. 9.11. Изображение осцилляторов поля в пространстве волновых чисел

kxL = тх 7г, kyL = ту ж, kzL — mz 7г, (9.20)

где тх, ту, mz — любые натуральные числа, т. е.

тпх, шу, Tnz — 1,2,3,... . (9.21)

Величины кх, ку, kz можно трактовать как декартовы компоненты волнового вектора световой волны к.

Итак, в трехмерном случае каждый осциллятор поля характеризуется трой­кой натуральных чисел mx, тпу, тпг. Картина, изображающая осцилляторы по­ля в пространстве волновых чисел (“^-пространство”), показана на рис. 9.13. Из этого рисунка видно, что все ^-пространство разбито на кубики объемом

vk = (tt/L)3 (9.22)

каждый, при этом каждому отдельному кубику соответствует свой осциллятор

ПОЛЯ.

Теперь нетрудно подсчитать полное число степеней свободы поля. Рассмо­трим световое поле, занимающее диапазон частот от 0 до и>. Согласно диспе­

рсионному уравнению (9.19), волновые числа поля занимают диапазон от 0 до к = и/с. В пространстве волновых чисел эта область имеет вид шара радиуса к, а ее объем равен 4жк3/3. Согласно формуле (9.18), изменение знаков вели­чин кх, ку, kz приводит лишь к изменению знака (фазы) поля, но не меняет его пространственной структуры (рис. 9.10). Поэтому физически различным конфигурациям (осцилляторам) поля отвечают лишь числа кх, ку, к. опреде­ленного знака, например,

кх, ку, kz> 0. (9.23)

В указанную область (положительный октант пространства волновых чисел) попадает лишь 1/8 часть шара радиуса к, объем этой части составляет

F* = жк (9.24)

О

Искомое число осцилляторов поля равно, очевидно, отношению объема V/., ко­торый занимают в ^-пространстве все осцилляторы поля, к объему п* ячейки, соответствующей одному осциллятору. Обозначив это число Z можно запи­сать

2' = Уфк. (9.25)

Используя (9.22), (9.24), (9.19), эту же величину можно записать как

z'=<9-гб>

Итак, формула (9.26) определяет число осцилляторов поля, занимающего об­ласть пространства объемом I? и частотный интервал от 0 до lo. Эта формула дает число степеней свободы поля, связанных с возможными направлениями распространения световых волн. Однако волна, распространяющаяся в опре­деленном направлении, может иметь два независимых состояния поляризации (например, плоская волна, распространяющаяся вдоль оси z, есть, вообще го­воря, суперпозиция волн типа Ех, Ну и Еу, Нх — см. ч. I). Поэтому полное

число степеней свободы светового поля вдвое превышает число Z' и составляет величину

Z=— (927)

Зтг 2с3' 1 j

Теперь вычислим число степеней свободы поля, приходящихся на спектраль­ный интервал от ш до ш + dw. Взяв дифференциал от обеих частей равенства (9.27), получим

ш2тЗ

dZ = - z-rdu>. (9.28)

Итак, задача подсчета числа степеней свободы равновесного теплового из­лучения решена. Используя этот результат, спектральную плотность равновес­ного теплового излучения, т. е. энергию излучения, приходящуюся на единицу

объема пространства и спектральный интервал от ш до и) + du, можно предста­вить в виде

и(ш, Т) = -7-3 (ш>, (9.29)

7Г ІСІ

где (w) — средняя энергия, приходящаяся на осциллятор поля.

Формула Рэлея—Джинса. Согласно закону равнораспределения энергии по степеням свободы, в состоянии теплового равновесия средняя энергия ос­циллятора

(w) = kT, (9.30)

где к — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура системы. Так,

для механического осциллятора средняя кинетическая энергия равна средней

потенциальной энергии и равна кТ/2. Для осциллятора поля средняя энергия электрического поля равна средней энергии магнитного поля и равна кТ/2. В обоих случаях полная средняя энергия осциллятора равна кТ.

Подставив (9.30) в (9.29), получим

и(и, Т)=^-кТ. (9.31)

1Г*СА

Данное выражение для спектральной плотности равновесного теплового излу­чения носит название формулы Рэлея-Джинса.

На рис. 9.14 показаны вид экспериментально измеренного распределения и(ш, Т) и теоретическая кривая, построенная по формуле Рэлея-Джинса. Вид­но, что экспериментальная и теоретическая зависимости качественно различа­ются, следовательно, формула Рэлея-Джинса не может быть признана пра­вильной во всей области частот. Однако в длинноволновой области данная формула хорошо согласуется с экспериментом. Этот факт, а также ясность и простота положений, на которых основана формула Рэлея-Джинса, позво­ляют утверждать, что в области низких частот эта формула является правиль­ной, и более полная формула для спектральной плотности, которая была бы пригодна для всей области частот и которую еще предстоит найти, должна в соответствующем пределе переходить в формулу Рэлея-Джинса.

“Ультрафиолетовая катастрофа”. Главный недостаток формулы Рэ­лея-Джинса состоит, очевидно, в предсказываемом ею неограниченном росте спектральной плотности излучения в области высоких частот. Этот вывод на­ходится в вопиющем противоречии с экспериментом, согласно которому спек­тральная плотность стремится к нулю при ш -» оо (рис. 9.2 и 9.14). Кроме того, из формулы Рэлея-Джинса следует, что полная (интегральная по часто­те) энергия теплового излучения равна бесконечности:

(9.32)

что, конечно, противоречит здравому смыслу. Поскольку данные обстоятель­ства связаны с коротковолновой (ультрафиолетовой) частью спектра, за ними закрепилось название ультрафиолетовой катастрофы или парадокса Рэлея - Джинса. К 1900 г. это противоречие было ясно осознано и достигло предельной остроты; ему было суждено разрешиться рождением квантовой физики.

Формула Планка. К концу 1900 г. в исследованиях равновесного теплового излучения сложилась следующая ситуация. Были проведены точные экспери­ментальные измерения спектральной плотности излучения (Люммер и Принг - сгейм, Рубенс и Курлбаум и др. — см. рис. 9.2). Была известна формула Рэлея - Джинса (9.31) и было ясно, что она правильно описывает низкочастотную часть кривой и(ш, Т). Наконец была известна формула Вина

и(и),Т) ~ LJ3e 7Ш/Т, J = const,

которая хорошо согласуется с экспериментом в области средних и высоких частот. Таким образом, были известны асимптотики распределения и(ш, Т):

Пытаясь построить выражение для u(ui, T), пригодное для всей области частот, Макс Планк придумал несколько формул, удовлетворяющих условиям (9.34), среди которых одна поразила его своей красотой. В современных обозначениях эта формула имеет вид

, ^ _ 1 fan

U''W’ ' еНш/кТ _ I

и называется формулой Планка. В этой формуле h — постоянная, численное значение которой

h = 1,05 х 10 27 эрг • с.

Эта постоянная называется постоянной Планка.

Очень скоро выяснилось, что формула (9.35) прекрасно согласуется с экс­периментом. Тогда встал вопрос обоснования этой формулы, выяснения ее фи­зического смысла. Макс Планк приступил к решению этой задачи.

Необходимость квантовых представлений. Вывод, к которому пришел Планк спустя некоторое время, был обескураживающим. Оказалось, что фор­мула (9.35) может быть выведена в предположении, что атомы, образующие
стенки нагретой полости, в которой заключено равновесное тепловое излуче­ние, способны излучать и поглощать свет данной частоты не в любых коли­чествах, а лишь дискретными порциями (“квантами”) с энергией

гио = fuo.

Данное предположение резко противоречит господствовавшим в то время представлениям классической физики, согласно которым энергия любой физи­ческой системы может изменяться непрерывно. Нетрудно видеть, однако, что это предположение разрешает парадокс Рэлея-Джинса. В самом деле, форму­ла (9.37) показывает, что высокочастотное излучение может излучаться лишь достаточно большими порциями, и в условиях, когда hu 3> кТ, в стенках по­лости просто не найдется атомов, способных испускать высокочастотные кван­ты; тепловая энергия атомов, имеющая порядок величины кТ, будет для этого слишком мала. Таким образом, в пределе и> —> оо спектральная плотность излу­чения должна стремиться к нулю — в полном соответствии с эксперименталь­ными данными. С другой стороны, в низкочастотном пределе, когда Низ «С кТ, дискретность излучения, очевидно, не будет играть существенной роли, и ста­новится ясно, почему в этой области справедлива классическая теория.

Итак, несмотря на всю необычность гипотезы Планка, сразу появились вес­кие аргументы в ее пользу. Дальнейшее развитие физики окончательно под­твердило его правоту. Последствия открытия Планка оказались таковы, что оно с полным правом может быть отнесено к числу самых главных открытий в истории физики.

Остановимся коротко на том, как исходя из (9.35) можно прийти к (9.37).

Предположим, что атом, взаимодействующий с излучением, может изме­нять свою энергию не непрерывно, а скачкообразно, некоторыми порциями шо - В этом случае возможные значения энергии атома w можно перенумеровать, записать в виде

wn = nw о, 71 = 0,1,2,...

и изобразить в виде “лестницы” энергетических уровней, как показано на рис. 9.15.

Заметим, что данное предположение еще не означает отказа от классиче­ской модели, если в дальнейшем предполагается предельный переход и>о -> 0.

Вероятность того, что атом находится на энергетическом уровне с номером п, определяется распределением Больцмана

Р(п) = Ce~nwo/kT,

или

Р(п) = С е~пх,

где введено обозначение

х = wo /кТ.

В формулах (9.39)-(9.41) п = 0,1,2,3,..., wq — элемент энергии, Т — абсо­лютная температура системы, к — постоянная Больцмана, С — постоянная, определяемая условием нормировки

w

а

я

О

Н

Л

*

S

и

а

ад

к

0

Рис. 9.15. Уровни энергии атома в модели Планка

При вычислении суммы ряда в (9.43), мы воспользовались известной формулой для суммы геометрической прогрессии:

00 і

*<L

71=0

Средняя энергия атома определяется выражением

ОО

(w) = ]>~^wnP{n).

n=О

Подставив (9.38), (9.40) в (9.46), получим

ОО

(w) = Cw0Y^ne~nx.

Подставив (9.48) и (9.44) в (9.47), найдем

SHAPE * MERGEFORMAT

(9.49)

или, в силу (9.41),

(9.50)

Итак, формула (9.50) определяет среднюю энергию атома в модели дискрет­ных энергетических уровней Планка. Заметим, что согласно этому выражению, средняя тепловая энергия элементарного осциллятора среды (атома), отнюдь не равна величине кТ, как этого требует закон равнораспределения энергии по степеням свободы. Выражение (w) = кТ получается из (9.50) только в предель­ном случае wo —> 0, т. е. когда планковский элемент энергии wo устремляется к нулю.

Атом среды Планк моделировал гармоническим осциллятором. В силу за­кона равнораспределения энергии по степеням свободы в состоянии теплового равновесия средняя энергия осциллятора вещества (атома) должна быть равна средней энергии осциллятора поля:

(ш)осциллятор вещества —

Это дает основание подставить выражение (9.50) в формулу (9.29) для спек­тральной плотности равновесного теплового излучения. В результате такой подстановки получим

(9.52)

В предельном случае wq —> 0, соответствующем классической модели непре­рывной энергии атома, данное выражение переходит в формулу Рэлея-Джинса (9.31). Однако сопоставление (9.52) с формулой Планка (9.35), идеально опи­сывающей эксперимент, указывает на то, что планковский элемент энергии wo есть не бесконечно малая, а конечная величина, пропорциональная частоте из­лучения со. Если принять для wo выражение (9.37), то формула (9.52) переходит

в (9.35).

Так в результате исследований теплового излучения было установлено, что атом обладает дискретным набором уровней энергии. Этот вывод, подтвер­жденный всеми дальнейшими исследованиями, послужил отправной точкой для развития квантовой физики.

Законы теплового излучения. Еще до открытия Планка были извест­ны два закона, характеризующие свойства теплового излучения. Это закон Стефана-Больцмана и закон смещения Вина. Мы выведем эти законы как следствия формулы Планка (9.35).

Закон Стефана—Больцмана. Согласно этому закону, полная мощность теплового излучения возрастает пропорционально четвертой степени абсолют­ной температуры тела.

Из формулы (9.35) для объемной плотности энергии равновесного теплового излучения получаем:

ОО ОО

dW f, _ , h Г oj3duj

dV J ’ ir2c3 J eft“V*T — 1

0

П ()fcT4 7 x3

7T2C3 h

Таким образом, формула Планка подтверждает закон Стефана-Больцмана. Используя значение интеграла

^ = 7г4/15, (9.54)

ех -1

о

запишем закон Стефана-Больцмана в виде

^ = аГ4, (9.55)

где

а = j— = 7,55 х 10~15 эрг • см“3 • К~4. (9.56)

Ыг с3

При вычислении постоянной а мы использовали известные значения физиче­ских постоянных: постоянная Больцмана к = 1,38 х 10-16 эрг-К-1, постоянная Планка h = 1,05 х 10-27 эрг е, скорость света с = 3 х Ю10 см-с-1, я = 3,14.

Закон смещения Вина. Согласно этому закону, длина волны Лтах, на которую приходится максимум спектральной плотности теплового излучения, уменьшается обратно пропорционально абсолютной температуре тела:

, const /Л

Атах — у • (9.57)

Для того чтобы вывести этот закон, выразим спектральную плотность рав­новесного теплового излучения через длину волны излучения А. Для этого ис­пользуем формулу связи между частотой и длиной волны ш = 2пс/Х и правило преобразования плотности вероятности

и(ш, T)dw = u(A, T)dX. (9.58)

Смысл этой формулы поясняет рис. 9.16.

Из (9.58) получаем

где h = 2nh. Вид распределения и(Х, Т) показан на рис. 9.17. Искомую длину волны Атах определим из условия

а“(Л'Т>=0. (9.61)

ЭХ

Подставив (9.60) в (9.61), получим уравнение

= 5, (9.62)

ех - 1

где

х = ш~■ (9-63)

лтах

Решение трансцендентного уравнения (9.62) есть

х = 4,965 (9.64)

(оно может быть найдено численно или графическим способом). Следова­

тельно,

_ hc _ 0.29 см

max 4,965fcT Т(К) ^ '

в соответствии с законом смещения Вина.

Примеры. Рассмотрим два примера на применение законов теплового из­лучения.

1. Известно, что максимум интенсивности излучения Солнца приходится на длину волны около 0,5 мкм. Определить температуру поверхности Солнца.

Считая Солнце абсолютно черным телом и полагая Атах = 0,5 х 10-4 см, по формуле (9.65) получим Т к 6000 К. Таким образом, температура поверхности Солнца составляет примерно шесть тысяч градусов.

2. До какой температуры может нагреть солнечный свет некоторое черное тело на поверхности Земли?

Будем считать, что предел нагреванию кладет собственное тепловое излуче­ние нагреваемого тела. Тогда условие теплового баланса для некоторого малого элемента поверхности тела da (рис. 9.18) можно представить в виде равенства

Рис. 9.17. К выводу закона смещения Вина: спектральная плотность равновесного теплового излучения в зависимости от длины волны излучения

мощностей излучения падающего на данный участок солнечного света dPnaa и ИСПуСКаемОГО ИМ СОбсТВеННОГО ТеПЛОВОГО ИЗЛучеНИЯ СІРИЗЛ:

dPnaa = dPn-зл - (9.66)

Величины, входящие в формулу (9.66), можно представить в виде

dPлад = Icdcr, (9.67)

где /с — интенсивность солнечного света,

оо

dPM3a = da J р(и>, T) du, (9.68)

о

где р(ш, Т) — излучательная способность абсолютно черного тела. Эта вели­чина связана со спектральной плотностью равновесного теплового излучения и(а>,Т) формулой (см. лекцию 3):

р(ш, Т) = |и(ш, Г), (9.69)

где с — скорость света. Поэтому, используя формулу Планка (9.35), и закон Стефана-Больцмана

ОО

f u{u),T)du = aT4, (9.70)

о

получим

= яТ4, (9.71)

где

я: = |а, (9.72)

а постоянная а определяется формулой (9.56). Величина dP„3JI/da называется “энергетической светимостью” тела; формула (9.71) выражает закон Стефана- Больцмана, записанный для этой величины.

Подставив (9.56) в (9.72), получим

яг = 5,66 х 1(Г12 Вт • см“2 • К-4. (9.73)

Подставив (9.67), (9.71) в (9.66), найдем

Т = УТфс. (9.74)

Данная формула определяет предельную температуру, до которой может на­греть свет черное тело. Известно, что интенсивность солнечного света у поверх­ности Земли составляет величину

1С « 0,1 Вт/см2. (9.75)

Подставив (9.75) и (9.73) в (9.74), получим численную оценку:

Т = 365 К = 92 °С. (9.76)

Опыт подтверждает этот результат. Добавим к этому, что путем концентрации солнечного света с помощью зеркал или линз можно значительно увеличить температуру нагревания тела. Эта возможность используется на установках солнечной энергетики.