Физическая оптика

Линейный осциллятор в световом поле

Поглощение света осциллятором и ансамблем осцилляторов. Закон Бугера. Спектроскопия поглощения. Уменьшение фазовой скорости света в среде. По­казатель преломления. Неоднородный ансамбль осцилляторов. Однородная и неоднородная ширина спектра. Возбуждение коротким импульсом. Релакса­ция энергии и дефазировка. Принципы частотной и временной спектроскопии.

На основе модели гармонического осциллятора рассматриваются основные эффекты взаимодействия света с веществом: поглощение света и уменьшение скорости световой волны, распространяющейся в среде. Анализируются особен­ности взаимодействия света с неоднородным ансамблем осцилляторов, в кото­ром отдельные осцилляторы имеют разные собственные частоты колебаний. Обсуждаются оптические методы исследования вещества, принципы стацио­нарной и нестационарной спектроскопии.

Поглощение света осіщллятором и ансамблем осцилляторов. Одним из основных эффектов, возникающих при взаимодействии света с веществом, является эффект поглощения света. Причина этого явления состоит в том, что свет возбуждает колебания элементарных оптических осцилляторов среды (атомов, молекул) и передает им свою энергию. В результате энергия среды возрастает, а энергия самой световой волны уменьшается — среда поглощает свет.

Основные закономерности поглощения света средой удается описать в рам­ках простой классической модели среды как ансамбля гармонических осцилля­торов. Рассмотрение этой задачи мы начнем с оценки мощности, передаваемой световой волной отдельному осциллятору.

Возбуждение осциллятора гармоническим полем. Возбужде­ние осциллятора световым полем описывается уравнением

(7.1)

х + Гі + ui^x = —Е.

т

Здесь е и тп — заряд и масса осциллятора, и>0 и Г — собственная частота и коэффициент затухания колебаний, х — координата, Е — напряженность электрического поля световой волны (рис. 7.1).

Запишем световое поле в виде

(7.2)

где ш — частота, £ — комплексная амплитуда поля. Подставив (7.2) в (7.1), получим уравнение вынужденных колебаний

(7.3)

(7.4)

Решение уравнения (7.3) ищем в виде

х = - xexp (iut) +к. с.,

Рис. 7.1. Возбуждение осциллятора световым полем

где х — комплексная амплитуда колебаний осциллятора. Подставив (7.4) в

(7.3) , находим

* = --2---------------------------------------------------------- ТТ^£- (?-5)

m ujq — + ццГ

Формулы (7.4) и (7.5) описывают установившиеся колебания осциллятора в поле монохроматической световой волны.

Индуцированное поглощение. Вычислим мощность Р, передавае­мую светом осциллятору. По определению мощности

TOC o "1-5" h z Р = dA/dt, (7.6)

іще

dA — Fdf—eEdx, (7.7)

dA — элементарная работа, совершаемая световым полем над осциллятором. Подставив (7.7) в (7.6), получим

Р = еЕх. (7.8)

Согласно (7.2), (7.4), (7.8),

Р = jiu) (£*х + £xe2uot) - I- к. с.,

т. е. мгновенная мощность Р осциллирует на частоте 2ш. Средняя по периоду световых колебаний мощность

TOC o "1-5" h z (Р) = Ро = |iu>£*x + к. с. (7.9)

Подставив (7.5) в (7.9), получим

рп = ^ Ш2Г К|2

0 2m (oJq — ш2)2 4- и>2Г2 ’

яли

(7.10)

_ 47ГЄ2 и>2Г

0 ~ me (CJ2 - LJ2)2+W2r27’

Рис. 7.2. Зависимость сечения поглощения света осциллятором от частоты света

где

(7.11)

I = с£ |2/87г,

I — интенсивность световой волны.

(7.12)

Из (7.10) видно, что Ро > 0. Это значит, что свет передает свою мощность осциллятору, при этом сам свет поглощается. Для характеристики величины поглощения удобно ввести сечение <7, определив его формулой

Ро = ОІ.

Тогда

SHAPE * MERGEFORMAT

о)2Г

47ГЄ2

(7.13)

а{ш) =

тс (coq - и2)2 + ш2Т2'

Резонансная кривая. В области частот вблизи резонанса |а>-ц>о| формула (7.13) приобретает вид

ст{и) =

(7.14)

же

тс (шо - w)2 + Г2/4‘

Таким образом, зависимость сечения поглощения от частоты света имеет вид лоренцевой кривой (рис. 7.2). Максимум сечения поглощения приходится на частоту ui = ио, совпадающую с собственной частотой колебаний осциллятора. Ширина распределения ст{из) (полная ширина по полувысоте) равна коэффи­циенту затухания колебаний осциллятора

Аш = Г.

Отметим, что при точном резонансе и> = шо, когда сечение поглощения дости­гает максимума, его величина

47ГЄ2

тс Г

(7.14а)

х

dz

У

Рис. 7.3. К выводу закона Бугера

г

обратно пропорциональна параметру Г. Физически это связано с тем, что при резонансе именно параметр Г, определяющий величину потерь, ограничивает амплитуду установившихся вынужденных колебаний осциллятора (см. форму­лу (7.5)). Считая, что потери обусловлены собственным излучением осцилля­тора и используя формулу (5.24), параметр Г можно оценить как

Подставив (7.146) в (7.14а), получим

(7.14в)

где Л — длина световой волны. Итак, сечение резонансного поглощения све­та атомом имеет порядок квадрата длины световой волны. Например, для А = 0,5 MKM имеем Птах ** Ю~9 СМ2.

(7.15)

Закон Бугера. Рассмотрим теперь поглощение света модельной средой, представляющей собой ансамбль гармонических осцилляторов. Пусть плоская монохроматическая световая волна проходит отрезок среды длиной dz, при­чем среда содержит N элементарных осцилляторов (атомов) в единице объема ірис. 7.3). Обозначив площадь поперечного сечения светового пучка буквой S, запишем полное число осцилляторов, находящихся в поле световой волны, в пае

dN = NSdz.

(7.16)

Будем считать, что каждый осциллятор поглощает мощность Р0, определяв­шую формулами (7.12), (7.13). Тогда суммарное изменение мощности света на данном отрезке среды составит

dP = - P0dN.

Рис. 7.4. Экспоненциальное затухание света в среде (заной Бугера)

Соответственно, изменение интенсивности света будет равно dl = S~1dP или, в силу (7.15), (7.16),

dI = - P0Ndz. (7.17)

Подставив (7.12) в (7.17), получаем уравнение для интенсивности света: dl — —IoN dz, решение которого есть

I(z) = I0exp(-8z), (7.18)

где /о — интенсивность падающей волны,

8 = <jN, (7.19)

8 — коэффициент поглощения. ,

Формула (7.18) выражает закон поглощения света в среде, называемой так­же законом Бугера-Ламберта-Бэра. Согласно этому закону, интенсивность све­та экспоненциально уменьшается по мере увеличения дистанции, пройденной светом в среде (рис. 7.4).

Из (7.14), (7.19) вытекает следующее выражение для коэффициента погло­щения:

■nNe2 Г

^ = тс (uj0 ~ со)2 + Г2/4' (7'20)

Как видно из формулы (7.20), коэффициент поглощения 8 не зависит ни от

интенсивности падающего света, ни от геометрических размеров облучаемого

образца, а является характеристикой самого поглощающего материала. Для разных веществ и разных условий коэффициент поглощения света меняется в широких пределах. Например, для оптических волокон 8 = 10~4 — 10_6 см-1, а для металлов и полупроводников 8 = 103 — 106 см-1. Наряду с показателем преломления, коэффициент поглощения света представляет собой важнейшую оптическую характеристику вещества.

Выше мы вывели закон Бугера, исходя из простейшей модели среды как ан­самбля неподвижных невзаимодействующих между собой классических осцил­ляторов. Однако экспериментальные исследования показывают, что этот закон

Рис. 7.5. Блок-схема установки для измерения оптических спектров поглощения

справедлив для широкого класса объектов: жидких, твердых и газообразных сред, а также смесей различных веществ, причем в очень широких пределах изменения интенсивности излучения. Таким образом, закон Бугера почти уни­версален. Отклонения от этого закона начинают проявляться лишь для очень мощных (лазерных) световых пучков. Эти отклонения связаны с нелинейно­стью отклика вещества на сильное световое поле, квантовыми эффектами и т. п.

Спектроскопия поглощения. Зависимость коэффициента поглощения света веществом 8 от частоты и> называют оптическим спектром поглощения. Измеряя спектр поглощения, можно экспериментально определить характери­стики элементарных оптических осцилляторов — собственные частоты и коэф­фициенты затухания колебаний. Эти параметры, в свою очередь, несут важную информацию о строении и свойствах атомов и молекул, процессах взаимодей­ствия частиц, позволяют определять состав и термодинамическое состояние среды и т. п. Получение и анализ этой информации составляют предмет опти­ческой спектроскопии.

Идеальным прибором для измерения оптического спектра поглощения явля­ется узкополосный, перестраиваемый по частоте лазер. Схема измерений по­казана на рис. 7.5. Излучение лазера пропускается через исследуемую среду и направляется на регистрирующую аппаратуру, с помощью которой измеряет­ся интенсивность (мощность, энергия) света. При перестройке частоты лазера сигнал на выходе системы изменяется, передавая частотную зависимость ко­эффициента поглощения <5(ш).

Рис. 7.6. “Широкополосный” вариант спектроскопии поглощения: 1 — источник света, 2 — исследуемый объект, 3 — спектральный прибор, 4 — измерительная аппаратура

6 Зак. 350

На рис. 7.6 показана схема спектроскопии поглощения, в которой исполь­зуется источник излучения с широким спектром (например, дуговая лампа). В этом случае анализ спектра осуществляется с помощью спектрального прибо­ра (призма, дифракционная решетка). В качестве примера на рис. 7.7 показана схема опыта по наблюдению спектра поглощения света раствором марганцо­вокислого калия. В этом опыте пучок белого света дуговой лампы проходит через раствор, затем через стеклянную призму и направляется на экран. При этом в желто-зеленой области спектра на экране наблюдается темная полоса. Появление этой полосы вызвано поглощением желто-зеленого света раствором марганцовокислого калия. Аналогичный опыт можно проделать с парами на­трия. Помещая в пучок света натриевую горелку, наблюдаем поглощение света в желтой области спектра.

Рис. 7.7. Наблюдение спектра поглощения света водным раствором марганцовокисло­го калия

Уменьшение фазовой скорости света в среде. Показатель прело­мления. Выше мы рассмотрели эффект поглощения света в среде. Теперь рас­смотрим процесс переизлучения света ансамблем возбужденных осцилляторов. Это позволит выяснить механизм другого важного эффекта, возникающего при взаимодействии света с веществом — эффекта уменьшения скорости света или замедления световой волны в среде.

Рассмотрим распространение плоской монохроматической световой волны в прозрачной среде. Известно, что в этом случае влияние среды сводится к уменьшению скорости распространения световой волны; скорость света в среде есть

v = с/п, (7-21)

где с — скорость света в вакууме, п — действительная положительная вели­чина, большая единицы, называемая показателем преломления среды. В этом пункте мы выведем выражение для п, исходя из представления о среде как ансамбле осцилляторов.

Предположим сначала, что показатель преломления среды п известен. То­гда распространение света в среде можно описать формулой

(7.22)

E=hei^t-kz'> +К. С.,

А

где ш — частота, £ — комплексная амплитуда волны,

к = шп/с, s (7.23)

к — волновое число для света в среде. Вводя волновое число для света в ваку­

уме

ко = ш/с, (7.24)

перепишем (7.23) в виде

к = ко + (п — 1)к0. (7.25)

Из (7.22) и (7.25) видно, что световая волна приобретает в среде дополнитель­ный фазовый набег, пропорциональный толщине среды. Например, для слоя среды толщиной Az дополнительный фазовый набег равен

Дір = (п — l)koAz. (7.26)

Поле на выходе из среды в этом случае есть

Е = ^£ ехр [i(ut — kAz)} + к. с. = -Z ехр [i(u>t — ко Дг) — г Дір] + к. с. (7.27)

Предположим теперь, что толщина слоя среды Дz настолько мала (много мень­ше длины световой волны), что

д<р«1. (7.28)

Тогда, воспользовавшись формулой ехр(-гДр) « 1 — г Дір, получим из (7.27)

Е = ЕП + ЕЯ, (7.29)

где

Е„ = ^£ ехр [i(u)t - ЛоДг)] + к. с.,

Ел = -£яехр [i(u>t - koAz)] + к. с., £д = - гД<р£.

Первое слагаемое в формуле (7.29) можно интерпретировать как поле исход­ной световой волны, падающей на среду и прошедшей через нее без искажения. Второе слагаемое описывает некоторое дополнительное слабое поле, сдвинутое по фазе относительно падающей волны на п/2. С учетом формулы (7.26) ам­плитуду дополнительного поля можно представить в виде

£д = - ik0Az(n - 1)£. (7.30)

В проделанном выше расчете дополнительное поле возникает как следствие эф­фекта замедления света в среде. С другой стороны, оно не может быть ничем иным, кроме поля, переизлученного элементарными осцилляторами (атомами) среды. Вычислим теперь это переизлученное поле, исходя из представлений об излучении осцилляторов, совершающих вынужденные колебания в поле пада­ющей световой волны.

На рис. 7.8 показан тонкий слой среды, на который падает плоская моно­хроматическая световая волна. Пусть Дг — толщина слоя, N — число атомов

в единице объема среды. Будем считать, что среда достаточно разрежена для того, чтобы влиянием атомов друг на друга можно было пренебречь.

Пренебрегая затуханием колебаний, уравнение вынужденных колебаний ос­циллятора в поле падающей световой волны

Е=бе^ь + к. с. (7.31)

запишем в виде

х + и£х = — Е, (7.32)

m

где ей m — заряд и масса электрона, ujq — собственная частота осциллятора. Решение уравнения (7.32) ищем в виде

Рис. 7.8. К расчету показателя преломления модельной среды. Тонкий слой среды облучается плоской монохроматической световой волной. Р — точка наблюдения

х = + к. с. (7.33)

Подставив (7.31), (7.33) в (7.32), получим

jS. (7.34)

е 1

muSk — ш1

Формула (7.34) устанавливает связь между комплексными амплитудами коле­баний диполя х и поля падающей волны £..

Колеблющийся диполь сам становится источником вторичного излучения. Используя результаты лекции 5, поле вторичного излучения представим в виде

Е0 = if0e“(t_r/c) + К. с., (7.35)

где

еш2х

£q — —о—sin#, (7.36)

сгг

г — расстояние от диполя до точки наблюдения, в — угол между осью диполя и направлением на точку наблюдения (рис. 7.9). В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением углов в близких к 7г/2. В этом случае sin в и 1, и формула (7.36) для амплитуды вторичной волны принимает вид

Рис. 7.9. К расчету поля вторичного излучения

х

У

■^М

х

У

dp

а)

б)

Рис. 7.10. К расчету поля излучения совокупности осцилляторов, расположенных в одной плоскости

(7.37)

Теперь перейдем к суммированию излучений всех осцилляторов, заключен­ных в рассматриваемом тонком слое среды. Выберем точку наблюдения поля Р на достаточно большом расстоянии от слоя (рис. 7.8). Излучение отдельно­го атома в точке наблюдения описывается формулами (7.35), (7.37). Проводя суммирование, следует учесть, что разные осцилляторы среды расположены на разных расстояниях г от точки наблюдения и поэтому испускаемые ими световые волны приходят в эту точку с разными фазами.

(7.38)

Предположим, что толщина слоя среды много меньше длины световой вол­ны: Az <С Л. Тогда можно вообще пренебречь толщиной слоя и считать, что все осцилляторы расположены в одной и той же плоскости. Введем в этой плоско­сти оси х, у, а ось г проведем перпендикулярно плоскости осцилляторов через точку Р (рис. 7.10, а). На рис. 7.10,5 показано тонкое кольцо радиуса р и ши­рины dp, расположенное в плоскости осцилляторов так, что ось г совпадает с осью кольца. Все осцилляторы, расположенные в пределах данного кольца, находятся на одном и том же расстоянии от точки Р, и поэтому испускаемые ими световые волны складываются в точке Р в одной и той же фазе. Резуль­тирующее световое поле можно, следовательно, вычислить по формуле

dE = Е0 dN,

(7.39)

где Eq определяется формулой (7.35) и описывает поле одного отдельно взятого осциллятора,

dN = N Az2irpdp,

ОО

о

dN — число осцилляторов в пределах кольца. Теперь, чтобы найти полное световое поле, создаваемое в точке Р всеми осцилляторами плоскости, следует подставить (7.39) в (7.38) и проинтегрировать по р. В итоге получим

(7.40)

Из рис. 7.10 видно, что г2 = z2 + р2. Так как нас интересует случай г » р, с хорошей степенью точности можно считать, что

г = z + /э2/2г. (7.41)

По формулам (7.35), (7.40), (7.41) получаем

Ед = ехр [i{wt - fco*)] + к. с., (7.42)

где использовано обозначение (7.24),

£д = 2irNAz£0J, (7.43)

ОО

J = J exp(—ikop2/2z)pdp. (7.44)

о

Интеграл (7.44) вычислим следующим образом:

ОО

J = Иш / ехр(-ар2 - ikop212z)pdp = 77-. (7-45)

q-ю J гк0

о

Подставляя (7.37), (7.45) в (7.43) и пренебрегая отличием г от z, получим

£д = - ikoAz2-KNex

или, с учетом (7.34),

2тг Np2 1

£д = - ik0Az — —,£. (7.46)

т Шп — lj2

Итак выражения для комплексной амплитуды дополнительного поля, возни­кающего в результате взаимодействия света со средой, получены с помощью двух разных подходов. Формула (7.30) выведена феноменологически на основе представления о замедлении световой волны в среде, характеризуемом показа­телем преломления материала п. Формула (7.46) получена с помощью модели, в которой среда представляется как ансамбль гармонических осцилляторов. Если приравнять выражения (7.30) и (7.46), то получим формулу

, 27ГNe2 1

П = 1 +---------------------------------------------------------------------------------- j------- 2 > (7‘47)

т шп - и)2

выражающую показатель преломления п через микроскопические параметры среды: заряд е, массу т, собственную частоту ojq элементарного осциллятора, а также число атомов в единице объема среды N и частоту световой волны и). Согласно использованным приближениям, эта формула справедлива для про­зрачных разреженных сред. Проделанный расчет показывает, что механизм за­медления света в среде связан с взаимодействием (интерференцией) вторичных световых волн, испускаемых атомами среды.

S(a>)

Рис. 7.11. Спектр колебаний неоднородного ансамбля осцилляторов

а)

Неоднородный ансамбль осцилляторов. Рассмотрим ансамбль, в кото­ром отдельные осцилляторы имеют разные собственные частоты колебаний. Такой ансамбль можно назвать неоднородным. В реальных системах причи­нами неоднородности могут быть различие квантовых состояний атомов или
молекул, неоднородность изотопного или химического состава среды, хаоти­ческое тепловое движение частиц и т. п. Нас будут интересовать особенности взаимодействия неоднородного ансамбля со световым полем.

Пусть индекс “ J” нумерует различные резонансные частоты (типы осцил­ляторов) в неоднородном ансамбле. Основными характеристиками ансамбля являются набор частот колебаний {cjj} и статистические веса осцилляторов

{Pj}-

Уравнение движения осцилляторов под действием светового поля E(t) за­пишем в виде

(7.48)

xj + Tij - I - JjXj = — E.

m

Обратное воздействие осцилляторов на световую волну (излучение, поглощение или рассеяние света) определяется суммарным дипольным моментом среды — ее поляризацией (см. ч. IV), которая в данном случае имеет вид

j

(7.49)

где N — среднее число частиц в единице объема среды.

Однородная и неоднородная ширина спектра. На рис. 7.11 показан типичный спектр колебаний (оптического излучения, поглощения или рассе­яния) неоднородного ансамбля. Подобную структуру имеет, например, спектр поглощения или комбинационного рассеяния света в молекулярных газах при не слишком высоких давлениях.

Спектр колебаний неоднородного ансамбля осцилляторов характеризует­ся двумя основными параметрами: однородной шириной Аи> и неоднородной шириной Аи>*. Однородная ширина характеризует спектр колебаний отдельно ззятого осциллятора. Неоднородная ширина есть мера разброса осцилляторов по частотам (дисперсия или ширина полосы резонансных частот). Для неодно­родного ансамбля характерна ситуация, когда

(7.50)

ДLJ* » ДШ

рис. 7.11). Такое соотношение имеет место, в частности, между доплеровской неоднородной) и естественной (однородной) шириной спектра газообразной греды.

Для модели, описываемой уравнениями (7.48), (7.49), можно записать

Дш = Г, Aaj* = i/(Qj), (7.51)

где

<#> = 5>jw3, (7.52)

j

(Qj) — дисперсия резонансных частот,

Cjj —wj — ш, (7.53)

wj — частоты осцилляторов, отсчитываемые относительно средней по ансам­блю частоты колебаний

57 = (7.54)

J

Итак, однородно уширенной называется спектральная линия, которая обра­зуется путем наложения спектральных линий отдельных осцилляторов, име­ющих одинаковую собственную частоту колебаний шо - В противоположность этому, неоднородно уширенной называется спектральная линия, представляю­щая собой суперпозицию спектральных линий осцилляторов, имеющих отли­чающиеся собственные частоты колебаний wj ф u>q. В первом случае формы

спектральных линий отдельного осциллятора и всего ансамбля совпадают, во втором — отличаются, причем спектральная линия ансамбля оказывается, как правило, значительно шире линий отдельных осцилляторов. Примерами одно­родного уширения являются естественное (радиационное) и столкновительное уширения. Для данных типов уширения характерно то, что они присущи спек­тру каждой отдельной частицы. Примерами неоднородного уширения являют­ся доплеровское, изотопическое, вращательное (в молекулярных газах) и т. п. Эти типы уширения присущи только спектру ансамбля частиц, а для отдель­ных осцилляторов они не имеют места.

Возбуждение коротким импульсом. Релаксация энергии и дефази - ровка. Предположим, что ансамбль осцилляторов возбужден коротким све­товым импульсом. В этом случае процесс перехода к равновесному состоянию можно охарактеризовать двумя разными временами — временем релаксации энергии Ті и временем затухания поляризации Тг. Согласно модели (7.48),

(7.49) , поляризация среды может затухать не только из-за уменьшения энергии, но и вследствие относительного изменения фаз (дефазировки) осцилляторов. Поэтому в общем случае имеет место соотношение

Ті > Та - (7-55)

В частности, возможно сильное неравенство

Гх » Г2, (7.56)

означающее, что затухание поляризации целиком обусловлено дефазировкой

колебаний.

В рамках модели (7.48), (7.49) время релаксации энергии есть

Ті = 1/Г = 1/Дш. (7.57)

Что же касается дефазировки колебаний, то ясно, что в неоднородном ансамбле она происходит тем быстрее, чем больше разброс осцилляторов по частотам. Используя понятие неоднородной ширины спектра, можно, следовательно, за­писать

Т2 ~ 1/Дш*. (7.58)

Принципы частотной и временнбй спектроскопии. Ансамбль осцил­ляторов, описываемый уравнениями (7.48),(7.49), представляет собой линейную систему. Как и всякая линейная система, он может быть охарактеризован ча­стотным коэффициентом передачи (в терминах оптики — линейной оптической восприимчивостью) x(w) и импульсной переходной функцией (функцией Гри­на) h(t). Частотный коэффициент передачи характеризует отклик системы на гармоническое воздействие, в то время как функция Грина описывает ее реакцию на очень короткий возбуждающий импульс. В общем случае эти две характеристики линейной системы связаны между собой преобразованием Фу­рье:

оо

К*) = ^ J х(и)еш1<ко, (7.59)

—ОО

оо

x(u>) = J h(t)e~luidt, (7.60)

—ОО

В соответствии с принципом причинности, согласно которому отклик системы не может опережать воздействие на нее, функция Грина отлична от нуля лишь для положительных значений своего аргумента, а для отрицательных значений времени она равна нулю:

h(t < 0) = 0. (7.61)

Поэтому формула (7.60) может быть записана в следующем виде:

ОО

X(w) = J h{t)e~iu, tdt. (7.62)

о

В настоящее время в оптике разработаны и применяются спектроскопические методики, которые позволяют измерять как дисперсию восприимчивости х(ш), так и импульсный отклик среды h(t). Методы стационарной или частотной спектроскопии, в которых характеристики исследуемой среды (коэффициент поглощения, показатель преломления, интенсивность рассеяния) измеряются в зависимости от частоты излучения и>, несут информацию о дисперсии воспри­имчивости х(ш)- Идеальным прибором для частотной спектроскопии является лазер с перестраиваемой частотой излучения. Импульсные или нестационар­ные методы, появившиеся после создания лазеров, генерирующих сверхкорот­кие световые импульсы, дают возможность прямого измерения импульсного отклика среды h(t). Поскольку функции х(оо) и h(t) связаны между собой пре­образованием Фурье, обе группы методов, в принципе, дают эквивалентную спектроскопическую информацию. На практике нестационарную спектроско­пию применяют, как правило, для исследования узких спектральных линий.

а) б)

Рис. 7.12. Спектр колебаний молекул водорода, измеренный с помощью узкополосного перестраиваемого по частоте лазера [5]. Спектр получен при комнатной температу­ре и давлении водорода 200 торр. Ширина спектральной линии при этом давлении (775 МГц) близка к доплеровской. Средняя частота молекулярных колебаний во­дорода vo — 4155 см-1 (а). Импульсный отклик (дефазировка) колебательно возбу­жденных молекул водорода, измеренный с помощью сверхкоротких лазерных импуль­сов [6]. Импульсный отклик получен при комнатной температуре и давлении водоро­да 100 торр. При этом давлении дефазировка молекулярных колебаний обусловлена преимущественно доплеровским механизмом. Время дефазировки (порядка 10~9 с) обратно пропорционально ширине спектральной линии (б)

Один из примеров показан на рис. 7.12. На рис. 7.12, а представлен спектр колебаний молекул водорода, измеренный с помощью узкополосного, перестра­иваемого по частоте лазера. На рис. 7.12, б изображен импульсный отклик (де­фазировка) колебательно возбужденных молекул водорода, измеренный с по­мощью сверхкоротких лазерных импульсов.

Частотная восприимчивость и импульсный отклик неод­нородного ансамбля осцилляторов. В качестве примера вычислим функции х(ш) и h(t) для модельной неоднородной системы, описываемой урав­нениями (7.48), (7.49).

Обычно в оптике хорошо выполняются условия

й » Aw* > Г, (7.63)

т. е. средняя частота колебаний осцилляторов значительно превышает как од­нородное, так и неоднородное уширения. В этом случае целесообразно перейти от уравнения (7.48) к укороченному уравнению для амплитуды колебаний.

Предположим, что световое поле представляет собой узкополосный (ква - зигармонический) процесс, причем средняя частота поля настроена на центр неоднородно уширенной полосы:

E(t) = ^£(4) ехр (г wt) + к. с. (7-64)

Подставив (7.64) в (7.48), будем искать решение в виде

xj(t) = 7}Xj(t)exp(iwt) + к. с. (7.65)

В приближении медленно меняющихся амплитуд, означающем, что £(t) и xj(t) мало меняются за время порядка периода световых колебаний, получим

Г

xj + -^xj = itlijxj + A(t), (7.66)

где

A(t) = 7 £(t), e

(7.67)

7 :

2 tmw

Подставив (7.65) в (7.49), получим

P = ^73ехр(гш<) + к. с., (7.68)

где

= Л/е(х), (x) = Y^PJZJ - (7-69)

Итак для расчета поляризации среды необходимо вычислить среднюю ампли­туду колебаний (х), определяемую формулами (7.66), (7.69).

Найдем решение уравнения (7.66). Применяя спектральный метод, разло­жим функцию A(t) и xj(t) в интеграл Фурье:

ОО

т = ^ I А(ш)еш(Ь,, (7.70)

—ОО

оо

xj{t) = J xj(w)e‘“tdu;. (7.71)

—ОО

Подставив (7.70), (7.71) в (7.66), находим связь между спектральными ампли­тудами

xj(w) = Xj{w)A{w), (7.72)

где

XJ(«) = --------------------------------------------------- -1 - р>0, (7.73)

гиі — iu)j + Г/ 2

— частотный коэффициент передачи (линейная оптическая поляризуе­мость) для данного осциллятора.

Подставив (7.72) в (7.71) и используя формулу обратного преобразования Фурье

ОО

— ОО

(7.74)

оо

— ОО

вытекающую из (7.70), получим

(7.75)

оо

— ОО

где

(7.76)

hj(t) — функция Грина осциллятора, соответствующая частотному коэффи­циенту передачи xj(w)- Наконец, подставив (7.73) в (7.76), найдем явное выра­жение для hj(t):

(7.77)

Заметим, что согласно (7.77),

(7.78)

/ij(0) = 1, /1.7(00) = 0.

ОО

о

Формула (7.77) позволяет переписать (7.75) в виде

(7.79)

Итак, решение уравнения (7.66) дается формулами (7.79), (7.77). Интеграл

(7.79) носит название интеграла Дюамеля. Формула (7.79) выражает тот факт, что “отклик” линейной системы xj(t) есть линейный запаздывающий функци­онал относительно “входного сигнала” A{t). С помощью (7.79) нетрудно выяс­нить физический смысл функции Грина hj(t). В самом деле, полагая

(7.80)

A(t) = const • S(t)

где S(t) — дельта-функция, получим

(7.81)

xj(t) = const • hj(t).

Таким образом, функция Грина характеризует отклик системы на очень корот­кий возбуждающий импульс. Подставив (7.79) в (7.66), нетрудно показать, что функция Грина удовлетворяет следующим уравнению и начальному условию:

Рис. 7.13. Механизм доплеровской дефазировки

с=Н>

Таким образом, функция Грина может быть найдена либо путем фурье-преоб - разования частотного коэффициента передачи, либо как решение однородного уравнения, описывающего свободные колебания линейной системы. Разумеет­ся, оба подхода дают один и тот же результат.

Используя формулы (7.79), (7.69), среднюю амплитуду колебаний (х) также можно представить в виде интеграла Дюамеля

ОО

<*) = J A(t - 0ЩЄ) (ів, (7.83)

о

где

М«) = 5>J МО, (7.84)

j

h(t) — функция Грина ансамбля осцилляторов. Из условия нормировки веро­ятностей J2PJ — 1 и (7-82) следует, что в общем случае h(0) = 1. Кроме того, j

из (7.84) и (7.77) вытекает (7.61).

Итак, функция Грина рассматриваемого неоднородного ансамбля осцилля­торов описывается формулами (7.84), (7.77). Частотная восприимчивость среды определяется формулой (7.62).

Пример: доплеровская дефазировка. Рассмотрим возбуждение газообразной атомарной или молекулярной среды коротким импульсом света

Я(0 = 5^(*)е<м"*,)+к. с. (7.85)

А

Из-за того, что скорость света есть конечная величина, элементарные осцилля­торы среды, расположенные в разных точках пространства г, начнут колебать­ся в разные моменты времени. Это приведет к тому, что непосредственно после прохождения светового импульса все осцилляторы будут совершать колебания на одной и той же частоте, но с разными фазами, причем изменение фазы ко­лебаний в пространстве будет закономерно связано с длиной волны возбужда­ющего излучения (“волна когерентных колебаний”). Затем под влиянием хао­тического теплового движения частиц начнется разрушение пространственно - сфазированной решетки осцилляторов (рис. 7.13) и вследствие этого — зату­хание оптической поляризации среды. Описанный механизм релаксации поля­ризации назовем доплеровской дефазировкой.

Рис. 7.14. Характеристики доплеровской дефазировки

Выведем выражения для частотной восприимчивости среды х(^) и функции Грина h(t), соответствующих доплеровской дефазировке. Для этого воспользу­емся формулой.

й> = kvz (7.86)

для доплеровского сдвига частоты осциллятора и функцией распределения те­пловых скоростей

(7.87)

В формулах (7.86), (7.87) к — волновое число световой волны,

(7.88)

at = кБТ/М,

0-2 — дисперсия тепловых скоростей, кБ — постоянная Больцмана, Т — абсо­лютная температура газа, М — масса осциллятора (атома или молекулы).

(7.89)

(7.90)

(7.91)

(7.92)

Пренебрегая затуханием колебаний, запишем функцию Грина отдельного осциллятора, обладающего скоростью vz, в виде

h(vz) = exp(ikvzt), а функцию Грина для всего ансамбля как

ОО

h = (h(vz)) = J h(vz)w(vz)dvz.

— OO

Подставив (7.87), (7.89) в (7.90), найдем

h{t) = ехр.

ОО

x(w) = J /і(і)е_ш‘сіі = —— ехр(—u>2/2<72),

— ОО

(7.93)

где

а = kav.

Итак, поставленная задача решена. Графики функций x(oj) и h(t) показаны на рис. 7.14 (ср. с рис. 7.12). Полученные здесь результаты могут быть обобщены с учетом столкновений, изменяющих тепловые скорости, а также квантовые состояния и зависящие от них собственные частоты колебаний осцилляторов. Соответствующая теория развита в работах [6; 8; 9] (см. также лекцию 6).

Физическая оптика

Из истории физической оптики

Цитаты из оригинальных работ Франкена, Бломбергена, Ахманова, Хохлова. Питер Франкен. Генерация второй оптической гармоники. Развитие импульсных рубиновых оптических мазеров1,2 сделало возможным получение монохроматических (6943 А) световых пучков, которые при фокусировке …

Нелинейная пространственная динамика световых полей

Самоорганизация светового поля в нелинейных системах с обратной связью. Оптическая синергетика. Оптическое моделирование нейронных сетей. В течение длительного времени в нелинейной оптике исследовались про­блемы временной динамики светового поля. При этом …

Оптика фемтосекундных лазерных импульсов

Предельно короткие импульсы света и сверхсильные световые поля. Генера­ция фемтосекундных световых импульсов. Новое поколение твердотельных фемтосекундных лазеров. Фемтосекундные технологии. Фемтосекундные ла­зерные импульсы в спектроскопии. Управление амплитудой и фазой молеку­лярных колебаний …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Партнеры МСД

Контакты для заказов шлакоблочного оборудования:

+38 096 992 9559 Инна (вайбер, вацап, телеграм)
Эл. почта: inna@msd.com.ua