Оптоэлектроника

Режим с входящей ТЕ-модой и выходящей ТЕ-модой

В этом случае будем предполагать, что одиночная волноводная ТЕ-волна взаимодействует сама с собой таким образом, что амплитуда дается соотношением:

Я™ (*, ^ 0= - [л;{7.)е;{х)^(м-^) + к. С.] (9.В.2)

2

Здесь: Еесть решение волноводного уравнения (9.13), А®(?) учитывает изменение амплитуды пучка накачки (с частотой со) вдоль волновода, а ТЕ есть константа распространения 77:-волны с частотой со в волноводе, определяемая решением (9.13). При устранении членов по со — со (что соответствует оптическому выпрямлению) нелинейная поляризация на частоте 2со в (9.В.1) принимает вид:

(*> г, /)= -[/»ДГ(х, г)е-фм-2^"г) + к. с.] (9.В. Зл)

2

С использованием (9.В.2) получаем:

/£(*, г)= е^[А;(г)£;(х)]2 (9.В.36)

Анализируя следствия, которые влечет за собой введение нелинейной поляри­зации в уравнение связанных мод (9.23), мы видим, что член источника 2со обус­лавливает генерацию волн с частотой 2со. Уравнение (9.39) позволяет рассчитать изменение амплитуды волны 2со в волноводе. При рассмотрении только тех волн, которые распространяются направо, формула (9.39) приобретает вид:

- — - к. с. =

^ (9.В.4)

=----- -{еа%Г(х) к(^;(х)]2е'(2“'-2/,-™г) + к. с)Е^{х)йх

2сор0 Эг2 12

Рис. 9.В.1. Конфигурация генерации второй гармонизации ТЕ—ТЕ.

Здесь Р2(о ТЕ есть константа распространения волны 2со в волноводе. Исполь­зуя обозначение для эффективного коэффициента преломления, мы видим, что Pico, те =ncfr(2co)2co /с. Е2а}(х) есть волноводная мода на частоте 2со. Функция f(x) представляет изменение нелинейной восприимчивости по всему волноводу. На­пример, в том случае, когда нелинейным является только материал сердцевины, f{x) является ступенчатой функцией. В этом случае уравнение (9.В.4) приобрета­ет упрощенный вид:

(9.В.5)

Здесь: Буу есть интеграл перекрытия мод Еу с самими собой, определяемый формулой:

(9.В.6)

В то же время S/3 представляет собой рассогласование фаз:

TI: а. ТЕ ~ ^ [Weff (^®) Ис«Г (®)]

Уравнение (9.В.5) описывает перенос энергии между фундаментальной волной и ее гармониками. Для упрощения предстоящего обсуждения предположим, что эффективность преобразования мала. Тогда можно предполагать, что амплитуда А (у} (г) постоянна поперек волновода и равна своей величине на входе волновода (А**). В этом случае уравнение (9. В.5) может быть проинтегрировано:

(9.В.8)

Вспоминая, что условия нормировки (9.20)—(9.22) устанавливают, что квадрат модуля амплитуды А2 мод в волноводе есть ничто иное, как мощность излучения, введенного в моду на единицу ширины волновода, мы получаем эффективность преобразования в волноводе в виде:

(9.В.9)

В этой последней формуле уровни мощности Р выражены в Вт на единицу ширины волновода. Рассмотрим изменение эффективности преобразования по длине волновода Ь. Нелинейная среда извлекает энергию из пучка накачки и передает ее второй гармонике, при этом периодически по длине волновода имеет место обрат­ный процесс. В результате этого максимально достижимая эффективность достига­ется на конце длины взаимодействия, которую называют (правда, не совсем умес­тно) длиной когерентности и которую мы называем длиной согласования фаз:

• Только материал сердцевины является нелинейным, а функция Дх) является сту­пенчатой.

• Волноводы являются бесконечно ограничивающими, а моды — синусоидальными, как в (9.23), т. е.:

В последнем выражении использовано предположение, что neff(co) « пе

4 Зл
(9.В.13 а)

Эффективность преобразования в нелинейном волноводе

Здесь: Z0 есть вакуумный импеданс величиной 377 Ом. Обратите внимание! В последнем уравнении уровни мощности Р выражены в Вт м-1 по ширине волно­вода, а / есть ширина волновода. В случае согласования фаз эффективность пре­образования определяется соотношением:

Ґ L (г2тУ VV ууу /рт Vі ( р: Л, «Л Id/ J

(9.В.13 б)

Это уравнение вскрывает существенное препятствие (порядка 10~20 для типичных значений %2(0 и уровней мощности) для достижения разумного значения эффектив­ности и одновременно объясняет привлекательность волноводов с точки зрения их использования при преобразовании частоты. Благодаря оптическому ограничению в волноводах электромагнитные поля могут быть значительными даже при сравни­тельно невысоких уровнях мощности, что приводит к осязаемой эффективности преобразования.

Пример--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Предполагая, что задача согласования фаз решена, рассмотрим волновод на основе ОаАБ (х2 * 100 пм В-1 и пе№ * 3) длиной 2 мм, толщиной 0,5 мкм и шириной 2 мкм. При введении в волновод оптического излучения мощностью 10 мВт на длине вол­ны Л0 = 2 мкм эффективность преобразования составит:

4,3х Ю"20 (2х 10+3 мкм/2 мкм)(ю2 пм В"1)(ю-2 Вт/(0,5х 10-6 х м2 ))/33, т. е.16%

Квазифазовое согласование

Мы видели, что условия согласования по фазе выполняются, когда есть дисперсия между волной накачки на частоте со и гармоникой на частоте 2со (т. е. Рсо * Р2(о).

Однако, мы знаем, что в полупроводниках зонная структура приводит к существен­ной дисперсии и что эта дисперсия существенно усиливается в волноводах (смот­рите рис. 9.7). Могло бы показаться, что согласование фаз по своей природе невоз­можно в объемных полупроводниках. Однако, как оказывается, можно прибегнуть к услугам технологии, чтобы пространственно свойства этих материалов могли бы достичь такого состояния, которое называется квазифазовым согласованием.

При первом интуитивном подходе предположим, что мы можем модулировать величину нелинейной восприимчивости периодическим образом вдоль волновода:

(2 к

Л ^ (9.В.14)

В этом случае уравнение связанных мод (9.В.4) изменяется незначительно: член в экспо­ненте под знаком интеграла становится равным i2cot — (2ТЕ ± 2/Л)г). При этом

Все теоретические выкладки для эффективности преобразования остаются прежни­

Ми за исключением того, что член фазового рассогласования становится равным:

# = А». ТЕ - 2А, ТЕ ±— (9. В. 15)

Л

Условие, приводящее к квазифазовому согласованию может быть записано в виде:

А,.те-2А. те=^ (9.В.16)

Л

Условие квазифазового согласования

Рисунок 9.В.2 дает интерпретацию этого условия. Волновой вектор решетки (2я/А) добавляет к этому волну накачки, что приводит к эквивалентности с волно­вым вектором гармоники.

С технологической точки зрения это может быть осуществлено за счет исполь­зования пространственного разрушения оптической нелинейности периодическим образом с использованием ионной имплантации, методов кристаллического роста, примесной диффузии и т. д. В этом случае выражение для нелинейности может быть записано в следующем виде:

-^*1 (9.В.17)

Л )

В уравнении связанных мод (9.В.4) лишь один член, соответствующий условию ква­зифазового согласования будет давать ненулевой вклад:

(9.В.18)

А

Таким образом, фазовое согласование может быть получено при длине гофра, равной А (п = 1, первый порядок), ЗА (п = 3, третий порядок) и т. д. Очень простой расчет показывает, что для фазового согласования первого порядка эффективность преобразования частоты остается той же самой, что величина, определяемая (9.В.13я):

ТЕ ТЕ

^2о>,ТЕ

Рис. 9.В.2. Интерпретация условий квази­согласования фазы с использованием вол - 2л

Новых векторов. Д

Гофрирование, обеспечивающее фазовое согласование более высокого поряд­ка, приводит к еще меньшей эффективной нелинейной восприимчивости.

Рисунок 9.В. З. иллюстрирует физический принцип, лежащий в основе квази - фазового согласования. В пределах последовательных интервалов, каждый из кото­рых перекрывает Лрт, нелинейные диполи устраняются, при этом подавляется ме­ханизм, ответственный за деструктивную интерференцию.