Оптоэлектроника

Метод Кейна

Модели почти свободных электронов и жесткой связи очень полезны в дидактических целях, но одновременно они обладают существенным недостатком. На практике чрезвы­чайно трудно, отправляясь от экспериментально определяемых параметров (напри­мер, кристаллическая структура, электронная структура образующих материал ато­мов, ...), предсказать, какова будет ширина запрещенной зоны, например, в GaAs и т. д. Эта трудность возникает из-за сильно упрощенной природы аппроксимаций, использованных при получении результатов дополнений 5.А и 5.Б. Введение ма­лейших усложнений приводит к необходимости чрезвычайно трудных вычислений. Рассматриваемый к • р-метод представляет собой полуэмпирический подход, ис­пользованный Кейном при расчете зонной структуры и использующий экспери­ментально доступные данные (полученные из оптических измерений и т. д.)

2

Я^(г>= Т^+,/<г> ¥.л{г)=Е^¥,л(г),

Где (// k есть блоховские функции:

К kW = “п, k(r)e, kr

Мы видим, что оператор р = — действует на волновые функции Блоха - Фуке следующим образом:

В результате, периодическая часть блоховских функций ип к является решением уравнений шредингеровского типа:
(5.В.4)
Отметим, что при к = 0 это уравнение полностью эквивалентно уравнению Шредин - гера для периодической части функций Блоха—Фуке ип 0:
	(5.В.5)
В качестве полного базиса для ип к к • р-теория использует ип 0: “п. к(г) = ^^"’(к)и„ 0(г) Т При этом уравнение Шредингера (5.В.4) преобразуется в:
(5.В.6)
Таким образом, используя проекцию на им 0, находим:
(5.В.9)
То (5. В.8) можно записать в виде:
(5.В.10)
В последнем уравнении мы использовали верхний индекс (п) для обозначения одного из решений (обратите внимание на вырождение!), для которого /Г(л)(к) стремится к Еп 0 по мере того, как к стремится к 0. Упрощение задачи достигается разделением зон на интере­сующую нас группу Мх (которая сильно связана с зоной п), а также на вторую группу М2 остальных зон. В этом случае мы имеем:
П2к2 2тп
(5.В.12)

После переобозначения /я' —> /я, /я —> /я' в двойной сумме уравнение приобрета­ет характер задачи диагонализации только в базисе функций, принадлежащих соот­ветствующим зонам М є Му

К»

(5.В.14)

Следовательно:

(5.В.17)

Где:

(5.В.18)

Р2 =

Есть матричный элемент Кейна, а £ — ширина запрещенной зоны. Из дисперсионного соотношения £(с)(к) мы можем определить эффективную массу:

(5.В.19)

Оказывается, что Р2 можно определить из оптических измерений, при этом этот параметр изменяется сравнительно слабо (-20—25 эВ) от одного соединения III—V к другому. Таким образом, эта простая формула предсказывает, что, чем меньше ширина запрещенной зоны полупроводника, тем меньше эффективная масса

В зоне проводимости. Это предсказание экспериментально подтверждается, и тот факт, что /яс//я0 «1 обусловлен сильной связью Р2/Е8 »1 между зоной проводи­мости и валентной зоной.

Тот же самый метод легко применить и к валентной зоне (которая предполагается не­вырожденной), при этом в данном случае мы получаем:

(5.В.20)

Тп

Е

Это свидетельствует о том, что эффективная масса дырок должна быть приблизительно равной эффективной массе электронов. К сожалению, ситуация с валентной зоной более сложная, поскольку эта зона вырождена в максимуме.

К сожалению, мы не можем приводить детальные расчеты для валентной зоны, по­этому мы ограничимся качественным описанием результатов.

Кристаллический потенциал К(г) обладает симметрией структуры цинковой обман­ки. Это означает, что его величина является неизменной при применении операций сим­метрии по г. С учетом аспектов симметрии можно показать, что такой потенциал приво­дит к трехкратно вырожденным собственным состояниям в центре зоны Бриллюэна, при этом вырождение не зависит от амплитуды потенциала. Валентная зона как раз и обуслов­лена такими состояниями.

Три базисные функции могут быть обозначены как |Х), |У), Т), где буквы обо­значают свойства симметрии этих волновых функций. Результат действия опера­ций симметрии на любую из этих функций сводится к их отражению в базисе двух других (или обратно самой на себя). Возьмем, например, зеркальное отражение в плоскости (111) (смотрите рис. 5.1), что соответствует изменению координат х -> у, у -> х, I -> I - Базисные функции обладают свойствами:

Х) = их(у, х, г)=иг(х, у, г)

У) = иу{у, х, г)=иЛ(х, у, г) (5.В.21)

Iг) = и2(у, х, г)=и2(х, У, г)

Скажем, что эти функции преобразуются между сЪбой как х, у и z С учетом таких свойств симметрии легко показать, что оператор импульса р = Н / IV дает нулевой матричный элемент по этим двум функциям. Возьмем, например, )•

Вращение на к вокруг оси I преобразует ^) в 7), рг в рг и 1^) в — Х). Таким образом, {2 р^Х) = —&ргХ) = 0. Снятие вырождения при к ф 0 за счет к • р взаимодействия не может произойти из-за связи между другими функциями ва­лентной зоны, но в обязательном порядке происходит из-за взаимодействия с другими зонами. С учетом ограниченного базиса, сформированного тремя функ­циями валентной зоны, кубическая симметрия приводит (смотрите (5.В. 14)) к эффективному взаимодействию в виде:

С тремя различными константами Ь, М, N. Теперь мы уже можем диагонализиро - вать эффективный гамильтониан с тем, чтобы получить вид трех валентных подзон для к ф 0 и с учетом этих трех параметров. К сожалению, наши трудности на этом не кончаются, так мы должны все еще учесть спиновое и спин-орбитальное взаи­модействие. Если не учитывать последний вид взаимодействия, то влияние спина

Привело бы к удвоению числа возможных состояний в каждой валентной подзоне с полным вырождением 3x2 при к = 0.

Спин-орбитальное взаимодействие обусловлено релятивистским эффектом, ко­торый качественно может быть объяснен следующим образом: электрон пересекает электростатический потенциал на огромной скорости. В системе отсчета электрона электрическое поле, связанное с этим потенциалом, преобразуется в магнитную компоненту, которая, в свою очередь, взаимодействует со спином электрона. В результате этого движение электрона и его спин оказываются связанными. Это приводит к тому, что оператор спина более не коммутирует с гамильтонианом. При этом изначально 3x2 — вырожденные уровни расщепляются на два уровня, один из которых четырехкратно вырожден, в то время как второй вырожден двукратно и располагается на Д0 ниже первого уровня. Снятие этого вырождения происходит в полной аналогии с орбиталями рх, ру, р1 в атоме под влиянием спин-орбитального взаимодействия. В результате этого угловой момент / = 1 и спин 5 =1/2 более не являются хорошими квантовыми числами. С другой стороны, новыми стационар­ными состояниями системы являются собственные векторы наблюдаемых /2 и У , где 3 = Ь + 8. Наблюдаемая /2 имеет собственные значения /2 =у(у + 1) су = 3/2 и 1/2. Состояние у = 3/2 является четырежды вырожденным с 11 = ±3/2, 11 = ±1/2, а состояние 11 = 1/2 является дважды вырожденным с = ±1/2. Новые стационар­ные состояния являются теперь линейными комбинациями базисных функций ХТ), Х1), |УТ), У1), |гТ>, ^1), а новые состояния обозначаются как [/, уг>, что является общепринятым в атомной физике. Это усложняет вид к • р-матрицы с малой ком­пенсацией, как можно заметить, вблизи к = 0 мы можем ограничиться уровнем у = 3/2, применяя метод Левдина к возникающим матрицам формата 4 х 4. Тот факт, что здесь имеется всего три параметра, обусловлен влиянием кубической симмет­рии. Достаточно кропотливые расчеты приводят нас к следующему виду эффектив­ного гамильтониана в базисе |3/2, ±3/2) и |3/2, ±1/2):

С элементами:

Н„ =-^— (г, + ГгХк? +к^)-^—(г1-2у2)к^

2/я„ 2т0

+к})--^—(у1+2у2)1с?

2т0

Ъ = -^—2л13у3(кх - 1ку)к,

Где три параметра Латтинджера уг у2, у3 связаны с параметрами Ь, М, и соотно­шениями ух — 2т0(Ь + 2М)/3, у2 = 2т0(Ь — М)/ 6, у3 = 2т0М/в. Эти параметры для СаАБ и 1пР приведены в таблице 5.В.1.

Диагонализация эффективного гамильтониана (5.В. 14) приводит к дважды вы­рожденным энергиям:

Н„ + н,
П2к2 2щ

(5.В.25)

Если мы введем вклад свободных электронов в константу уг мы увидим, что знак ± перед квадратным корнем соответствует массе тяжелой дырки (+) и легкой дырки (—). В любом из этих двух случаев имеется зависимость от направления к. В направлении (100) и эквивалентных направлений мы имеем:

= - Г, + 2/,, — = ~г, -2у:

А в направлении (111):

= -71+ 2Гз> — = - Г, ~ 2/:

Из этого мы можем заключить, что эквипотенциальные поверхности являются сфе­рическими только, если у2 = Уу

Наконец, нам необходимо экспериментально определить параметры Латтинд­жера для данного полупроводника. На практике измерения с использованием цик­лотронного резонанса используются для определения формы дырочных эквипотен­циальных поверхностей, по которым методом наилучшего подбора варьируемых параметров (5.В25) до наилучшего совпадения с экспериментальными зависимос­тями и определяются параметры Латтинджера.

Рисунок 5. В. 1 иллюстрирует зонную структуру СаАБ, рассчитанную к • р-методом с учетом 9x2 зон в (5. В. 10).

Вблизи к = 0 мы видим, что зависимость от к для зон тяжелых и легких дырок близка к (5.В.25), но по мере того, как мы перемещаемся от центра зоны Бриллю - эна, тем менее аппроксимация эффективной массы становится справедливой.

SHAPE \* MERGEFORMAT