ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

ИЗЛУЧАТЕЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ НЕРАВНОВЕСНОЙ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНЫХ ЛОВУШКАХ

А. К. Некрасов, А. В. Тимофеев

Рассматривается плазма в магнитном поле с неравновесным распределением за­ряженных частиц по импульсам: £-ободзным по всем илй по поперечным составляю­щим импульса (во втором случае р±о^рцо). В такой плазме возможны колебания с круговой поляризацией, распространяющиеся вдоль магнитного поля, энергия которых отрицательна. В системах, ограниченных вдоль магнитного поля, например в маг­нитных ловушках, колебания с отрицательной энергией раскачиваются за счет от» тока энергии в вакуум. Таким образом, магнитная ловушка может служить источни­ком электромагнитного излучения. Рассматриваемый механизм раскачки неустойчив вых колебаний оказывается преобладающим в достаточно коротких системах при не слишком большой плотности плазмы.

1. Введение

А. Как известно, в термодинамически неравновесных системах воз­можны колебания с отрицательной энергией. Такие колебания нарастают, если их энеропя диосжщруется или каккм-то способом отводится из си­стемы. Так, например, в [*] было показано, что граница между сверхзву­ковыми течениями неустойчива из-за излучения колебаний в глубь жид­кости. В [а]# рассматривались электростатические колебания термодина­мически неравновесной плазмы в неоднородном магнитном поле. Было найдено неустойчивое решение волнового уравнения, которое в области минимума магнитного поля описывало циклотронные ионные колебания с отрицательной энергией [*], а вдали от минимума — электронные ленг - мюровские, уносящие энергию во внешнюю часть плазмы.

Мы (рассмотрим еще один пример подобной неустойчивости. При этом в настоящем случае неустойчивая система может быть использована в ка­честве источника электромагнитных колебаний.

Б. Рассмотрим плазму в магнитном поле с неравновесным распределе­нием заряженных частиц (электронов или исшов) по импульсам

(Р) = , 6 (Ра — Ра») 6 (IР» I— Р») • 4ярХ0

(Значки «параллельно» и «перпендикулярно» отмечают направление по отношению к магнитному полю.) Нас будут интересовать колебания с круговой поляризацией, распространяющиеся вдоль магнитного поля, электрический вектор которых вращается в электронную или ионную сто­рону в зависимости от того, какая из компонент плазмы неравновесна. Энергия таких колебаний равна

I ^ 2(0) — о)с)2 I о т’с2©-ОсИ 4л

Здесь <оР — плазменная частота, <ое — циклотронная частота, плазма и маг­нитное поле считаются однородными, электрическое поле колебаний вы­брано в виде £вe“<i'<+*,, ось г направлена вдоль магнитного поля, длина вол­

Ны считается достаточно большой: кг йхос / с*. При исследовании коле­баний с частотой, близкой к циклотронной, можно учитывать только одну из компонент плазмы (электроны или ионы). Оба случая рассматриваются одинаково, поэтому мы опускаем значок / (е, 1).

Из (1) следует, что при о > о)с анергия колебаний может стать отри­цательной. Предположим теперь, что плазма ограничена в направлении вдоль магнитного поля, например, заперта в магнитную ловушку. В этом случае колебания с отрицательной энергией будут нарастать за счет излу­чения в вакуум. Энергия колебаний становится отрицательной из-за реля­тивистской зависимости циклотронной частоты от скорости. В [4] показа­но, что этот эффект может приводить к раскачке колебаний в однородных системах за счет явления фазовой фокусировки. Для того чтобы исключить эту возможность и наблюдать интересующий нас тип неустойчивости в чистом виде, на параметры системы необходимо наложить некоторые усло­вия, см. ниже.

2. Основные уравнения

Получим уравнение, которому должна удовлетворять амплитуда коле­баний Е(г) в ограниченной системе (магнитной ловушке). Будем предпо­лагать, что внутри ловушки магнитное поле постоянно, а на ее границах (г = ±£) возрастает скачком.

Из уравнений Максвелла имеем

(2)

Здесь Е = ЕХ^Р 1ЕУ, / =. /х 1/у, знак «минус» нужно брать для электро­нов, «плюс» — для ионов, используется левовинтовая система координат, штрихи обозначают дифференцирование по г.

Возмущенный ток / удобно вычислить методом интегрирования по траекториям:

_ Р‘^ 1р^) ~дг(х) £(г(т))ехр{*(<в' — ®)т}. (3)

В рассматриваемой системе поперечная скорость частиц и плотность плаз­мы при | ъ | < Ь постоянны. Продольная скорость меняет знак в точках

1 = где происходит отражение частиц от магнитных пробок.

Рассмотрение показываетчто эффект раскачки колебаний за счет от­тока энергии с торцов преобладает, только если частота колебаний близка с циклотронной | со — о)с | ^ Рио / тпЬ. В противном случае раскачиваются колебания, рассмотренные в работах [4* *], на которые торцевые эффекты не оказывают существенного воздействия. Если выполняется условие |со — о)с| ^ р{{0 / тЬ, то частица за время (о — о)с)-1 успеет много раз про­бежать по ловушке, так что действующее на нее поле Е{г) усреднится. В этом случае можно использовать приближенное равенство

Где Ч

<£>=ІгІй2Е(2)-

-ь

Учитывая соотношение

А 9 . р«(т) д

Дл дх ~ ' т дг (т) *

А также то обстоятельство, что функция распределения по шшульсам зави­сит от модуля />ц, из (3) находим

'~т1{тКгК&-£)*-

<[20]’

Подставляя (5) в (2) и интегрируя по скоростям, окончательно получаем

+^[^_(_,+ п.' . ) + (1+^.1<г>_0, (в)

Сг I со — о)с' ЪпУсг о — о)с / 2/?цо? /

3. Анализ устойчивости

А. Рассмотрим симметричные решения (6) Е(і) = Е(—г), которые вне плазмы (|г| > Ь) переходят в убегающие волны Е(г) = 2?ае<в|х|/с. Не­которое представление об устойчивости таких колебаний можно составить без нахождения решения (6). Действительно, помножим (6) на Е'(г) и усредним результат по г:

Г7Г|£(1)|‘“<|£Ч,>+7-<!£|г> +

+ -1+ Цг..« |<я>|._

С со — сос 2тпгсг со — со« /

Здесь первое слагаемое, учитывающее отток энергии из системы* получи­лось в результате интегрирования по частям.

Если плотность плазмы достаточно велика, так что третье слагаемое в (7) можно опустить, а отток энергии не учитывается, то колебания устой­чивы. Для доказательства этого утверждения достаточно учесть соотно­шение <|£|2>— |<І?>|2>0. При этом из (7) находим два действитель­ных значения для частот собственных колебаний. Учитывая затем первое слагаемое в (7) как малую поправку, находим, что колебания с

О < <0 — <0* < СОсРхО* / та2с*

Неустойчивы. Таким образом, в соответствии со сказанным в начале рабо­

Ты, отток энергии (В вакуум действительно может приводить к раскачке колебаний.

Б. Рассмотрим неустойчивые колебания более подробно. Симметричное решение (6) при 121 < Ь имеет вид

А 1

TOC o "1-5" h z Е(г)= сЬх2 + —--------------------------- —зЬх!..---------------- (8)

Х2 — а х£ 4 '

Здесь

Сопрягая это решение при г — ±Ь с уходящими волнами Ейе<лЫ, с, полу­чаем дисперсионное уравнение для частоты собственных колебаний:

— £ 1 — ^ ^ сШ кЬ + 1х2£—| | . (9)

При выводе (9) было использовано соотношение рц0/тЬ<щ | о) — сос|.

Анализ (9) показывает, что колебания неустойчивы, только если

|©е/ (о — <ое) | > р±ог/2тгс см. также (1), (7). Помимо того, следует

Исключить возможность неустойчивости колебаний с | со — <1>с | рц0 / тЬу

Рассматривавшихся в [4> а], раскачка которых не связана с граничными эффектами (оттоком энергии в вакуум) и поэтому возможна и в однород­ных системах. Все эти условия будут соблюдены, если плотность плазмы не слишком велика сое / <ор &> р±о / тс, а длина системы достаточно мала

ISKMI.fl;

С I о)р тс / сор 2рц0 / )

Для частоты неустойчивых колебаний вне зависимости от знака х2 имеем следующее простое выражение:

, 1 + * Р±о/Ьв>л'Ь

© ^ (1)с Н------------------ —о)р - ( ) , (10)

2 Тс с / '

Амплитуда рассматриваемых колебаний внутри системы почтя постоянна: |х£|<^1.

Рассмотрим теперь вопрос о том, при каких распределениях по скоро­стям, отличных от распределения в виде 6-функции, возможна раскачка колебаний« отрицательной энергией. Для того чтобы исключить цикло­тронное поглощение за счет релятивистской зависимости циклотронной частоты от скорости, должно выполняться условие

РоАро тгсг I о*

Где Др0 — тепловой разброс по импульсам. С другой стороны, сами колеба­ния с отрицательной энергией существуют только при

Р± 0* Т© —<ОеТ

Тп2с* ] 0)с I

7П2С*

Сопоставляя эти условия, получаем роДро *< Рхо*. Таким образом, распре­деление по поперечным скоростям должно быть близким к 6-функции. То же самое можно сказать о распределении по продольным скоростям, если рВо ^ рхо. Однако если р±л >> р», то разброс по рв может быть срав­

Ним со средней продольной скоростью, как, например, в случае максвел­ловского распределения.

Рассмотрение показывает, что при максвелловском распределении по продольным скоростям,

U (Рп) = ---- ------- exp j — ,

Л1'Pt» У Рио* >

В уравнении (6) отношение рХ02 / 2р^г заменяется на — рХо2 / Рио2- Соответ­ствующие изменения следует сделать ив (8), (3). Оказывается, однако, что ни условия существования неустойчивости, ни выражение для час­тоты неустойчивых колебаний (10) при этом не изменяются.

За обсуждение работы авторы благодарны А. Б. Михайловскому.