ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

О ВЛИЯНИИ ДИССИПАТИВНЫХ ЭФФЕКТОВ НА ЖЕЛОБКОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ

В. В. Арсенин и А. В. Тимофеев

Рассматривается влияние на желобковые колебания тех из диссипативных аффек­тов, которые могут оказаться существенными в адиабатических ловушках (уход частиц из системы, турбулентная вязкость, взаимодействие желобковых колебаний с колебательным движением частиц, запертых в ловушке с магнитными пробками). Показано, что под действием этих процессов область неустойчивости расширяется, в частности, желобковые колебания становятся неустойчивыми в „стабилизированном“ режиме, когда градиенты плотности плазмы и магнитного поля направлены в противо­положные стороны.

1. Известно, что неоднородная плазма, находящаяся в неоднородном магнитном поле, обладает характерными собственными частотами, соот­ветствующими желобковым колебаниям.

Согласно теоретическим оценкам [1_3], эти колебания неустойчивы, если градиенты магнитного поля и плотности направлены в одну сто­рону, а сама плотность меняется в пределах, определяемых условиями

Где р; — средний ларморовский радиус ионов; —дебаевская длина, отвечающая „поперечной“ температуре ионов; а—характерный размер неоднородности плазмы; Я — характерный размер неоднородности магнитного поля.

Однако в экспериментах [4> 5] обнаружено, что желобковые колебания могут возбуждаться при плотности, меньше критической, когда р*,

С[?± > /?а, а также и в том случае, если градиенты плотности и магнит­ного поля направлены в противоположные стороны, причем в обоих случаях замечена связь этого явления с раскачкой высокочастотных циклотронных колебаний.

В ряде теоретических работ указывались эффекты, которые могут приводить к раскачке желобковых колебаний и в области „устойчи­вости“, т. е. при плотностях, не удовлетворяющих неравенствам (1): в [с> "] рассматривалось действие вязкости при большой плотности в работе [8] — конечная электропроводность при малой с1гх /?а. В [6? я] появление неустойчивости при включении диссипации связыва­лось с отрицательностью энергии колебаний.

Мы покажем, что во всех случаях, когда для раскачки колебаний не требуется выделения энергии (необратимые процессы отсутствуют, 1т - рд 0, &рд — тензор диэлектрической проницаемости плазмы), вклю­чение таких процессов должно приводить к расширению области не­устойчивости. Напомним, что при 1т г = 0, помимо желобковой не­устойчивости, могут быть получены также некоторые типы пучковой и циклотронной неустойчивости. В настоящей работе рассматривается также влияние диссипативных процессов, которые могут иметь место в реальных системах, в частности в установках по адиабатическому
удержанию плазмы на желобковую неустойчивость. При сравнительно небольших значениях плотности плазмы, достигнутых в настоящее время, диссипативные эффекты, рассмотренные в работах [8* 8], должны быть весьма малы. Большее »воздействие на желобковые колебания, на наш взгляд, должны оказывать такие процессы, как уход частиц из ловушки в результате перезарядки на нейтральных атомах или из-за рас­качки неустойчивости другого типа (например, циклотронной), а также ре­зонансное взаимодействие колебаний с колебательным движением частиц, запертых в ловушке с магнитными пробками. В п. 4 приводятся оценки для „турбулентной“ вязкости, которая может возникать в анизотропной плазме и при низкой плотности, когда кулоновские столкновения между частицами несущественны. При достаточно большой анизотропии в рас­пределении ионов циклотронные колебания становятся неустойчивыми, и их развитие может привести к установлению турбулентного состоя­ния, характеризующегося наличием высокочастотных хаотических полей.

По своему влиянию на низкочастотные колебания о> | 2^ = -“■)

Взаимодействие заряженных частиц через посредство таких полей в определенном смысле эквивалентно прямому кулоновскому взаимо­действию и, следовательно, должно приводить к возникновению вяз­кости и трения.[15]

2. Некоторые суждения о влиянии диссипативных процессов (вяз­кости, трения и др.) на желобковые колебания можно высказать до конкретного исследования этого вопроса. Частоты собственных коле-

87С

Баний плазмы низкого давления в том числе и частота

Желобковых колебаний, определяются уравнением

Е(к, Ш)=2¥чдк- “>=°-

Здесь ерЧ (к, (*>)—тензор диэлектрической проницаемости плазмы для колебаний с волновым вектором к и частотой и>. [Возмущения стационар­ных величин выбираются нами в виде плоских волн ехр (—Лг)].

В пренебрежении антиэрмитовой частью е уравнение (2) в области устойчивости имеет только действительные корни О). При учете малой (I Im е | <^ | е |) антиэрмитовой части в е частоты собственных колебаний становятся комплексными, причем инкремент (декремент) колебаний определяется выражением

(3)

Теперь обратим внимание на то обстоятельство, что при 1те=0, т. е. без учета необратимых процессов, значения собственных частот (двух) совпадают на границе области устойчивости. (В области неустой­чивости они становятся комплексными и сопряженными друг другу). В области устойчивости (вблизи от ее границы) значения собственных

Частот близки по величине, однако знак величины —:—для них разли-

А(о

Чен. При этом, как следует из уравнения (3), вне зависимости от знака Ims, один из корней приобретает Y>0. Таким образом, при наличии диссипативных эффектов область неустойчивости оказывается шире той, которая получается в пренебрежении этими эффектами. Отметим, что вблизи от границы области неустойчивости (найденной без учета 1ш s)

Знак энергии колебаний W = - | Е |[16] для двух корней различен.

Если в результате необратимых процессов (например, черенковского излучения) происходит увеличение энергии колебаний, то неустойчив корень с положительной энергией; в обратном случае, когда энергия поглощается, неустойчив корень с положительной энергией [9> 10].[17]

Заметим, что в термодинамически неравновесных системах действие диссипативных процессов (например, вязкости) в некоторых случаях может приводить к нарастанию энергии колебаний. В этих случаях#при учете вязкости неустойчивы колебания с положительной энергией.

3. Получим теперь выражение для е, 1ш£, входящих в уравнения (2),

(3) . Рассмотрим плоскую задачу, считая, что плотность плазмы и маг­нитное поле в начальном состоянии переменны в направлении ох. Ось ох направим по магнитному полю. Мы ограничиваемся для простоты случаем колебаний, локализованных в области наибольшего градиента плотности, т. е. лежащих на дне эквивалентной* потенциальной ямы. Возмущения потенциала в таких колебаниях имеют вы А плоской волны [[18]]. Будем рассматривать поведение плазмы гидродинамически, используя уравнения непрерывности для электронов и ионов и уравнения движе­ния, в которые введем силу трения

Ртр. < = —Ртр. . = тП (V. — V;) V!

И ионную вязкость

Г„) - ъ

= "ух = -1, К, -^ ( V« с -

Где = — |-8 сИу»; 1, —§5“ > Ъ = жг: 2. — циклотрон-

Р % 0 * ная частота ионов; v1> v2—эффективные частоты ион-электронных и ион-ионных соударений.

Уравнение непрерывности дополним членом —пч3, посредством кото­рого учтем возможность ухода частиц из системы, например, в резуль­тате развития циклотронной неустойчивости или за счет перезарядки ионов на нейтральных атомах — эффективная частота, с которой частицы покидают ловушку).

При этих предположениях получается следующее дисперсионное уравнение для определения частоты желобковых колебаний

Е (к, о>) = 1 -+- ^ = 1 — 4ъеп0 77 -+- ^з)-1 —

'т; + - «• $ V р?) [(» - к, Ъ) (1 ч - т

-+- == 0. (4)

О 1 4*0 -1 т/ Т ^ х. .

Здесь * — —~~^Х~—а > м> — а т~ ~н Их — ск°р0сть дрейфа ионов

В неоднородном магнитном поле.

Считая частоты v2, v3 малыми, пренебрежем сначала диссипатив­ными эффектами. При этом уравнение (4) принимает вид

Р -“ К - ЬМ Щ1]=0. (5)

Где Ш*=х£ур^Ц1 ■

Из (5) легко получить приведенные выше условия неустойчивости (1). Нетрудно найти также, что вблизи от границы области неустойчивости

Значения собственных частот близки друг к другу: » м2 » “ - ЛК° .

Вдали от границы собственные частоты существенно различны; так,

0)#

Например, при с1?±^>аЯу ^ — куУ^ в Другом предельном слу -

Чае (при /??*>а») «>! = «»*-------------- , а>2 = ^.

Рассмотрим сначала действие вязкости. При малых плотностях неустойчивыми оказываются колебания с меньшей частотой

О)«о)2. Вдали от границы области неустойчивости их инкремент по

Порядку величины равен ^ «v2 (^~~) * ^Ри ^ольших плотностях>

Когда действует эффект стабилизации за счет конечного ларморовского радиуса, влияние вязкости приводит к неустойчивости колебаний с ча­стотой ю = и инкрементом Этот случай был рассмотрен

В работах [6> 7]. Под действием вязкости желобковые колебания стано­вятся неустойчивыми и в стабилизированном режиме, когда градиенты плотности и магнитного поля антипараллельны. В этом случае неустой-

- * (Ш*к9У0Чш

Чивы колебания с частотой о) « — Рр2—/ и инкРементом X

X аз^ -. При этом интервал изменения плотности, в котором плазма оказывается неустойчивой, примерно совпадает с интервалом неустой­чивости для „нестабилизированного“ режима ^~^

^ [1_3] при дополнительных условиях а3<^Кс1}±.

Как следует из уравнения (4), электрон-ионное трение и эффекты, связанные с потерями частиц, влияют на устойчивость одинаково, причем оценки, произведенные в п. 4, позволяют предположить, что электрон-ионное трение в турбулентном режиме должно быть весьма мало ^<^2 (то же самое, как известно, обычно имеет место и при кулоновском взаимодействии). Поэтому в реальных условиях более существенными могут оказаться эффекты, вызванные уходом частиц из системы. Нетрудно найти, что под влиянием этих эффектов желобко­вые колебания становятся неустойчивыми в нестабилизированном режиме (градиенты плотности и магнитного поля направлены в одну сторону) при причем частота и инкремент неустойчивых колебаний по

Ку К0 д2

Порядку величины равны соответственно <*) = <02«-р^-> Тда*3/Г2'

' г *»'

В заключение отметим, что мы привели выражения для инкремента, справедливые в широкой области вдали от границы неустойчивости.

При приближении к границе, когда -> 0, инкремент, определяемый

1т £

Выражением ^ ~ ^ -- , возрастает, сравниваясь по порядку вели­

Сь»

Чины с самой частотой ^ ^ ш ^^-------------- •

4. Оценим теперь значения частот V,, v2, предполагая, что система находится в турбулентном состоянии, возникшем в результате развития неустойчивых циклотронных колебаний.

В поле гармонической волны с частотой, близкой к ионной цикло­тронной, поперечные компоненты импульсов ионов колеблются с ампли-

0 л#

Тудами ~ |-» здесь Е—амплитуда поля циклотронной волны.

(Обычно в циклотронных колебаниях к^^>к^ и поэтому £'х^>£’„). В выражении для р. мы учли то обстоятельство, что циклотронное колебания скоррелированы с вращением ионов по ларморовской окруж­ности. В то же время, поскольку | о) | изменением импульса

Электронов можно пренебречь.

Если эти колебания прерываются через время т или, что то же самое, модулированы случайной функцией с характерным временем изменения порядка т, то частицы должны беспорядочно изменять свой импульс на величину pi через время т. Хаотические скачки фазы коле­баний являются характерным признаком турбулентного состояния и возникают в результате взаимодействия между собой отдельных мод. В результате этого процесса спектральная, функция, соответствующая собственным колебаниям электрического поля /с, о,, расплывается, при­чем порядок величины уширения равен инкременту раскачки колеба­ний т (см., например, [п], стр. 221). С другой стороны, очевидно, что это уширение определяется средним временем существования „гармо­нического“ колебания, и введенная выше величина т равна ^-1* Учиты­вая это, находим, что среднее время рассеяния иона на колебаниях

По порядку величины равно

Теперь заметим, что поскольку электрические поля циклотронных колебаний вызываются заряженными частицами, то сами эти поля слу­жат лишь промежуточным агентом, передающим взаимодействие между частицами. Поскольку этот процесс хаотичен и то изменение

Импульса ионов может происходить только в результате ион-ионного Ьзаимодействия (Влияние внешнего магнитного поля на этот

Процесс можно не учитывать, поскольку нетрудно показать [и], что полный импульс частиц при наличии турбулентности сохраняется и в замагниченной плазме).

В то же время известно, что соударения между одинаковыми ча­стицами приводят к появлению вязких напряжений, а электрон-ионные соударения также и к алектрон-ионному трению. Следовательно, для величин v2, введенных в п. 3, имеем

^Обычно (см. [10» п]) в циклотронных колебаниях

Учитывая это, для V;, получаем выражение

Здесь ф — амплитуда колебаний электрического потенциала, ее вели­чину можно определить при помощи нелинейных оценок, сравнивая по порядку величины инкремент неустойчивости с обратным временем рас­пада неустойчивых колебаний на затухающие.

В частном случае электронных „ленгмюровских“ колебаний в раз-

Реженной плазме р*[12] такая оценка дает

В заключение заметим, что величину т2 = у-г нетрудно определить из экспериментальных данных. Действительно, время т2 должно по по­рядку величины совпадать со временем существенного искажения функ­ции распределения ионов по скоростям под действием циклотронных колебаний.

5. В достаточно коротких ловушках, когда выполняется условие

V и

—длина области, занятой плазмой), на развитие желобковых

Колебаний могут оказывать существенное влияние эффекты резонанс­ного взаимодействия волны с колебательным движением частиц, за­пертых в магнитной ловушке. Такое взаимодействие также приводит к появлению 1ше^=0[13].

Отметим, что некоторые экспериментальные устройства [*■5] можно считать в указанном выше смысле короткими. Мы покажем, однако, что хотя в принципе резонансная раскачка желобковых колебаний и может иметь место, в конкретных ловушках [4’5] с инжекцией быстрых частиц поперек магнитного поля она, по-видимому, невозможна.

Пусть плазма занимает область вблизи экваториальной плоскости ловушки, много меньшую полной длины ловушки Ь. Выберем в качестве невозмущенной функции распределения ионов следующую функцию ин­тегралов движения

TOC o "1-5" h z /м=2Т&;3 (и - ^ехр [-“• (”2Я71Я°)] <?,(*■- Й. (6)

Где Н0 = Н|^=о. При а^0^> 1 можно в (6) заменить 8 (и — т;0) на 3 (т;х — т;0). Разлагая Н(г) в ряд окрестности точки г = 0, получим

^=5(г^~ *•>ехр [-“? Н1 (*-£)• <7)

2 'd*H

где k — I ~^2 0* Таким образом, изменение магнитного

Поля в области, занятой плазмой, учитывается введением эффективного

Потенциала U(z) = в больцмановском распределении по т>ц. Если

Для описания изменения поля двух членов разложения Н недостаточно, то потенциал U имеет более сложный вид. Например, модели с тор­цами, упруго отражающими частицы, отвечает U(z) в виде прямоуголь­ной ямы с плоским дном. В качестве электронной функции распреде­ления выберем квазибольцмановскую

/о. = *.(=?) " ехр [—* («* - ь «* - ь t* - ь jg)] Q. (х - . (8)

При этом *квазинейтральность поддерживается слабым продольным электрическим полем 2TJ, которое в свою очередь обеспечивается не­большим разделением заряда и (Тв<^Т%\) влияет лишь на движение электронов.

Частота гармонического движения ионов в потенциале равна ак:=

= у — , частота электронов есть о) = 1/ т*~ а).. Заметим, что а>. имеет

F mi 7 meJi\

Порядок o)t - ~ , а характерная частота желобковых колебаний <о ~

T"Q.

Где а pt. — радиус цилиндра плазмы. Мы видим, что

A) t. ^>0). Если —, то частота колебаний электронов еще больше.

1 » п т*

Найдем теперь связанные с волной поправки к функциям /0у.

Пусть возмущение потенциала имеет вид ср == ехр (ikxх ikyy — №) 6 (г).

00

Представим ф(г) интегралом Фурье ф(г) = -= ty(k^txp(ikxz)dkg,

V2te J

Тогда, например, поправка к электронной функции распределения равна Л. = “ 1 ^ ± ехр Цкхх (куУ - Ы)/й4 | Шх

— СП —00

1

— (шч-£ухр2|2,|) ^ ехр(1к, х{е) — Ы')(1Лы1>(1кгг)(1к1,

— СО Л

Где г(Ґ) — изменяющаяся по периодическому закону координата элек­трона. Аналогично находится поправка к ионной функции /оі. Рассмотрим два случая.

А) Модель отражающих торцов. Пусть | и) |<^ —? —. Тогда в ре­зультате решения уравнения Пуассона Дер =—4п (р#рй), дополненного граничными условиями непрерывности потенциала ф (г) и его произ­водной ^ на торцах г=-±Ьу получим в пренебрежении малыми анти - »рмитовыми частями в р, и следующее уравнение для частоты [13]

К.

О,2-о, К-4-*,У0)ч—(10)

*іР*

Где

А) = ■

Для нахождения мнимой добавки к частоте надо учесть антиэрми - товы члены в выражениях для плотности заряда ру = е;А}Лу - Рас­смотрим для определенности случай • Тогда наибольший

Вклад в антиэрмитову часть р плотности р вносят электронные сла­гаемые

, _ 'V А. шА Л ка%Л I 2« I ^ л

^:—)Ъ“Л-ГЬ

1ф{) * 1 '

Ь

Где = ^ ^ ф(г)ехр^—— коэффициенты в разложении ф(г)

Vр5«.

В ряд Фурье на отрезке (—Ь, Ь). При - у < 1 раскачке подтвер-

Жены колебания, для которых ^'(/ &хр,) На­пример, в случае > /?а (низкие плотности) при 0 неустойчив

Т

У Г - ^

Г~ЛШ~~к9 К°)2 &*а*'лЬ V I ^ I2 л[ Тв Р,-

Т м* * £ I / I I Фо I <Ц пчУ т. аЬК - 1 >

Раскачка колебаний осуществляется электронами, частота движения которых вдоль ловушки (или ее целые кратные) совпадает с частотой волны.

Б) Случай осцилляторного потенциала U=^~• Выполняя интегри­рование по времени в (9), будем иметь

° ° f Г~

^ exp (ikzzt (f) — ^ exp [ik, у sin (и/ -4-5) — /o)^j dH =

— QO —00

(12)

N

Пользуясь этим выражением (и аналогичным интегралом для ионов), мы получим, очевидно, при | а) | а)^, а)# (короткая ловушка) чисто эр­

Митову диэлектрическую проницаемость. Это связано с тем, что при

Кг 2

Движении в потенциале U(z) = - при достаточно большом к ни одна

Частица не может находиться в резонансе с волной низкой частоты. Отсутствие антиэрмитовой части в р# { означает, что в „коротких“ ло­вушках, в которых

Аз)

Н„ </г* Uo'atf ' '

(такая ситуация имеет место, например, в Огре-Н), раскачка желобко - вых колебаний в „области устойчивости“ за счет взаимодействия с ре­зонансными частицами невозможна. Этот вывод сохраняется и для слу­чая, когда при выполнении условия (13) магнитное поле нарастает

Кг2

К пробкам быстрее, чем по закону (J(z) = - j-, Тогда у быстрых частиц

Частота движения вдоль ловушки еще больше.

Если же выполнено условие, обратное (13) (например, для потен­циала в виде прямоугольной ямы—модель с отражающими торцами), то хотя для большинства частиц частота движения вдоль ловушки

И больше частоты волны w | < —^ f тем не менее находятся частицы

(достаточно медленные), которые попадает в резонанс с волной. Эти частицы и осуществляют раскачку.

Авторы благодарны Б. Б. Кадомцеву за внимание к работе и полез­ные советы.