ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

Влияние резонансных точек второго типа НА колебания плазмы низкой плотности

В ур. 1 уже рассмотренные нами особые точки,

В КОТОрЫХ ВЫПОЛНЯеТСЯ уСЛОВИе 0) — ШС0Е = Ш(0л,

Входят на равных правах с такими, в которых о)=тсоЕ=(шс/Нг) <р0 Однако, как следует из ур. 1.28, 1.31, из которых получено ур. 1, особые точки последнего типа связаны с обращением в нуль резонансных знаменателей, и поэтому учет в этом случае членов высшего порядка по гл/г бесполезен. В теории однородной плазмы анало­
гичная трудность устраняется выходом в ком­плексную плоскость, когда считается, что у ча­стоты (о имеется небольшой положительный мни­мый добавок (правило обхода полюсов Ландау). При этом величина 1 /ы — к9 в точке, в которой знаменатель обращается в нуль, определяется как

Р[(о) — £у) — » тс д(со — кг)

Здесь мнимый член учитывает присутствие в плазме резонансных частиц, которые могут непосредст­венно обмениваться энергией с волной. Естест­венно этот принцип распространить и на случай неоднородной плазмы. В этом случае все резо­нансные частицы будут локализованы в малой окрестности особой точки, на расстояниях порядка ларморовского радиуса.

На простейшем примере желобковых колебаний плазмы низкой плотности мы покажем, что нали­чие в системе таких резонансов при определенных условиях может приводить к раскачке колебании.

Известно, что в отсутствии электрических полей плазма очень низкой плотности (Т0/Мо>01г> г Л) устойчива 13. В этом случае дифференциальное уравнение желобковых колебаний имеет следую­щий вид

'2.1,

Собственные значения частот этого уравнения могут быть найдены, например, при помощи вариа­ционного принципа для выражения в скобках. В результате получаем

1 / ,и О, Г/ т? V2 .

<«1.2 = 2 Та ± Цмг) + ~о*

•х(ртг" ?12<1г)(/г ^г<ь)']"} (22)

Очевидно, что в области устойчивости, вдали от ее границы, когда имеет место соотношение Т/Мсоо?> гЛ, значения собственных частот по порядку величины равны

Тп <7 rU

Пусть электрическое поле мало oje ^ си ', тогда в резонансе с медленной волной могут находиться только электроны, а с быстрой только ионы. Предположим также, что электрические поля локализованы в малой области, причем в ней величина (dojor/rdr) (рх - относительно невелика, что имеет место, например, вблизи осн. При таких условиях можно считать, что действительная часть частоты изменяется слабо, однако наличие резо­нансной точки приводит к появлению у собствен­ных частот малой мнимой части. Ее можно найти, помножив ур. 2.1 на (ff и проинтегрировав его по /•, используя в резонансных точках равенства

— і~д(й) — m oje)

Аі — тп СО£

(w-W(.IE+~) l=p|„j-m<.jE+

— І ТС О) — m (OE + I

В результате получаем

Ing- 1 d<MOi!(r°)

(2.3)

(2.4)

Из этих выражений следует, что плазма окажется неустойчивой в том случае, если в резонансной точке ее плотность возрастает по радиусу. (Среднее значение градиента естественно должно быть отри­цательным.)