ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

Задача о собственных колебаниях

Рассмотрим желобковые колебания разреженной плазмы в простей­шем случае, предположив, что стационарное электрическое поле ме­няется линейно С расстоянием (cpj const), при ЭТОМ Л0# n0i^ const,

Vqj = - jj 'fI (x — x0)-- и уравнение (11) принимает следующий вид

- *■», = аг. ^ (([(£ - Vjf - ri -

1121

Будем считать, что степень некомпенсации пространственного за - ряда р=

Достаточно велика

1 (13)

Проанализируем возможность существования решений уравнения (12) с различными областями локализации Ах. Предположим сначала, что

Колебания локализованы в малой области вблизи одной из ре­

Зонансных точек. Заметим, что расстояние между парой резонансных

Г2

Точек в (12) по порядку величины равно • Помножим уравнение (12)

На ср* и проинтегрируем по предполагаемой области локализации, в ре­зультате чего получаем

\ч'Чх-и(х)<?Чх = 0,

Дл

Здесь через и(х) обозначен эффективный „потенциал“, т. е. коэффи­циент перед в правой части уравнения (12).

'Величина 0(х) в резонансной точке достигает максимума | £/(*«.) |~

. I 1т а> I

, где Лу = шах | гл у; | и ПРИ удалении от этой

Точки спадает по закону Ц {х) ^ ар^_ х ) • ПоэтЬму в вышеприведен­

Ном интегральном соотношении второе слагаемое по порядку величины равно — (1н-1п^)|?|2, в то время как для первого имеем (Дх) 11 ср |2. Следовательно, при выполнении условия (13) решения с областью ло-

2

Кализации Ахневозможны. Следует отметить, что в реальных си­стемах, несмотря на то что естественно ожидать выполнения условия ~р! г ^ г*’ 3' величина 1п ^Дх ^ не может быть слишком велика

1п-^-^3. В то же время при г Хт у —> 0, когда уравнение (12) становится гл. у

Существенно сингулярным, условие (13) уже не препятствует существо­ванию локализованных решений.

2

Если потребовать, чтобы ВЫПОЛНЯЛОСЬ условие т0» повто­

Ряя вышеприведенные выкладки, легко найти, что решения с произволь­ной областью локализации, такой, что внутри нее 11(х)'^кгу невоз­можны. Однако на самом деле для отсутствия решений с областью ^2

Локализации достаточно потребовать выполнения условия (13).

Действительно, в этом случае в большей части „потенциальной ямы“ эффективный потенциал имеет вид

И(х)

Где а = р^Яа ^ Т ’ Н0 из квантов°й механики известно, что связанные

Состояния в этом случае невозможны (см., например, [и]). То обстоя­тельство, что при х->хе зависимость &(х) имеет другой вид, как легко показать в данном случае, является несущественным.

Нам остается рассмотреть возможность существования колебаний, область локализации которых много больше, чем область локализации эффективного потенциала, т. е. в большей части которой |^/(^)|^^2- Такие решения по обе стороны от потенциальной ямы удовлетворяют „уравнению свободного движения“ ср" — >^-ср1 = 0 и имеют разрывную производную (см., например, [14])

00

—2*? 1 (■*«)= | и(х)с/х-?1{хс), (14)

Здесь область интегрирования в силу сходимости интеграла распро­странена до ±оо, а через |*Јjj обозначена разность значений произ­водной справа и слева от области локализации эффективного потенциала. Сама функция в этой области может считаться постоянной.

Скачок производной в условии (14) 9' определяется полным воз­мущённым зарядом. Покажем, что этот заряд равен нулю. Действительно, в рассматриваемом случае, когда V0j меняется линейно с расстоянием, электроны в точке с координатной х в возмущениях потенциала дви-

Жутся так же, кДс ионы в точке х х, где а,

^ К о

Если также учесть, что ^(х), на столь малых расстояниях по­рядка &гх можно считать постоянными, то возмущения плотности электронов и ионов должны приводить к равным по величине и проти­воположным по знаку возмущениям заряда. Соответственно интеграл

, оо

J U(x)dx должен обратиться в нуль

—00

J U(x)dx = Q-^(Ј-?l)-' {<ln(Z.4-V'V;-rl ,)>|:s-

— 00

— ln (zi - л - jz) — r;,.)) |!Ј} -*■ 0. (15)

Здесь Zj = x — xtt (fj-fo) (t —

Таким образом, мы показали, что если л0в— nQi« const и параметры плазмы удовлетворяют условию (14), то собственные колебания в такой плазме отсутствуют.

Следует отметить, что в реальных условиях разнос**» п0в — n0i не может оставаться постоянной у края плазмы, где л0у->0. В этом слу­чае наиболее существенно то обстоятельство, что эффективный потен-

2

Циал в уравнении (11) при х — хе | спадает не по квадратичному

Закону, а более медленно

Здесь обозначено у =^7 (по<—ло.)- При этом у уравнения (11) мо-

Гут появиться связанные состояния, которые, вообще говоря, могут соответствовать неустойчивым возмущениям. Однако с увеличением

При этом возрастает также и вторая производная от электрического я

Поля = —4~еп0-^ максимальный возможный инкремент должен па­дать. Действительно, если предположить, что

Ь г1А

- Г Я* к — —

I 1 max о

Qj qa ^ q a-R у

То уравнение (11) сводится к следующему

(16)

Д х1 - . 1 — &в Их ^ 0. 4х ) к

Но (16) вообще не имеет решений С 1т О) =7^0. В этом легко убедиться, помножив уравнение (16) на <р* и проинтегрировав его по области ло­кализации предполагаемого решения. Величина л0в — л0, при этом счи­тается монотонной функцией х.

Уравнения типа (16) имеют и самостоятельный интерес, поскольку яа этом примере выявляются аффекты, непосредственно связанные с резонансом между волной и невозмущенным дрейфовым движением частиц. Подобные уравнения описывают колебания, в которых участвуют частицы одного сорта. Такая ситуация возникает, например, если ве­лика частота колебаний (ш^^) или мала длина их волны (£/*,^>1), тогда можно положить пи = 0, и уравнение (16) принимает следующий вид

Максимальный возможный инкремент (декремент) таких колебаний НО порядку величины не может превысить значений Тт*х ■Действительно, если предположить противное, то уравнение (17) ста­новится аналогичным уравнению (16) и, следовательно, вообще не имеет решений с комплексными О).