Вывод основного уравнения
Рассмотрим задачу о желобковых колебаниях разреженной плазмы, находящейся в слабонеоднородном магнитном поле. Будем считать, что из-за наличия некомпенсированного пространственного заряда в плазме имеется электрическое поле, направленное перпендикулярно к магнитному.
Обычно предполагается, что поведение плазмы низкой плотности, для которой выполняется условие (здесь — дебаевский радиус
Ионов; гл i — их ларморовский радиус), хорошо описывается в рамках гидродинамического приближения (см., например, [п*4]).
При этом в качестве основных уравнений используется уравнение Пуассона
-Ь = 4-е (п, — п() (1)
И гидродинамические уравнения непрерывности
^ -«-div л, т_,=0. (2)
Здесь V, =^-2|н(г;р — ^ у,.) ; ^ _ эффективное ускорение
Силы тяжести, имитирующей неоднородность магнитного поля, силовые линии которого имеют средний радиус кривизны, равный Л; — средняя энергия частиц сорта у (у = е, /); гв<^£-. Как известно, желобковые колебания могут быть неустойчивы, если ускорение силы тяжести направлено в сторону, обратную градиенту начальной плотности.
Будем использовать прямоугольную систему координат, ось ОХ которой направим вдоль ускорения силы тяжести, и ось 0Z вдоль магнитного поля.
Предположим, как это обычно считается, что плазма обладает собственными колебаниями, которые в линейном приближении представляют гармонические волны с частотой о), бегущие по направлению, в котором система однородна. Положим к2 = 0, ку — к.
Используя уравнения непрерывности (2), линеаризованные по малым отклонениям от стационарных величин, для возмущения плотности частиц сорта у находим
Я"57( ¥1- (3)
Подставляя это выражение для пи- в уравнение Пуассона, получаем основное уравнение, которое можно использовать для определения самосогласованных возмущений потенциала срг
3=в, *
/41Г*2„ _
Одесь а)0у = ^———^ —плазменная частота частиц сорта у; 12^ =
Е5Н |
Тз
Т. с |
Циклотронная частота.
Если плотность пространственного заряда достаточно велика, так что начальная скорость 1/0у меняется достаточно быстро с координатой х, то может найтись такая точка х0в которой начальная скорость совпадает с фазовой скоростью волны -1/0у (хе^) = .
Эти точки для уравнения (5) являются особыми и в них одно из линейно-независимых решений имеет логарифмическую особенность [12]. Используя правило обхода полюсов Ландау [1? 2], которое по существу является правилом аналитического продолжения решения, для комплексных частот можно построить регулярное на действительной оси решение уравнения (4). Однако, как будет видно из дальнейшего, полезно прежде уточнить уравнение (4), учтя в окрестности особых точек эффекты конечного ларморовского радиуса частиц.
Оказывается, что при гт>у-*0 эффекты конечного ларморовского радиуса необходимо учитывать только в выражении для начальной скорости дрейфа, поскольку эта величина входит в резонансный знаменатель уравнения (4). Усреднение по невозмущенной траектории частицы дает (см. „Приложение“)
V» = — ТГ ■+■ 77 То 4г 'РХ ) 5‘п 0. (5)
Здесь Гд. у = ^-; 0 — угол между осью ОХ и вектором скорости лармо-
"У
Ровского вращения частицы в точке х.
При этом выражение для л1у принимает следующий вид (см. „Приложение“, а также работу [и])
Ли = 77 ] ^ (*• ¥) (— т~*~ ^ ('х’ 1 ^
Если 1/0у не зависит от V, то уравнение (6) сводится к уравнению (3), которое было получено из гидродинамического уравнения непрбрыв - ности (2). Аналогично этому и уравнению (6) может быть получено из
следующего очевидного обобщения линеаризованного уравнения непрерывности
+ т>^=0- (7)
Представим выражение (6) для ли - в следующем виде
Л1J — ^н(“ЗГ [к ~нУ»[14]'1-■?) 1*) ’
Где обозначено
2*
// — I V* -*-**>—8*п 0)-1 М’
О
«/, - Н Йу=(^ ч - £1-± ?;) (^ ,)-1.
</у, Ау — действительные величины. Скобки в этом выраженит означают - усреднение по абсолютной величине скорости частиц.
Оказывается, что при рассмотрении вопроса о собственных колебаниях плазмы достаточно в (8) проинтегрировать по 0, т. е. вычислить величину /у. Для этого введем новую переменную интегрирования г =в* ; в результате получаем
~ ¥ § ** —6)—1 • ^
И=1
В соответствии с правилом обхода полюсов Ландау [х] считаем, что - интеграл (9) определен для нарастающих возмущений (6 < 0 при £>0).1 При Ь^О следует деформировать контур интегрирования таким образом, чтобы получилась единая аналитическая функция.
Подынтегральное выражение в уравнении (9) имеет два полюса в точках *± = (|£/——6)2ч-1 . Легко показать, что в случае Ь <[ О' внутрь контура | х | = 1 попадает только один полюс, соответствующий г_у и интеграл (9) сводится к вычету в этом полюсе
1= 1 —. (10)-
Для того чтобы получить аналитическое продолжение / в область
0, необходимо таким образом деформировать контур интегрирования в уравнении (9), чтобы он по-прежнему охватывал только полюс При этом выражение (10) для ] остается справедливым и в случае
= 0. (11) |
Используя уравнение (10) в выражении (6) для возмущения плотности и подставляя п^ в уравнение Пуассона, окончательно получаем
У=», *
Уравнение (11) отличается от уравнения (4) только при достаточно малых 7 = 1ш«>, а именно при | 7 | ^ | кгяУ01, и только на расстоянии порядка г1% от особой точки. В основном это различие связано с учетом взаимодействия с волной резонансных частиц, которые могут находиться на расстояниях порядка гХш от особой точки [см. уравнение (5)]. Обычно выделение резонансных частиц имеет смысл лишь при достаточно малых 7, в данном случае при | т | ^ | кгхУ'01. В то же время при 171 |£г,1^| все частицы участвуют в развитии колебаний на равных
Правах [см. уравнение (11)].
Полезно сопоставить уравнение (11) с уравнением плазменных коле* баний, на примере которых были впервые рассмотрены эффекты взаимо
действия резонансных частиц с волной (см. [х]). В случае плазменных колебаний резонансные частицы выделяются при |Т|>|<*>| (т^О), а также при достаточно малых (экспоненциально-малых) Это обстоятельство отражено в том, что интеграл вероятности от комплексного аргумента 1^(г), через который в этом случае выражается лху в функции от <рх> из-за явления Стокса имеет различные асимптотики в различных секторах комплексного переменного г = ^ , причем при | ^ | ]> | Яе о> |
1ш г) ч—-к=- и при І7І<^|Яео)|
' ' V 7С ^
*-►00
I 1
W _
|*|->>ао Vit *
Последнее выражение, как известно, получается, если величину ^ в особой точке определить как ^-------------------------------------------------------------- ito(o)—kv)t что соот
Ветствует правилу обхода полюсов по Ландау.
При определенных условиях это правило, очевидно, можно использовать и непосредственно в уравнении (4). Предположим, что 1т|<
<kr2yQl тогда величину ^---------- —т. ^ 80 внутренней
Области, т. е. при | VQ----- | ^ I г*У'о I» можно записать в виде —/ (гЛУ'0)~1 X
Если возмущенный потенциал срх слабо меняется на расстояниях порядка гл>, то можно использовать уравнение (11), усредненное по таким расстояниям. При этом внутренняя область, где | х— хе | < гл>, как
Нетрудно видеть, дает вклад —in ~ -^r<Pi (*с). Вклад внешней области,
Где х — хе ]> г, можно записать в виде <р: (х). Суммируя
Эти результаты, получаем, что при IТI ^ I ^глI величину [(о)—&Vq)2 — ,/ р
— (*г, УЭТ * можно определить как _------------- /тс8 (а> — kv). Именно такое
Выражение было использовано в работе [и].