ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Вероятность в физике

Еще в 1827 г. английский ботаник Браун¹, рассматривая в микроскоп растительные препараты, заметил движение мелких взвешенных частиц. Затем выяснилось, что вся­кая достаточно мелкая крупинка, находящаяся во взве­шенном состоянии, постоянно перемещается самым слу­чайным образом. Это движение получило название брауновского движения. Оно является результатом случайных толчков, которые испытывает взвешенная ча­стица со стороны хаотически движущихся молекул. Тео­рию брауновского движения оказалось возможным раз­работать только с помощью вероятностных соображе­ний ². Вообще говоря, молекулярное учение практически полностью базируется на вероятностных рассуждениях. Большое число молекул и хаотичность их теплового дви­жения делают плодотворным применение таких рассуж­дений.

Можно с большой степенью точности утверждать, что молекулы газа равномерно распределяются по всему объему. В среднем отклонения от равномерного распре­деления будут ничтожно малы. Не исключены и замет­ные отклонения, но они будут встречаться крайне редко и тем реже, чем эти отклонения больше. Все эти выводы и вообще выводы молекулярной физики, можно в основ­ном получать статистическими методами. Статистически* ми методами можно определить среднюю скорость моле­кул, их среднюю кинетическую энергию и много других величин. Нахождение этих и других средних значений физических величий и установление законов, связываю­щих эти средние значения, составляют основную задачу статистической физики. Статистическое рассмотрение яв­ляется одним из наиболее распространенных методов физики.

Если до второй половины XIX в. основными областя­ми применения теории вероятностей были обработка ре­зультатов наблюдений, статистика (в первую очередь демография) и некоторые другие вопросы, то во второй

• Часто в научно-технической литературе на русском языке вме­сто Браун и соответственно — брауновское движение пишут Броун и броуновское движение. Отметим, что последнее написание связано с неправильным транскрибированием английского слова Brown (прим. ред.).
• Законченная теория брауновского движения была создана лишь в 1905 г. Эйнштейном и Смолуховским (прим. ред.).

половине XIX в. положение принципиально изменилось. В первую очередь это связано с появлением работ ав­стрийского физика Л. Больцмана (1844—1906 гг.) и аме­риканского ученого Д. В. Гиббса (1833—1903 гг.).

Больцман является крупнейшим физиком-теоретиком второй половины XIX в., одним из основоположников со временной физики. Его имя в первую очередь связывают с обоснованием и развитием статистической физики.

Главной заслугой Больцмана является молекулярно­кинетическое истолкование второго начала термодинами­ки и установление статистического смысла понятия эн­тропии.

Состояние тела характеризуется температурой, давле­нием, плотностью и т. п. Но 'каждому состоянию соответ­ствуют многие различные случаи распределения молекул и атомов (атомные картины тела). Каждое состояние мы встретим тем чаще, чем больше ему соответствует атом­ных картин, т. е. чем больше атомных картин, тем боль­шая вероятность встретить данное состояние. Обозначим эту вероятность W.

Чаще всего мы будем наблюдать состояния, вероят­ность которых максимальная. Чем меньше вероятность состояния, тем реже оно будет встречаться. Но и очень маловероятные -состояния встречаются; в частности, очень маловероятно то состояние газа, в котором он находится в рассматриваемый момент. Больцман по этому поводу пишет:

«Случай, когда все молекулы в газе имеют в точности одинаковые и одинаково направленные скорости, ни на волос не менее вероятен, чем случай, при котором ско­рость и направление скорости каждой молекулы точно такие, какие она имеет в действительности в определен­ный момент в газе» [111, стр. 64].

В другом месте: «Любое, даже и невероятное распре­деление состояний имеет хотя и малую, но все же отлич­ную от нуля вероятность. Даже тогда, когда имеет мес­то... случай, когда первая молекула имеет как раз ту скорость, которую на самом деле имеет в этот момент, аналогично вторая и т. д., ничуть не более вероятен, чем случай, когда все молекулы имеют одну и ту же ско­рость» [111, стр. 68].

Маловероятно, но возможно и такое состояние, когда все молекулы газа соберутся в одной половине объема.

Больцман вычислил, что для объема в 1 см^% вероятность одновременного нахождения всех молекул газа в одной половине этого объема равна І/ІО¹®¹⁰.

Без воздействия извне явления развиваются так, что система переходит из менее вероятных состояний в со­стояния более вероятные. Таким образом, она достигает своего наивероятнейшего состояния, вблизи которого она будет допытывать некоторые изменения — флуктуации. Наивероятнейшее состояние является состоянием равно­весия.

Таким образом, вероятность все время стремится к своему наибольшему значению. Так же ведет себя и энтропия, которая при любых процессах, происходящих в системе, всегда возрастает.

Больцман вводит в рассмотрение функцию Я, кото­рая является аналогом энтропии и играет в статистиче­ской физике существенную роль.

Пусть в момент времени t

fd, TJ, е, ()d%di\ de = /d©

означает число молекул т, для которых составляющие скорости в направлении трех координатных осей лежат в пределах между

I и | + d£, г) и г) + dr), е и е + de.

Параллелепипед, вершина которого имеет координа­ты |, г), е, а параллельные координатным осям ребра рав­ны d£, dr), de, будем называть параллелепипедом d©.

Если функция / известна для какого-то значения t, то тем самым определено и распределение скоростей моле­кул т в момент t.

Точно так же пусть будет

Лі*    ^)d^id%d8j⁼Fjd©^

число (молекул m_b составляющие скорости которых ле­жат между пределами:

Si и ^ + dl_v г)! и r)₁ + dr|_lf е_х и е_х +

Тогда

Я = ^ / In fd® + ^ F_t In F_t d©_r

Затем доказывается, что в предположении, «что рас­пределение скоростей было в начальный момент молеку- лярно-неупорядоченным и остается таким и в дальней- шем.„ величина, обозначаемая нами через Я, может только уменьшаться» [111, стр. 63].

Под молекулярно-неупорядоченным распределением Больцман понимает такое состояние, при котором поло­жение и скорость любой из двух сталкивающихся моле­кул перед столкновением не зависят от положения и ско­рости другой.

Доказав, что функция Я с течением времени не может возрастать, Больцман истолковывает ее, только с обрат­ным знаком, как аналог энтропии. В 1877 г. Больцман указал на связь функции Я с вероятностью данного рас­пределения.

Вокруг Я-теоремы разгорелась дискуссия. В резуль­тате последней Больцман вынужден был более внима­тельно рассмотреть связи этой теоремы с другими вопро­сами. Это привело его к выводу о статистическом харак­тере второго начала термодинамики.

При любых процессах общее количество энтропии возрастает. Закон неизбежного возрастания энтропии на­зывается вторым началом термодинамики. Возникает вопрос: какова связь энтропии 5 с вероятностью И7?

Энтропия двух тел равна сумме энтропий каждого из них (S=Si+S2), а их совместная вероятность равна произведению вероятностей отдельных состояний (И7= = Wi-W₂). Следовательно, связь между 5 и ^должна быть логарифмическая: S=AlnU7. Для того чтобы опре­делить коэффициент пропорциональности А, необходимо вычислить S и W для какого-нибудь случая. Такое вы­числение было проделано Больцманом для газа. Он на­шел, что А= 1,38-10~¹⁶ эрг/град — это постоянная Больц­мана, одна из основных универсальных постоянных фи­зики, равная отношению газовой постоянной R к числу Авогадро N (k=R/N).

Таким образом, Больцман показал, что энтропия есть мера вероятности пребывания системы в данном со­стоянии.

Относительно второго начала теірмодинамики Больц­ман пишет: «То, что в природе энтропия стремится к мак­симуму, доказывает, что при всяком взаимодействии реальных газов (диффузия, теплопроводность и т. п.) отдельные молекулы вступают во взаимодействие в со­гласии с законами вероятности или, по крайней мере, что реальные газы всегда ведут себя как воображаемые нами молекулярно-неупорядоченные газы.

Второе начало оказывается, таким образом, вероят­ностным законом» [111, стр. 85].

Представления о связи энтропии с вероятностью, ин­тенсивно и глубоко развитые Больцманом, не сразу были восприняты физиками.

Больцман вынужден иногда объяснять те или иные элементарные вопросы теории вероятностей (см., напри­мер [111, стр. 63, 99]). Но в своих рассуждениях он часто прибегает не к понятию вероятности, а к количеству моле­кул, обладающих тем или иным свойством. Причем, по его мнению, такое рассмотрение удобно потому, что «ре­альное число предметов всегда является гораздо более наглядным понятием, чем простая вероятность» [111, стр. 71].

В противовес теории тепловой смерти Больцман вы­двинул свою флуктуационную гипотезу, которая сыграла прогрессивную роль в борьбе за материалистическое мировоззрение, хотя в настоящее время эта гипотеза представляется недостаточно обоснованной.

По Больцману, возрастание является только наиболее вероятным изменением энтропии. Пусть дана система, состояние которой в момент времени to является малове­роятным и которая с течением времени с подавляющей вероятностью переходит к более вероятным состояниям, что и приводит с очень большой вероятностью к возра­станию энтропии, хотя возможны ц флуктуации, когда энтропия убывает.

Из обратимости механики тогда вытекает, что до мо­мента to энтропия с такой же большой вероятностью должна была уменьшиться. Наблюдаемая необратимость статистических процессов связана с тем, что сейчас про­исходит затухание космической флуктуации, а не нара­стание. Больцман считает, что к таким мировым процес­сам применима теория вероятностей. «Так как исчисле­ние вероятностей оправдало себя в столь многих частных случаях, я не вижу никаких оснований, по которым оно не могло бы быть применимым также и в процессах при­роды более общего характера» [111, стр. 527—528].

Чтобы быть правильно понятым в вопросе о возвра­щении системы к прежнему состоянию, Больцман дает подробные объяснения. В частности, он пишет:

«Переход от упорядоченного к неупорядоченному со­стояниям лишь крайне вероятен. Также и обратный пере­ход имеет известную вычислимую, хотя и невообразимо малую вероятность, которая действительно стремится к нулю только в предельном случае, когда число молекул становится бесконечным. Следовательно, то, что замк­нутая система, состоящая из конечного числа молекул, первоначально находившаяся в упорядоченном состоянии и затем перешедшая к неупорядоченному, по прошествии невообразимо длительного при большом числе молекул времени должна снова принимать упорядоченное состоя­ние, не только не опровергает нашу теорию, но даже яв­ляется ее подтверждением.

Не следует, однако, представлять себе дело таким об­разом, что два газа, которые первоначально находились несмешанными в сосуде с абсолютно гладкими индиффе­рентными стенками емкостью 7ю литра, смешиваются, через несколько дней снова разделяются, затем снова смешиваются и т. д. Напротив, согласно тем же принци­пам получается, что после первого смешения снова про­изошло бы сколько-нибудь заметное разделение лишь

спустя время, несравненно много большее, чем Ю¹⁰ ° лет» [111, стр. 522].

Больцман считал, что статистические методы приме­нимы и к изучению электромагнитных волн. Он писал: «Точно так же, как и в теории газов, можно определить для излучения вероятнейшее состояние..., при котором волны не упорядочены, а разнообразнейшим образом вза­имодействуют между собой» [152, стр. 617]. Это мнение разделяет и Планк, когда он пишет, что попытка понять смысл экспериментальных законов излучения «естествен­но привела меня к рассмотрению связи между энтропией и вероятностью, т. е. к больцмановскому ходу мысли» [153, стр. 102].

Влияние идей Больцмана на развитие физики очень велико. В частности, развитие Больцманом статистиче­ских представлений подготовило создание квантовой тео­рии; эти представления являются одним из ее истоков.

Больцман с материалистических позиций выступал против идеалистических воззрений Маха, Оствальда и Шопенгауэра, против идеализма вообще. Он писал: «Имя Беркли принадлежит весьма уважаемому английскому философу, которому даже приписывается изобретение самой большой глупости, измышленной когда-либо че­ловеческим умом,— философского идеализма, отри­цающего существование материального мира» [151, стр. 51].

В своей лекции «По поводу одного тезиса Шопенгау­эра» Больцман пишет: «Я было избрал для своей лекции такое заглавие: „Доказательство, что Шопенгауэр — бес­смысленный, невежественный, размазывающий глупости, набивающий головы пустопорожней болтовней и тем до­водящий их до полного дегенератства силософастр“. Сло­ва эти я буквально заимствовал из Четвертого корня и т. д., только там они относятся к другому философу. Шопенгауэру приводят в извинение, что он был взбешен тем, что его обошли при назначении на какую-то вакан­сию. Но спрашивается, чей гнев более правдивый — его или мой?» [112, стр. 444]. Из этой цитаты ясно видно от­ношение Больцмана к Шопенгауэру.

К. Тимирязев дает высокую оценку Больцману. Он называет его физиком-антиметафизиком, физиком-фило- софом, одним из самых блестящих представителей этой науки.

В. И. Ленин в «Материализме и эмпириокритицизме», подчеркивая борьбу Больцмана против идеализма и ма­хизма, приводит ряд цитат из его произведений [113, стр. 274 и далее].

Ряд физиков и до Больцмана рассматривали тела как состоящие из очень большого числа частиц, которые по­этому могут быть исследованы только статистически.

Уже Д. Бернулли предложил объяснить движением молекул давление, оказываемое газом на стенки сосуда. К аналогичным взглядам пришел и М. В. Ломоносов. Непосредственным предшественником Больцмана был Максвелл, который рассматривал молекулы как упругие тела.

Исходя из этого представления, он построил свою теорию газов, которая примыкает к работам Клаузиуса. В обзорной лекции, прочитанной в 1875 г. в Лондонском химическом обществе, Максвелл говорил, что основная заслуга Клаузиуса состоит в том, что, разработав при­емы для изучения систем, состоящих из бесчисленного множества движущихся молекул, он создал новую об­ласть математической физики. Клаузиус распределял молекулы по группам соответственно их скоростям. Так как невозможно наблюдать события, относящиеся к от­дельным молекулам, Клаузиус учитывал изменения чис­ла молекул в различных группах. В своей лекции Мак­свелл говорил: «Следуя этому методу, единственно воз­можному как с точки зрения экспериментальной, так и математической, мы переходим от строго динамических методов к методам статистики и теории вероятностей. При столкновении двух молекул они переходят из одной группы в другую, но за время большого числа столкнове­ний число молекул, вступающих в каждую группу, в среднем не больше и не меньше числа покинувших ее за тот же промежуток времени. Когда система достшла этого состояния, число молекул в каждой группе должно быть распределено согласно некоторому определенному закону» [149, стр. 148—149]. Этот закон распределения скоростей молекул и вывел Максвелл. При этом он рас­суждал следующим образом.