Оптоэлектроника

Геометрический подход к волноводам

Интерпретацию волноводного распространения света мы начнем с рассмотрения распространения световых пучков. Этот подход позволит нам быстро подойти к интуитивному пониманию концепций, лежащих в основе этого явления. Рассмот­рим слой сердцевины, сформированный из диэлектрического материала толщи­ной с1 и коэффициентом преломления я,, заключенный между двумя очень тол­стыми (в идеальном случае бесконечными) ограничивающими слоями с коэффи­циентом преломления пг Световой пучок внутри среды 1 образует угол в' по отношению к нормали к плоскости, разделяющей слои. Затем этот луч за счет преломления переходит в среду 2 под углом в к нормали (смотрите левую часть рисунка 9.1 а).

Б

Вспоминая основные результаты Декарта—Снелля—Френеля, мы можем сде­лать следующие выводы:

• углы в и в связаны друг с другом соотношением:

(9.1)

• если пх > п2 световая волна в среде 1 полностью отражается, если она падает под критическим углом в'с (полное внутреннее отражение), определяемое соотношением:

(9.2)

(9.3)

Здесь: 01 = л/2 — 9. Заметим, что как общее правило мы сохраняем символ ' для обозначения компоненты, соответствующей углу в; т. е. в' = л/2 — в.

Правая сторона рис. 9.1 а описывает ситуацию, соответствующую полному внут­реннему отражению, когда волна становится распространяющейся при условии, что в > 0'с. В то же время мы не должны полагать, что любая электромагнитная волна, удовлетворяющая последнему условию будет волноводной. В действительности же каждое отражение между границами раздела между двумя различными средами будет приводить к дефазировке волны, что будет приводить к ее деструктивной интерфе­ренции с самой собой, за исключением случая синфазности волны с волнами, возникши­ми в результате предшествующих отражений. Это последнее условие хорошо иллюс­трируется рисунком 9.1 а. Проследим два последовательных отражения от двух гра­ниц раздела в трех точках /0, 1Х и /2. Явно видно, что волна в точке /2 является

Результатом, по крайней мере, двух других волн: волны, которая не испытала отра­жение и которая соответствует смещению 10М, а также другой волны, испытавшей два отражения, прошедшей расстояние /0/, + /,/2 и получившей вследствие двух отра­жений фазовый сдвиг (2ф). Эти две компоненты характеризуются разностью расстояний распространения /,/2 - 1{М= /,/2 - ^Дсов2вх = 2ьтгвх1х12 = 2$п2вх х с1/о, о$&с = = 2Жп01 и фазовым сдвигом 2фг, что приводит к дефазировке величиной 2к(кпвх — 2фг, где А: есть волновой вектор, а 2ттх/А^ есть длина волны электромагнитной волны в вакууме. Фазовые сдвиги из-за многократных отражений будут приводить к деструктивной интерференции, если только они не будут кратны 2лг, в результате чего мы приходим к условию самосогласования локализованной волны:

2с1вт 0, - 2фг = 2тт

Теперь нам остается только подставить это последнее условие в формулу Френеля

(9.3) с тем, чтобы поучить:

7ГПС1	Тп ~Т
(9.5)

Уравнение (9.5) с неизвестной величиной 8Ш0, позволяет определить различные углы вт,, обеспечивающие волноводное распространение волн в волноводе. При этом мы не за­бываем, что фазовый сдвиг фг имеет величину в пределах от 0 до п. Рисунок 9.2 иллюстри­рует графический метод получения допустимых решений этого уравнения. Когда вт#, из­меняется в пределах интервала 0 -> вт#, член в правой стороне периодически проходит через +оо _> о, тогда как член в левой стороне периодически проходит через 0 -> +<» каждые А0/2пхс1. Кроме того рисунок. 9.2 позволяет рассчитать количество Ыт вол­новодных мод, распространение которых возможно в волноводе. Их будет столько, сколько периодов содержится в интервале 0 -> $ш0с или $пвс/(Л0/2пхс1). Таким обра­зом, мы находим:

(9.6)

N т = т

Число разрешенных ТЕ-мод в симметричном волноводе

Здесь 1ги-функция целого числа, а NA есть числовая апертура волновода, определя­емая с использованием соотношения (9.2) в виде:

^ = (л,2 - п22)1/2 (9.7)

Числовая апертура волновода

Рисунок 9.16 показывает, что числовая апертура представляет собой синус вход­ного угла волновода для лучей, падающих из воздушной среды. В том случае, когда числовая апертура больше 1, входной угол составляет л/2. Уравнения (9.6) и (9.7) показывают, что по аналогии с одномерной ямой, которая всегда обладает связан­ным состоянием, симметричный волновод всегда имеет, по крайней мере, одну разрешенную ТЕ-моду. Кроме того, уравнение (9.6) позволяет сформулировать ус­ловие одномодового волновода:

X < 2ЫА (9'8)

Аналогичный ход рассуждений может быть использован для ТМ-мод (с соответствую­щей системой уравнений Френеля) и обобщен на случай несимметричных волноводов. В то же время более предпочтительным нам представляется использование более эффек­тивного подхода, основанного на использовании уравнений Максвелла.

Пример----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Рассмотрим волновод на основе слоя 1пСаА5 (я, = 3,9), заключенного между двумя слоями АЮаАз (п2 = 3,0). Числовая апертура волновода составляет NA =(3,92 — 3,02)|/2 = 2,49. В том случае, когда толщина слоя ЫваАБ составляет 1 мкм, волновод будет иметь пять разрешенных мод на длине волны 0,9 мкм.