22. напряжения и деформации при кручении стержней радиального поперечного сечения. (сопромат)
Лекция № 22. Напряжения и деформации при кручении стержней радиального поперечного сечения
Кручением именуется таковой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня появляется только один силовой фактор — вращающий момент Мz. Вращающий момент по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно продольной оси стержня Oz. Обычные силы, параллельные оси Oz, вклада в вращающий момент не заносят. С силами, лежащими в плоскости поперечного сечения стержня (интенсивности этих сил — касательные напряжения и ) Мz связывает вытекающее из его определения уравнение равновесия статики (рис. 1)
Условимся считать Mz положительным, если со стороны отброшенной части стержня лицезреем его направленным против часовой стрелки (рис. 2). Это правило проиллюстрировано на рис. 1 и в обозначенном соотношении, где вращающий момент Мz принят положительным. Численно вращающий момент равен сумме моментов наружных сил, приложенных к отсеченной части стержня, относительно оси Ог.
Рис.1. Связь вращающего момента с касательными напряжениями
Рис.2. Иллюстрация положительного и отрицательного вращающего момента
Разглядим кручение призматических стержней радиального поперечного сечения. Исследование деформаций упругого стержня с нанесенной на его поверхности ортогональной сетью рисок (рис. 3) позволяет сконструировать последующие предпосылки теории кручения этого стержня:
-
поперечные сечения остаются плоскими (производится догадка Бернулли);
-
расстояния меж поперечными сечениями не меняются, как следует ;
-
контуры поперечных сечений и их радиусы не деформируются. Это значит, что поперечные сечения ведут себя как жесткие радиальные пластинки, поворачивающиеся при деформировании относительно оси стержня Ог. Отсюда следует, что любые деформации в плоскости пластинки равны нулю, в том числе и ;
-
материал стержня подчиняется закону Гука. Беря во внимание, что
, из обобщенного закона Гука в форме получаем 
. Это значит, что в поперечных сечениях, стержня появляются только касательные напряжения , а вследствие закона парности касательных напряжений, равные им напряжения действуют и в сопряженных продольных сечениях. Как следует напряженное состояние стержня — незапятнанный сдвиг.
Рис.3. Иллюстрация кручения: а) начальное и б) деформированное состояния
Выведем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня радиального поперечного сечения. Как видно, поворот правого торцевого сечения относительно недвижного левого на угол (назовем его углом закручивания стержня) вызывает поворот продольных волокон на угол (угол сдвига), так как на величину искажаются углы ортогональной сетки продольных и поперечных рисок модели.
2-мя смежными сечениями вырежем элемент стержня длиной dz и, так как нас заинтересовывают деформации элемента, левое сечение его будем считать недвижным (рис. 5). При повороте правого сечения на угол в согласовании с догадкой о недеформируемости радиусов, правый конец волокна АВ (отстоящий от оси элемента на величину полярного радиуса ) будет передвигаться по дуге BB1, вызывая поворот волокна на угол сдвига
Обратим внимание на то, что в согласовании с рис. 5 и рис. 6, а сдвиг и связанное с ним касательное напряжение перпендикулярны радиусу . Определим , воспользовавшись законом Гука для незапятнанного сдвига
