Вибродвигатели

ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ КОЛЕБАНИЙ И ФОРМИРОВАНИЕ ЗАКОНОВ ДВИЖЕНИЯ 3

Вибропреобразователь — основная часть вибродвигателя и в основном определяет его параметры — рабочую частоту, механическую характеристи­ку, мощность, динамическое качество переходных режимов движения. Общие принципы построения преобразователей, особенно однокомпонентных коле­баний, хорошо известны. Ниже рассматриваются особенности построения вибропреобразователей, предназначенных для разных типов вибродви гателей, отвечающих специфическим требованиям построения схемы привода.

2.1. ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ ОДНОКОМПОНЕНТНЫХ КОЛЕБАНИИ

Преобладающее количество преобразователей вибродвигателей изготав­ливаются из пьезоактивных материалов, чаще из промышленной пьезокера­мики. Пьезокерамические материалы представляют собой твердые растворы, в которых подбором соотношения компонентов и введением модифициру­ющих добавок достигнуты оптимальные свойства материалов. Пьезокерами­ческие материалы дешевы и доступны для широкого практического приме­нения, хорошо обрабатываются и формируются.

Характеристики и свойства промышленных составов пьезокерамических материалов обоснованы в литературе [74 и др.], а также регламентированы стандартом (ГОСТ 13927-68. Типы и марки. Технические требования и ГОСТ 12370-72. Методы испытаний). В последнее время появились высокоэффектив-

ные пьезоматериалы серии ПКД и ПКР. Характеристики пьезокерамики серии ПКД частично отражены в работах [51]. Пьезокерамика серии ПКР, разработанная в Ростовском ордена Трудового Красного Знамени государст­венном университете с учетом специфических требований вибрационных пре­образователей, высокоэффективна и полностью удовлетворяет требованиям для устройств, работающих в статических и динамических (непрерывных и шаговых) режимах. Материалы ПКР-1, ПКР-6, ПКР-8, ПКР-10 представля­ют собой твердые растворы многокомпонентных окисных систем, число компо­нентов которых достигает 6—7.

В случае силового режима, характерного преобразователям вибродвига­телей, наряду с высокими значениями пьезомодуля и коэффициента элек­тромеханической связи, материалы должны иметь широкий диапазон меха­нической добротности (высокая добротность для вибродвигателей непрерыв­ного движения и низкая - для шаговых и старт-стопных режимов) и низкие диэлектрические потери. Указанным требованиям удовлетворяют сегнето - жесткие материалы. Важна динамическая прочность материала, так как при работе вибродвигателя в пьезопреобразователе возникают высокие сложные * механические напряжения, которые могут привести к его разрушению.

Применение сен сортированных вибродвигателей (см. гл. 5) требует вы­соких значений пьезочувствительности gn, которая связана с диэлектриче­ской проницаемостью и пьезомодулем d соотношением

£п = ^/££о (2-І)

и определяет уровень сигнала, снимаемого с электродов преобразователя, при параллельном использовании его в качестве датчика силы, положения и скорости. Для таких кинематических пар наиболее оптимально примене­ние материала ПКР-1, обладающего высокой пьезочувствительностью.

Основные виды вибропреобразователей. Рассмотрим основные виды ви­бропреобразователей однокомпонентных колебаний, применяемых для вибро­двигателей, считая их одномерными. Упрощение облегчает анализ колебаний, хотя и снижает точность расчета частот. В пьезоэлектрических кристаллах при растяжении стержня могут возникать, кроме деформаций поперечного сжатия, деформации сдвига. Такие упругие связи усложняют форму колеба­ний, вызывают появление побочных резонансов, обусловленных видами ко­лебаний, которые пьезоэлектрически не возбуждаются.

Одни и те же параметры колебаний (частота и амплитуда) могут быть до­стигнуты различными типами преобразователей (рис. 2.1), поэтому оконча­тельный выбор зависит от энергетических соотношений, времени переходных процессов (для шаговых двигателей) и определяется предельными пара­метрами генератора и, наконец, конструктивными соображениями. По мере накопления данных исследований, в связи с тенденцией к уменьшению разме­ров устройств, границы отдельных областей (рис. 2.1) расширяются в область более высоких частот.

Простейшим является преобразователь продольных колебаний в виде плас­тинки или стержня, применяемый для вибродвигателя, схема которого при­ведена на рис. 1.4г. Теория и особенности применения его хорошо известны

[50, 78]. Укажем только, что при использовании его в качестве вибропреобра­зователя двигателя большую роль играет форма и оптимальность расположе­ния электродов на поверхности преобразователя. Формой электродов можно достичь возбуждения резонансных колебаний основной или более высокой частоты (рис. 2.2 а, б). Таким образом, путем коммутирования электродов можно создать вибродвигатель с несколькими входами по частоте (с перемен­ными узлами колебаний), что представляет интерес для ус­тройств, работающих в нес­кольких разнотипных режимах (непрерывном, шаговом, старт - стопном).

Подбором формы и площа­ди электродов ослабляются нежелательные колебания. Так, например, сплошные электро­ды на гранях преобразователя (рис. 2.2а) исключают генери­рование четных резонансных колебаний ввиду компенсации зарядов разных знаков в пре­делах площади электрода. Для исключения генерирования ко­лебаний какой-то нечетной ре­зонансной частоты, например третьей (рис. 2.2е), электроды симметрично укорачиваются на 1 /к' • I, где к' — номер ре­зонанса.

Подбором формы и площадей разделенных электродов осуществляется генерирование асимметрических циклов колебаний путем суммирования гармоник кратных частот (рис. 2.2г). Амплитуда колебаний каждой гар­моники подбирается варьированием площади электрода или амплитудой на­пряжения aaU0, подводимого к электродам (рис. 2.2 г)

{/i= Uо cos cof;

U2= a-a U0 cos (2ш + $)’, U3=cc„ U0 cos (2a>t + $ + n),

где a„ и |3 — параметры, определяющие степень асимметрии; о — частота первого резонанса продольных колебаний. Особенность приведенной на рис. 2.2 г схемы в том, что смещением фаз питающего напряжения

иг= a„ U0 cos (2at + fi + тс); U3 = xaU0 cos (2a>t + p)

производится относительное смещение колебаний первой и второй гармоник на 7г, т. е. реверс вибродвигателя (пунктирная кривая §.*:).

где т — масса единицы длины преобразователя; s1 — площадь сечения преобра­зователя; х - геометрический размер (длина преобразователя / или его шири­на Ъ, в зависимости от направления колебаний). Для />Ь имеем классиче­ское выражение (р — плотность материала, т (х) = constр)

(2.5)

Более точные результаты дает расчет резонансных частот с учетом диспер­сии модуля Юнга по теории Похгаммера—Кри

(2.6)

учитывающий модуль Пуассона у. и длину волны X в преобразователе тол­щиной h.

Определим параметры однокомпонентного преобразователя, применяе­мого для одной разновидности вибродвигателей с асимметрическими циклами колебаний, схемы которых приведены на рис. 1.11. Как будет показано в гла­ве 5, с данным типом преобразователя строятся эффективные позициониру­ющие устройства с числом степени подвижности, лежащим в диапазоне от 1 до 5.

Для упрощения определения рабочей частоты распределенную возбуж­дающую силу заменим эквивалентной сосредоточенной силой Рэкв sin u>t, совершающей за цикл работу, равную работе фактически действующей силы, а распределенную массу преобразователя — приведенной точечной массой тпр. Это позволит применить известный метод расчета вынужденных колеба­ний системы, ударяющейся об ограничитель [72]. Тогда в промежутках меж­ду соударениями уравнение перемещения преобразователя можно предста­вить в виде

х + 2Хх х + coq х = аи sin (cof + <р); f = 0, х = —х0, х = х+; t = 2п/ы, х ~ —■ х0, х= — х~, (2.7)

где х~ и х+ — скорости до и после удара; x+=Rx~ R<1 — коэффициент восстановления скорости удара; х0 = Fy, Hlj2Es Fy и-усилие предваритель­ного натяга пружины в зоне контакта (рис. 1.11). В уравнении (2.7) приме­нены обозначения

Х^Иі/2/Инр,

где пг — коэффициент сопротивления; '

wo = fci/»V /сі = 7і2£у/4/; а11=/>экв I тпр> mnp = psljA.

Рэкв зависит от типа преобразователя. Так, для пьезомагнитного преобра­зователя

Рэ кв = 2Bts (2а/ти + а/6 • уі),

где а - постоянная магнитострикции; а — упругие напряжения; Вг — индук­ция; Yi — коэффициент, характеризующий изменение а под влиянием внеш­них напряжений.

Решение уравнения (2.7) известно. Воспользуемся, например [54], и вы­разим параметр скорости удара

Выражения (2.8) и (2.9) дают возможность исследовать поведение работы преобразователя в зависимости от Fy, н, R, <о, а также определить оптималь­ные <о и силу упругого натяга в зоне контакта. При проведении более глубо­кого анализа с целью выявления влияния волновых колебаний должна рас­сматриваться континуальная модель в виде виброударного взаимодействия вязкоупругих стержней [6].

Из других типов однокомпонентных колебаний находят применение коле­бания сдвига и изгиба. Часто применяются биморфные преобразователи из­гибных колебаний [7, 90, 120], склеенные из двух пластинчатых преобразова­телей. Однако в зоне склейки возникают большие механические напряжения, при продолжительной работе разрушающие место склейки. Авторами предло­жен метод формирования биморфных преобразователей путем частичной деполяризации пьезокерамической пластинки по толщине. Частичная депо­ляризация на величину (рис. 2.3а) осуществляется односторонним нагре­вом пьезокерамической пластинки теплоносителем, имеющим температуру

Ti>Tk, где Тк — температура Кюри пьезоактивного материала (для ЦТС-19 7*=290°С; ЦТС-21 -410± 10°С; ЦТС-23-280± 10°С и т. д.). От перепада тем­ператур Тг—Тг (Т2<^Тк, в частности Г2=18-20°С) зависит форма кривой рас­пространения нагрева по толщине пластинки. Когда в точке h — hi достигается температура Кюри для данного материала, нагрев прекращается.

Максимальность амплитуд изгибных колебаний ^изг обеспечивается, когда Ах = 1/2h, т. е. при симметричном биморфе. В этом наиболее часто встре­чающемся случае определение времени деполяризации при Тх >Тк^> Т2 ведется следующим образом; в основной электрод 1 преобразователя подается напря­жение t/j (г)= U1A cos со1иг, где ы1и соответствует основной частоте изгибных резонансных колебаний пластинки в плоскости xz

1 при /> 10/г; си~ 1 — i? при /< 10 А.

С измерительного электрода 2 снимается напряжение

иАі) = иї(їпр) + Щ(Л™), (2.11)

где U{ (?Пр) ~ напряжение, соответствующее продольным колебаниям плас­тинки; U', (Лизг) — напряжение, возбудимое в пьезопреобразователе изгиб - ными колебаниями.

В начале процесса деполяризации ht=Q и (рис. 2.3 б). При уве­

личении ^ UІ уменьшается (вплоть до нуля в случае h=h1), а и’г увеличи­вается до U2тах. Так как U’2miKp U{m! LX (частота резонансных продольных

колебаний tt>inp = -2j - УEjp>wlH3r, т. е. возбуждение продольных колебаний

осуществляется далеко от резонанса), можно принять, что

dU2(t)ldt = 0, когда h1 = hf2. (2.12)

Уравнение (2.12) и определяет момент? деп, когда деполяризация прекра­щается. Возникающая передеполяризация из-за инерционности процесса (в течение fn) зависит от соотношения Т-i и Тк. При TjTkX 1 tn = 0.

В вибродвигателях с косыми соударениями, схема которых представлена на рис. 1.4г, оптимальность конструкции зависит от соотношения 5Изг/?пр в зоне контакта. Обычно оно достигается подбором размеров преобразователя таким образом, чтобы частота продольных колебаний была близка к резонанс­ной частоте одной из более высоких форм изгибных колебаний в плоскос­ти xOz.

При значительном разбросе упругих и пьезоэлектрических свойств одних и тех же материалов одинаковых размеров оптимальность конструкции труд­но достижима. Методом частичной деполяризации можно автоматически обес­печить оптимальность схемы по быстродействию, осуществив деполяризацию на работающем преобразователе до момента

dx/dt = 0, (2.13)

где х — скорость подвижного звена, при этом применяется дискретная де­поляризация по площади (рис. 2.4), согласованная с соответствующей фор­мой применяемых изгибных колебаний. Размеры дискретных деполяризован­ных участков: ширина равна ширине преобразователя Ь; Ъг задается уравне­нием (2.13), а длина /п определяется из условия максимальности напряже­

ний изгиба в местах наибольшей кривизны? Взг(/)

1пх(к+1){, (2-14)

где к — кратность резонанса из уравнения (2.10).

Применение концентраторов колебаний. Для согласования вибропреобра­зователя с нагрузкой в виде подвижного звена с присоединенной системой и повышения его скорости применяются концентраторы продольных и крутиль­ных колебаний. Однако концентратор, будучи системой с высокой добротнос­
тью, не применим для шаговых вибродвигателей, работающих с предельным быстродействием.

Концентратор преобразует колебательную скорость £0 на входе в колеба­тельную скорость Сі на выходе концентратора, т. е. характеризуется коэффи­циентом усиления по скорости

(2.15)

Если Sp (х) — профиль осевого сечения а кв - волновое число, равное от­ношению рабочей частоты колебаний концентратора ы к скорости звука в нем (къ~и>1с), то, как известно, уравнение колебаний концентратора имеет вид

пластинка; 2 — деполяризованные участки Ь х 7ц х hi

Резонансная длина концентратора! р определяется из уравнений (2.16)

(2.18)

С учетом их коэффициент усиления ту равен

»*y = llnp(jp)l - (2-19)

Для концентраторов простейших типов (ступенчатого, экспоненциаль­ного и др.), для которых вид зависимости SS(x) позволяет получить явное решение уравнения (2.16), найдены значения резонансных длин и коэффици­ентов усиления [55].

Приведем расчетные соотношения для наиболее распространенного типа концентратора (применительно к вибродвигателям) — ножевого, обеспечи­вающего достаточно большую площадь контакта с подвижным звеном (рис. 2.5). Площадь поперечного их сечения обычно изменяется по закону

*S* = Si exp ( ocjx), *S'i = ft1 hlt Stp = b2h2;

^=j-lnmy - «,= ]/££. (2.20)

Для часто применяемого квадратного Течения пьезопреобразователя (Ь2=ЬО имеем

my = y, h1/h2-, h2 = h1exp( — <x1x). (2.21)

Резонансная длина для основной формы колебаний

zp=f У1+(^)[1]’ <2-22)

а узел смещения х0

x0 = /p[l-^arctg (-^L)]. (2.23)

Изменение резонансной длины /р при нагрузке легко компенсируется изменением частоты питания вибродвигателя.

Концентратор асимметрических колебаний. Правомерен вопрос — можно ли построить концентратор асимметрических колебаний, формируемых не­сколькими первыми гармониками ряда Фурье соответствующей амплитуды и фазы? Известный в акустике принцип суперпозиции волн, применимый для волн малой амплитуды (т. е. уравнения относительно давления, скорости частиц и т. п. линейны), позволяет ответить на этот вопрос положительно. Концентратор асимметрических колебаний можно построить в виде волновода с переменной площадью сечения. Тогда в узлах колебаний каждой гармоники располагаются дисковые пьезокерамические преобразователи. Теперь задача сводится к синтезу профиля Sq(x) в дифференциальном уравнении (2.16), отвечающего условию равенства или близости в пределах заданной величи­ны резонансных длин каждой из гармоник ряда Фурье, используя выраже­ние (2.18).

Задача возбуждения двух - и трехкомпонентных колебаний (для вибро­двигателей с несколькими степенями подвижности) с управляемым соотно­шением их параметров является основной при построении схем вибродвигате­лей. Введем пять критериев оценки применимости преобразователей для вибродвигателей, позволяющих качественно оценить многочисленные методы возбуждения многокомпонентных колебаний.

I. Возможность раздельного регулирования амплитуд колебаний по каж­дому направлению.

II. Возможность выполнения любого фазового соотношения между компо­нентами.

III. Контакт с подвижным звеном по плоскости или поверхности.

IV. Наличие совмещенных узлов колебаний по всем компонентам.

V. Возможность осуществления силового упругого натяга в зоне контакта.

Выполнение первых двух критериев обеспечивает возможность подбора

оптимальных режимов работы и реверса скорости. Выполнение третьего кри­терия обязательно для мощных вибро­двигателей с высокими требованиями долговечности. Четвертый критерий играет большую роль для шаговых ви­бродвигателей, в которых необходимо исключить перемещения узловых точек преобразователя; с ним связана г проб­лема утечки энергии и колебаний в корпус. Пятый критерий — конструк­тивный, обусловливающий стабиль­ность скорости, когда микро - и макро­геометрия зоны контакта подвижного звена определяет уровень колебаний скорости.

Использование связи разных форм колебаний. В вибродвигателях неболь­шой мощности могут быть применены преобразователи в виде пластинки Ixbxh с накладкой (рис. 2.6), которая имеет, кроме основных продоль­ных и изгибных резонансных частот, множество резонансов из-за наличия и взаимодействия крутильных, продольных, изгибных волн, а также волн сдвига.

При рассмотрении тензора коэффициентов пьезоэлектрической дефор­мации

где Пи П2, П3 — интенсивность поляризации в направлении осей х, у, z; t — однородные и сдвиговые механические напряжения; d — пьезоэлектрический модуль, и коэффициентов податливости

где г — деформация растяжения и сдвига, видно, что в случае, когда элек­трическое поле направлено по оси х или у (первые две строчки коэффициен­тов пьезоэлектрической деформации), в пьезопреобразователе 1 (рис. 2.6) возбуждаются сдвиговые колебания в плоскости пластинки (пьезомодуль dls). Если электрическое поле направлено по оси х, возбуждаются продоль­ные колебания по длине, ширине и толщине (пьезомодули d31 и d33), которые связаны между собой коэффициентами S13 и S33.

Силы взаимодействия между колебаниями оцениваются коэффициентом связи ксв, имеющим при учете взаимодействия между двумя колебаниями вид [58]

^ = (2-26)

где Sit, Skk — коэффициенты податливости изолированных; Sik — коэффициент податливости связанных колебаний.

Первые схемы вибродвигателей с преобразователями, использующими связанные колебания, предложены авторами [16, 131]. Они удовлетворяют III и V критериям применимости и используются для устройств малой мощ­ности, к которым ставятся габаритные ограничения по всем трем координатам.

Преобразователи изгибных и продольных колебаний. Возможность возбуж­дения в монолитной пьезокерамической пластинке или стержне независимых изгибных и продольных колебаний сильно упрощает конструкцию вибродви­гателя, уменьшает габариты. На базе таких преобразователей созданы многие конструкции как автономных вибродвигателей линейного и вращательного движения (линейные вибродвигатели ВИБ-7—ВИБ-9, ВИБ-18, ВИБ-19, вибро­двигатели вращательного движения ВИБ-20-ВИБ-22), так и устройств специального назначения — сканирующие механизмы по одной координате, позиционеры на плоскости и др., показавшие высокую точность и хорошие эксплуатационные характеристики.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся преобразователи, у которых направление поляризации совпадает с направлением электрического поля. Выделим три случая.

Случай I. Вектор электрического поля параллелен плоскости изгибных колебаний (l^b^h).

В этом случае частота изгибных колебаний на порядок меньше основной частоты продольных колебаний и выполнение условия согласования частот

где g" - коэффициент, зависящий от усредненного по толщине пье­зомодуля деполяризованной зо­ны. В то же время

5изг = 5и, г[^,(0]- (2-29)

Таким образом возможно раз­дельное регулирование £изг и £пр.

Смещение фаз продольных и из­гибных колебаний на тс произ­водится переключением U2 (t) на

электроды 3. В небольших пределах фазовые соотношения меняются с изме­нением фазы (рис. 2.7).

При числе частично деполяризованных зон, равном «д, к электродам, определяющим изгибные колебания, прилагается Щ напряжений. Используя единичную функцию Хевисайда Я0, имеем [81]

Щ(у, z, t) = Uf(t)[H0(y~r,)-H0(y-l!)]sieaz - Uі<и, (2.30)

где //, /" — координаты начала и конца г-го электрода. Если пренебречь сдви­говой деформацией и инерцией вращения, нормальный компонент колеба­нии можно найти, используя дифференциальное уравнение изгибных колеба - 2*
ний пьезоэлектрического стержня [58, 78, 81], возмущающая сила в правой части которого учитывает параметры частично деполяризованных зон

д45изг (У, t) 12р5п д*Е, нзг(у, t) _

ду4 h* dt2 —

"Д

= - IF Z (<*«)/ Uf (t) ^ [ЯО (у - //) - я° (у - /;)], (2.31)

i=l

гДе (^31)( "" усредненный по толщине пьезомодуль частично деполяризо­ванной і-й зоны; S,', - усредненная податливость, учитывающая изменение податливости в междуэлектродных областях, под электродами и в деполя­ризованных зонах, определяемая, например, способом, предложенным Гол­ландом [127], — требование совпадения собственных частот пластинки с постоянной податливостью 5П и ^'і (у), зависящей от координаты.

Уравнение (2.31) легко решается методом функции Грина, представлен­ной в виде ряда по собственным функциям ЕИи (у) однородной задачи (т = 1,2, ..., 6 в зависимости от краевых условий, по индексу п производится суммирование). Для случая Uf (t) = (£/f)0cos ш решение для пластинки с накладкой приведено в работе [81].

Случай II. Вектор электрического поля перпендикулярен плоскости из­гибных колебаний (/> h). Условие согласования частот в уравнении (2.27)

выполняется при кпр и кизг> близких друг к другу. Реализованы следую­щие соотношения: 1)для вибродвигателей вращательного движения (одна зона контакта по длине преобразователя) - кпр = 1, казг= 1; кпр = 1, кнзг — 2; 2) для линейных вибродвигателей (две зоны контакта по длине преобразователя) — к =1 k = 9 к = 9 к =1

'мір ^ИЗГ ^пр, vH3r

Дальнейшее увеличение кпр не имеет смысла из-за уменьшения амплитуд смещений £пр.

Из вышеперечисленных соотношений кпр и ктг IV критерию применимости преобразователя отвечает только соотношение кпр= 1 ,кизг = 2. Близко к удо­влетворению IV критерия подходит и вариант кпр- 2, кизг = 1. В главе 5

будет показано, как для этого варианта совмещаются узлы продольных и

изгибных колебаний. Остальные критерии применимости удовлетворяются полностью.

Разные формы колебаний формируются подачей напряжения резонанс­ной частоты на дискретные электроды, т. е. подбором определенного распо­ложения электродов. На рис. 2.8 представлены схемы преобразователей для разных комбинаций кпр и ктТ. Во всех схемах простой штриховкой отмечены электроды для возбуждения продольных колебаний; изменение направления штриховки соответствует сдвигу фазы на тс. Пунктирной штриховкой отме­чены электроды для возбуждения изгибных колебаний, незаштрихованные электроды соответствуют сдвигу фаз изгибных колебаний относительно про­дольных на 7г, т. е. реверсу движения подвижного звена. Двойной штриховкой отмечены электроды для возбуждения связанных колебаний (не удовлетво­ряют I и II критериям применимости).

На рис. 2.8 показаны также геометрическое расположение зон кон­такта и фазовые соотношения форм колебаний (ЕиЗГ — ПРИ реверсе).

Схемы преобразователей, показанных на рис. 2.8 а и б, применяются при ограниченных габаритных размерах по продольной оси преобразователя. Преобразователь, форма электродов которого приведена на рис. 2.8е, обеспе­чивает несколько разных форм колебаний (чисто изгибные, продольные первых двух форм, двухкомпонентные в плоскости преобразователя) в зависимости от последовательности присоединений электродов А, Б, В, Г к генератору. При (^изг)шах < (^пр)шах применяются схемы, показанные на рис. 2.8г и б,

при (£изг)тах~(£пр)тах ~ С*ЄМЬІ д И Є, ПРИ (5изг)тах > (?пр)тах ~ СХЄМН Ж И 3.

Преобразователь, показанный на рис. 2.8 и, применим для устройств, не требующих реверса движения. Широкий частотный диапазон с рядом дис­кретных частот обеспечивает схема, приведенная на рис. 2.8 к. Она использу­йся,-когда частота питания задается одним из параметров движения (ско­ростью или ускорением) и меняется в широких пределах.

Требуемые амплитудные и фазовые соотношения колебаний в схемах (рис. 2.8 а, ж я к) обеспечиваются согласованием частотных и фазовых характерис­тик преобразователей для обоих видов колебаний (рис. 2.9), т. е. как подбо­ром разницы частот До> между резонансными частотами соответствующих

Напряженность электростатического поля выражается через потенциалы узловых точек

г dN*

дх 0

™,|. г=1’4- (2-34)

ду

Подставляя соотношения (2.33) и (2.34) в уравнения пьезоэлектрического эффекта, получаем

{D} = [eF[5]{S}^ + [S1[c']{(phj >

где {сг} - вектор механических напряжений; {D} - вектор электрического смещения; [С*] — тензор жесткости при £э = 0; [е] — тензор пьезоэлектри­ческих констант; [Hs] - тензор диэлектрических констант при є=0.

Окончательно уравнения, описывающие пьезоэлектрический элемент, приведенный на рис. 2.10, можно записать

{^ = [К]е{8}г-[Г]М'р}е {O} = [2q'{8}‘ + [S]*{<p}* + {0}‘,

{F}e — вектор внешних механических сил; h — толщина элемента; {Q}e - заряд узловых точек.

Если к электродам приложено внешнее электрическое напряжение, то электрический потенциал узловых точек элемента известен, если элемент без электродов, то 2=0.

При расчете параметров колебаний к правой части первого уравнения (2.36) добавляются силы инерции и демпфирования.

При решении уравнения (2.36) на ЦВМ (расчеты проведены Г. П. Кульве - тисом) пьезокерамическая пластинка, ось поляризации которой совпадает с осью z, а электроды параллельны плоскости хОу, разбивалась на 20 элементов (рис. 2.11). Определялась зависимость первой собственной частоты изгибных колебаний в плоскости хОу от соотношения Ь/1 (рис. 2.12).

Колебания пластинки рассматривались для двух случаев рисунка дис­кретных электродов, на которые подавалось синусоидальное электрическое напряжение с частотой, равной первой собственной частоте изгибных колеба-

ний в плоскости хОу (рис. 2.12). Первый случай соответствовал рис. 2.8 а (электроды находились на элементах 1, 3, 5, 19). Второй случай соответ­ствовал рис. 2.8 ж (электроды на элементах 2, 4 10; 11, 13, ...,19).

Для каждой узловой точки решение находилось в виде

Xi = x0l sin (ыг + ф*,); = V0i sin М+фуі)

Далее, для каждой точки получались канонические уравнения эллипса при угле поворота координат а

(2.38)

и?=

w}=-

где

cos* а(+В( sin2 а, — Cjsinajcosai ’

1 5і = (^г)2; Ci = 2cos(^i-^i)

a« = l arctg (i^),

Ha рис. 2.13 для каждой узловой точки отложены значения амплитуд U( и W, для двух случаев расположения электродов без учета фаз колебаний. В первом случае (рис. 2.13а) Ды (см. рис. 2.9) составил 6 • 103 1/с при воз­буждении на резонансной частоте изгибных колебаний ыизг=2,69 • 105 1/с (/х Ъ х й—0,053 х 0,015 х 0,002 м), напряженность поля — 5- 104В/м. Во вто­ром случае (рис. 2.136) возбуждение происходило вблизи основного резонанса продольных колебаний, а Дм составил 1,2 • 10s 1/с (относительно II формы изгибных колебаний); остальные параметры были те же.

На рис. 2.14 показаны значения угла а-поворота локальных координат узловых точек в зависимости от их расположения по внешнему контуру преобразователя для двух значений Ь/1.

Случай Ш. Направление поляризации — переменное (й, Ь-41). Основное предназначение — создание преобразователей в виде стержней прямоугольно­го или круглого сечения, совершающих изгибные колебания в плоскости, пер­пендикулярной продольной оси преобра­зователя, а также продольные колеба­ния (три компонента колебаний). Такие вибропреобразователи применяются для построения высокоскоростных вибродви­гателей.

Изгибные колебания в двух плоскос­тях (xOz и хОу) возбуждаются стерж­невым преобразователем прямоугольного сечения (рис. 2.15 а), направление поля­ризации которого по длине преобразова­теля меняется на ± ти/2. В зонах возбуж­дения изгибных колебаний преобразова­теля электроды разделяются по длине на две части, образуя биморф. В зонах возбуждения продольных колебаний элек­троды сплошные. В общем случае возможно возбуждение продольных и из­гибных колебаний в виде

ІХ = Ъох cos {пх Oit - <Pj) ; 1У = у cos (п2 at - <р2); 5z = 5o2cos(«3wr-cp3).

Введем приведенную разность фаз

Фпр = Фз-“ фа, (2-40)

которая не зависит от начала отсчета. Сочетания параметров, представляю­щие наибольший интерес для вибродвигателей, следующие:

а) £о*=0, п2 = п3, ф3-ф2= ±тс/2 - основная схема быстроходных вибро­двигателей, у которых подвижное звено 1 смонтировано на преобразователе 2 с зазором Дгх, ^0у=?0г>Дг1 (рис. 2.15 б);

б) £о*=0, и3/и2 = 1/2, фпР = 0 и фпР = п:/4 (траектории показаны на рис.

2.15 в, г) — применяются для стабилизации движения при отработке траек­торий (см. гл. 5). За время 2ти/ыи3 совершаются два удара, тангенциальные импульсы которых противоположного направления, а угол косого удара регулируется соотношением

в) 5о*=0. и3/и2-1/2, фпр = ти/2 — применяется для линейных вибродви­гателей (рис. 2.15 д, е), в которых < с0у, а за время 2ти/ыя3 совершаются два косых удара, тангенциальные импульсы которых направлены в одну сторону. При фпр=3/271: изменяется знак скорости;

г) 5о*=0. л3/п2 = 1/3, фпр = ти/2, ?0у = ?0г - вибродвигатели вращательного

движения со свободным ротором (рис. 2. 15 б, ж), в которых за 2п1<х>п3 про­

исходит четыре косых удара. При фпр=3/2ти угловая скорость меняет знак на противоположный;

д) ^ох¥=0, п1=п2 = п3 — построение вибродвигателей с несколькими сте­пенями подвижности;

е) £о*=0> а отношение и3/и2 иррационально. Траектория целиком запол­няет прямоугольник со сторонами 2у, 2E0z, а скорость подвижного звена носит почти периодический характер (может быть применен для экспери­ментального исследования динамических систем).

В отношении изгибных колебаний полной симметрией обладает преобразо­ватель с радиальной поляризацией (рис. 2.16а), имеющий широкие функцио­нальные возможности. При его поляризации используется электрод в виде проволоки, ось которой совпадает с продольной осью преобразователя, и сплошной внешний электрод. После поляризации внешний электрод разби­вается на ряд дискретных элементов, рисунок которых зависит от требуемых форм и видов колебаний. Ввиду симметрии преобразователя п2 = п3 [см. выражение (2.39)]. Преобразователи с радиальной поляризацией могут быть эффективно применены в вибродвигателях со свободным ротором (рис. 2.166), в которых обеспечивается большая площадь зоны контакта при ма­лом моменте инерций ротора. Это позволяет достичь высокого быстродействия в шаговых режимах движения.

Интересная особенность данного типа вибропреобразователя — возмож­ность возбуждения колебаний типа бегущих изгибных волн и изгибных ко­лебаний с управляемым положением плоскости колебаний.

Преобразователи крутильных и поступательных колебаний выполняются в виде цилиндрических стержней резонансной длины и используют анизо­тропию упругих, пьезоэлектрических или магнитострикционных свойств. Наиболее известны колебательные системы продольно-крутильных волн, которые при продольном возбуждении позволяют получать крутильную составляющую колебаний за счет определенной неоднородности поперечного сечения стержня. Однако применение их для вибродвигателей ограничено устройствами, не требующими реверса, так как в конкретном преобразователе сдвиг фаз на +7Т между продольными и крутильными колебаниями невозмо-

Ж6Н.

Рассмотрим конструкции вибропреобразователей с неоднородностью се­чения и усилением амплитуд (рис. 2.17), отражающие основную особенность вибродви гателей с преобразователями крутильных колебаний — большую площадь зоны контакта. Как правило, они состоят из пьезокерамического преобразователя 1, волновода-концентратора 2 с искусственно созданной неоднородностью сечения, например, в виде спиральных канавок 3 с шагом менее Хкр/4. Степень преобразования продольных колебаний в крутильные зависит от глубины канавок и их шага. Ввиду сходства между волновыми

уравнениями для продольных и крутильных волноводов резонансные частоты крутильных колебаний можно оценить выражениями, полученными из урав­нения крутильных колебаний стержня переменного сечения

где (лс — модуль сдвига; /р (х) — полярный момент инерции поперечного сечения.

Для случая, показанного на рис. 2.17а и представляющего наибольший интерес для вибродви гателей ввиду максимального коэффициента усиления, для образующей имеем

г — 0 при 0<х^ ;

^■кр ^ ~ Хкр

4 ~2~

D

^внешн ~ const = • (2.42)

При резонансной длине Хкр/2 узел поворота х|ф=0 = А/4, т. е. совпадает с узлом смещений для осевых колебаний. Таким образом, удовлетворяется IV критерий применимости преобразователей.

При построении вибродвигателя с преобразователем, образующая которого меняется согласно выражению (2.42), следует иметь в виду характер нагрузки. Комплексный характер нагрузки обусловливает не только появление бегу­щей волны (активная часть сопротивления нагрузки), но и изменение резо­нансной частоты колебательной системы (реактивная часть сопротивления нагруз­ки). Так как рассмотренный преобразова­тель весьма чувствителен к изменению на­грузки, не следует применять его в случае переменных нагрузок (при непосредствен­ном приводе, когда подвижным звеном слу­жит перемещаемый орган, например, носи­тель информации, лента, проволока и т. п., реологические характеристики которых по длине непостоянны).

Авторами создан вибропреобразователь, отвечающий первым двум критериям При­менимости (рис. 2.18). Он состоит из широ­ко распространенного цилиндрического тон - Рис 2 [8 ВозбуЖде„ие несвязанных

костенного преобразователя с радиальнои продольных и крутильных колеба-

поляризацией, [имеющего электроды для ний в цилиндрическом вибропреоб-

возбуждения продольных колебаний, и груп - разователе

пы электродов для возбуждения продольно-крутильных колебаний. К зонам расположения электродов, возбуждающих продольные колебания, описы­ваемые в цилиндрических координатах г, ер, h выражениями

r = Rsa-, О^Л^Я;

% (*■-!) + -§

1=1, 2,

где п — число электродов, каждый площадью Н х RBH <рэ, прилагается электри­ческое поле Епр = (Епр)0cos ш. Форма электродов для возбуждения крутиль­ных и продольных колебаний, характеризуемых /гэ и (Зкр (рис. 2.18), отвечает условиям

?~±RBn [(2i-l)<p-£]

±RBH [(2/-1)9-^] tg(3Kp; 0 (2,-l)£--^+£L ctg (3Kp< 9 < (2i — 1) ~ +

прилагается электрическое поле £кр, Екр = (Екр)0 cos (ш + у2/, где ф2 задает относительную фазу продольных и крутильных колебаний. Для остальных h и ср Е3 = 0.

При формировании рисунка электродов преобразователя следует соблю­дать условие непересечения электродов

2л/п > <рэ + (Н+Лэ) ctg j3Kp. (2.46)

Обычно рКр близок к 7Г/4. Возможности регулирования фаз и соотношения амплитуд максимальны при равенстве частот основной формы собственных продольных и крутильных колебаний цилиндра.

По конструктивному исполнению к вышеописанному типу преобразова­теля близок вибропреобразователь изгибно-крутильных колебаний, облада­ющий увеличенной площадью контакта с подвижным звеном. Используется первая форма крутильных колебаний и вторая изгибных, т. е. преобразова­тель отвечает требованиям IV критерия применимости. Для построения

преобразователя используется тонкостенный пьезокерамический цилиндр с радиальной поляризацией, а разнотипные независимые колебания возбужда­ются дискретными электродами (рис. 2.19а). Напряженность поля Еязг и форма электродов для возбуждения изгибных колебаний отвечает условиям

0<<р<2тг; r = RBH

Eaar = (E,3r)0cosoit при 0

E'e3r — (EH3r)0cos(tot + iz) при (2.47)

Для возбуждения крутильных колебаний применяется напряженность поля Екр, приложенная в зоне расположения электродов

r = RBH] h'3<h<H-K £,Kp=(£,Kp)0cos(wf + !i»1); ^±J?,„[(2i-l)9-^]tgpKp<A<^±

± RB„ [{2 і - 1) <p - ~ ] tg j3KP; O^h^H. (2.48)

Обязательным условием, выполнение которого удовлетворяет I и II кри­териям применимости, является совпадение частот собственных крутильных и изгибных колебаний преобразователя.

Заметим, что возможен и иной путь возбуждения крутильных колебаний, путем применения частичной локализации энергии. Электроды для такого возбуждения имеют вид, применяемый для биморфа (рис. 2.19 а, показаны пунктирами справа). Выбор того или иного способа возбуждения зависит от соотношения частот собственных колебаний продольных и крутильных колебаний основной формы. При их достаточном удалении друг от друга, когда частота возбуждения to равна резонансной частоте крутильных коле­баний, уровень продольных колебаний невысок, и может быть применена ос­новная схема. При их совпадении или близком расположении по частоте долж­на быть применена схема с частичной локализацией энергии, так как в этом случае продольные колебания не возбуждаются.

Принимаем допущения моментной теории расчета тонких оболочек, заклю­чающихся в том, что нормальные и касательные напряжения являются ос­новными, а изменение толщины преобразователя мало по сравнению с его прогибом £изг в радиальном направлении, т. е.

4изГ (Гг х) = Сизг С^о» х)> (2.49)

где R0 — радиус срединной поверхности. Тогда дифференциальные уравне­ния для определения функций £изг И С, кр имеют вид

^ = «»(*>/ + ф,);

+ 2й?1 + Ь 5изг = Q's sign X • COS Ш,

где Q и Q’2 — объемные’ силы, возникающие вследствие пьезоэффекта;

Q = Qi (Ркр, К. 0’i Q'2~ Q2 (я*» f)’>

U2 _ ® • О Л _ 2р(Лвн — Ro) ї,2 3(1—(х*)

гах - ,

^_2Е(КВИ-Я„)° . 2 g0(RB»-Ro)

^ 3(1-^) ’ у2~ Су

Уравнения (2.50) не связаны и имеют частные решения в виде

(2.51)

?изг(х, t) = £изг (x) COS tot. J

Функции £кр(х) и с, ЯЗГ (х) определяются исходя из граничных условий для конкретного конструктивного варианта крепления, они зависят от объем­ных сил 01 и О',, которые можно найти по методике, изложенной, например, в литературе [27].

Суммирование колебаний. Замкнутые траектории точек преобразователя в зоне контакта можно легко получить применением двух или трех преобра­зователей продольных или изгибных колебаний. Первые конструкции вибро­

двигателей (рис. 2.20 и 2.21), в которых применялись несколько преобразо­вателей с независимым возбуждением, были предназначены для привода гиб­ких лент [7, 85, 87, 90]. Для возбуждения изгибных колебаний, как правило, применялись биморфные преобразователи (рис. 2.21а). Требуемые законы движения в плоскости обеспечивались подбором соотношения частот и фаз питающего напряжения.

Так как эффективная изгибная упругость Сэф биморфного преобразователя, состоящая из двух компонент

Сэф~^8 Сп

где С8 - изгибная упругость биморфной пластинки; Сп - составляющая упругости, обусловленная пьезоэлектрической реакцией, является низкой, то частотный диапазон биморфных преобразователей не превышает 20 тыс. Гц.

Путем введения между пьезокерамическими пластинками толщиной hn (рис. 2.21 б) пассивного слоя толщиной h' из материала с высоким модулем упругости Ei удается повысить эффективную изгибную упругость

(2.53)

где и е — диэлектрическая проницаемость и пьезоэлектрическая постоян­ная. Однако основным преимуществом применения биморфных преобразова­телей является возможность получения больших смещений £изг. При малом импедансе преобразователя можно применять их для привода гибких тел в виде магнитной ленты, проволоки, бумажной ленты. При граничных усло­виях

£изг = 0; -%^ = 0 при z = 0,

где Mn = b(hn + h')e-E3(t) - момент, приложенный в точке z=/, эквива­лентный действию напряжения Еэ (t) с частотой ы (система координат пред­ставлена на рис. 2.21а), имеем [78]

(2.54)

Здесь U (Z) = (cos а + ch а) (cos az — ch а z) + (sin a — sh a) (sinaz—shxz)

описывает форму колебаний. Резонансные частоты

«я = а2//^У'Сэф/Ь(2Р1 hn + h'?2) где а„ — корни уравнения l+cosacha = 0.

Рис. 2.21. Преобразователи, использующие суммирование колебаний: / — гибкое подвиж­ное звено; 2 — преобразователи типа двойного биморфа, совершающие колебания в плос­костях yOz и хС>7 3 — преобразователь продольных колебаний; 4 — виброопора для созда­ния разности коэффициентов трения в обеих плоскостях зоны контакта

В некоторых конструкциях применяется двойной биморф (рис. 2.21а), в котором верхняя часть возбуждает колебания в плоскости yOz, а нижняя — xOz. Из-за малых габаритов преобразователь данного вида представляет большой интерес, но выполнение условия равенства частот собственных ко­лебаний в двух направлениях — задача сложная. Условие равенства частот проще выполняется для преобразователей с несвязанными компонентами колебаний (рис. 2.21в).

Приведем еще две схемы преобразователей, использующих геометрическое суммирование колебаний. В первой из них [9], примененной для привода ротора, каждый преобразователь совершает продольные колебания со сдви­гом фаз на ± 2/Зтс относительно остальных (рис. 2.22а). Это приводит к эллип-

сообразным движениям контактных элементов. Схема весьма технологична, выполняются все критерии применимости преобразователей, кроме И.

Для построения вибро двигателей повышенной мощности разработана схема, приведенная на рис. 2.226, в которой для увеличения амплитуд тан­генциальных колебаний применяется трансформатор колебаний в виде, на­пример, ступенчатого или экспоненциального ножевого концентратора. Важное условие — согласование собственных частот преобразователей.

В варианте расположения преобразователей, показанном на рис. 2.226, согласованию подлежит преобразователь 1 (одна из частот собственных из­гибных колебаний должна быть равной частоте возбуждения). В случае расположения преобразователя 1 по линии А—А (возбуждение изгибных колебаний преобразователя 3 в месте узла смещения продольных колебаний), и частота соответствующей формы изгибных колебаний преобразовате­ля 3 в плоскости хОу должна быть равна частоте возбуждения.

Криволинейные концентраторы и волноводы применяются для преобразо­вания продольных колебаний в продольно-изгибные. Они отличаются просто­той и позволяют получить большие значения тангенциальной составляющей скорости в зоне контакта. За некоторым исключением, они не удовлетворяют первым двум критериям применимости.

Рассмотрим конструкцию вибропреобразователя, выполненного на базе пьезокерамического тонкостенного кольца с аксиальной поляризацией (рис. 2.23а). Задача заключается в возбуждении изгибных резонансных колебаний кольца в его плоскости на частоте

к (к-1) 1/~еГ

“"'ТРТГ <2-56>

соответствующей к-й форме собственных колебаний кольца. Задача решается / разделением электродов кольцевого преобразователя на 2к частей и присо­единением электрического напряжения частотой ы0 к каждой части с чере­дующейся полярностью (т. е. со сдвигом фазы на и). На рис. 2.23 в верхней

части преобразователя показан один электрод (заштрихованный) при к=2. Тогда, как известно, без учета пьезоэффекта[2], смещения и связаны за­висимостью

(2.57)

где ср - угловая координата;

= (£т)о cos к(р sin о>0 /; = (5„)о Sin C0S W0

т. е. существует временной фазовый сдвиг на ± тг/2 колебаний нейтральной поверхности кольца. Зоны контакта (т. е. места расположения контактиру­
ющих элементов) располагаются симметрически вправо и влево от линий, для которых соотношение (£')*/(^)t является оптимальным. Число таких зон равно 2к (рис. 2.23а).

Изменение знака скорости (реверс движения) производится переключением питающего напряжения на электроды, смещенные на ти/2А:. Так как зоны кон­такта при этом не меняются, относительная фаза тангенциальных и нормаль­ных колебаний изменяется на ти, т. е. становится равной + ти/2, где знак фазы до и после реверса определяется местом расположения зон контакта относи­тельно узловых линий. Таким образом, II критерий применимости выполня­ется частично. Путем применения конических контактных зон могут быть вы­полнены и требования V критерия.

Разработано несколько схем вибродвигателей с криволинейным преобразо­вателем, представляющим собой сектор пьезокерамического кольца с акси­альной или радиальной поляризацией [94, 95]. На рис. 2.236 приведена одна из таких схем, в которой крепление секторов производится шарнирно в точке, совпадающей с узлом прогиба и находящейся на узловой плоскости А— А продольных колебаний. Схема не обеспечивает изменение знака скорости (точ­нее, реверс скорости возможен путем возбуждения более высокой резонансной частоты, изменяющей соотношение фаз и Е„, однако из-за снижения (1'п)к и (Qk, перераспределения узлов колебаний и изменения фазовых соотношений скорость подвижного звена и кпд двигателя падает).

Для расчета резонансных частот, форм колебаний и выбора наиболее оп­тимального места закрепления преобразователя — этого весьма распростра­ненного из-за своей простоты и технологичности вибродвигателя, используем результаты расчета, приведенные в работе [28]. Будем считать, что площадь поперечного сечения Q1 по длине преобразователя и радиус кривизны R0 постоянны. Тогда дифференциальные уравнения движения в системе функций

И примут вид

д8 £т, 7,2 к , /о / дг ____________________ 1^ дс, г _ л.

ds* R0 ds Л„Єі I ds> ^ Rl ds ) ’

34, ,1 <П„ Q, (h2 1 , <2i dl

ds‘

где fc^w/c (с — скорость распространения продольных волн); /0 — момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной линии; s — криво­линейная координата. Уравнения (2.58) легко приводятся к системе двух дифференциальных уравнений шестого порядка с постоянными коэффициен­тами, т. е. решение имеет вид

■ Нт = 2 Ctea‘‘ L = 2 С і є*1 *, (2.59)

1=1 1=1

где ссс — корни характеристического уравнения

kQl

И+ТІ) *•+[*! Us"! НЬ’-ТГ'И-ч)-0- <2'«»

Конкретный вид решения системы (2.59) зависит от числа действительных и мнимых корней, т. е. от параметров секторного преобразователя. Положив £узл _ о( £Узл = 0 и задавшись возможной величиной рассогласования

Asy = I & = °) - Jy (L = °) I.

определим положение места шарнирного крепления преобразователя. Экспе­рименты показывают, что Asu = (0,01 -0,05) Если принять, что растя­гивающая сила, изгибающий момент и перерезывающая сила в поперечном сечении при s = 0, I равны 0, то краевые условия будут

£а(тг-ж)-°;

%)-0. (2.61)

Следует иметь в виду, что уравнения (2.58) записаны для случая, когда преобразователь 1 (рис. 2.23) имеет плоскость симметрии, а ширина его зна­чительно меньше R0(b^O,2 R0).

Весьма эффективно применение криволинейных концентраторов, позволя­ющих значительно повысить тангенциальную составляющую скорости в зоне контакта. Первые вибродвига­тели с криволинейными кон­центраторами разработаны ав­торами в 1973 г. [44, 99 и др.].

Схема одного из них приведе­на на рис. 2.24а, где 1 — пре­образователь радиальных ко­лебаний в виде диска из пье­зокерамики с аксиальной по­ляризацией, который с соблю­дением акустического контак­та соединен со сложным вол­новодом 2, имеющим несколь­ко ответвлений в виде кри­волинейных концентраторов.

Большое преимущество дан­ной схемы заключается в рав­номерном распределении ко­лебательной энергии в нес­кольких контактных зонах. На рис. 2.246 и в представлены эпюры распреде­ления продольных и изгибных смещений, отложенных на криволинейной оси симметрии волновода.

Особенность схем преобразователей для более мощных вибродвигателей (рис. 2.25) — необходимость совмещения узла прогиба с узловой плоскостью продольных колебаний — места шарнирного закрепления преобразователя в корпусе (плоскости А— А и А'—А') и выбора фазовых соотношений продоль-

ных и изгибных смещений. Так как в данном случае Q1= (5) и /0=/0 (s),

то дифференциальные уравнения для переменных и усложняются [28]

Для технологически наиболее приемлемого случая, когда профили вибро­преобразователя выполнены в виде окружностей радиусов /?! и R2 (рис. 2.25а), с достаточной для практики точностью можно положить

Обозначения е0 и 8min см. на рис. 2.25.

Применительно к вибродвигателям, в преобразователях которых (изгибающим моментом можно пренебречь), можно упростить расчет форм
колебаний 5Т (я) и л (s), применяя метод [28]; при этом система (2.62) приводится к виду

(2.64)

По утверждению авторов работы [28], при вышеприведенных ограничениях результаты расчета частот точным и приближенным методами мало отлича­ются друг от друга.

Возбуждение бегущей волны и концентраторы колебаний типа бегущих волн. Первый преобразователь изгибных колебаний типа бегущей волны пред­ложен, видимо, в работе [114]. Позднее волновые вибродвигатели предложены и другими авторами [14, 19, 70, 98], и реализован ряд конструкций, в основ­ном с пьезокерамическими преобразователями.

Возможность возбуждения колебаний типа бегущих волн в регулярных системах (например, круглых пластинках, кольцах) основана на том, что смещения (продольные, поперечные, изгибные, сдвиговые и т. п.), соответ­ствующие стоячим волнам, выражаются в виде решения линейного уравне­ния движения

= А (х) cos mcp cos Ш ± А (х) sin m<p sin at,

где А (х) — амплитудная функция; х, ср — соответствующие координаты, т. е.

(2.65)

Это уравнение бегущих волн с угловой скоростью ы/m, а знак определяет направление вращения картины деформации. Таким образом, задача сводит­ся к одновременному возбуждению колебаний той же частоты и формы, но

в разных фазах. Это осуществляется по схемам, приведенным на рис. 2.26, либо разделением электродов преобразователя на п равных частей и присоеди­нением к ним л-фазного генератора электрических колебаний, где л>3, а фазы ф, сдвигаются относительно соседних электродов на 2тс/п (рис. 2.26а), либо применением дискретных преобразователей (рис. 2.26 б, в, г). Если ис­пользовать направление поляризации, возможен случай, когда и=2. Он

представлен на рис. 2.26а, где смещение фаз между выходами 1 и Г, 2 и 2’ составляет ти рад (т. е. изменение полярности напряжения), а между 1 и 2 — тс/2 рад. На рис. 2.26 в, г представлены схемы для возбуждения изгибных и продольных волн в прямолинейных волноводах. Здесь ф;=2/3ти, в этом случае шаг расположения преобразователей должен быть равен Х/3. Также необходимо предусмотреть специальные граничные условия преобразователей, уменьша­ющие отражение волн.

Преобразователи крутильных бегущих волн с распределенными и сосре­доточенными параметрами приведены на рис. 3. 17.

Из других типов преобразователей отметим автоколебательные вибро­возбудители, обеспечивающие при малых емкостях аккумулирующих камер ' высокие частоты колебаний. Ввиду бесконтактности возбуждения они пригод­ны для привода тонких гибких лент без прямого контакта с их поверхностью.

Однокомпонентные автоколе­бательные вибровозбудители исследованы К. М. Рагульски - сом, А. И. Шермукшнисом,

А. В. Галинскасом, 3. Ки - биркштисом и др. Конструк-' ции их просты (А. с. 408666, СССР) и технологичны, для управления ими могут при­меняться элемент ыпневмони - ки.

Построим на базе автоко­лебательных пневматических вибровозбудителей волновой вибро двигатель для привода магнитных лент. Он состоит из ряда камер / (рис. 2.27), сообщающихся с каналом привода, в котором размещено гибкое подвижное звено 2. Камеры подключены к источнику сжатого воздуха, а между ними выполнены син­хронизирующие каналы 3, обеспечивающие смещение фазы давления в каж­дой последующей камере на ±ф, где обычно у = 2/3-. В этом случае верх­ние камеры смещены относительно нижних на Х/6, где X — длина возбуж­даемой волны.

Для частот порядка 20 кГц объем камер не превышает 2,5 • 10-11 м3.

Как и в случае однокомпонентных колебаний можно ввести понятие транс - • форматора (концентратора) колебаний типа бегущих волн. В простейшем случае это цилиндрический волновод изгибных колебаний высотой 2 h с переменной площадью поперечного сечения Qx (х). Возбуждение изгибных • колебаний типа бегущих волн производится в крайнем сечении волновода 1, /І например, пьезоэлектрическим преобразователем 2 (рис. 2.28а). При Q1 (х) = і =const радиус нейтральной поверхности г можно выразить ;

г(х, ф) = ',о + -^- х cos п (ф (of), п = 2, 3 ...,

если г (ф) |x=_A = r0 + s1cosn (ф - Ш), (2.66)

где 9 — угловая координата; — амплитуда нормальных смещений в сечении x=—h, т. е. в сечении х=0; г (х, ер) = 0 - узел смещений, который может быть использован как место закрепления преобразователя.

Обозначив амплитуду нормальных смещений сечения x — h через е2, имеем

— = 1; Єі(*) = const, j, (2.67)

Є1

при этом видно, что

Если (x) ^ const и плавно уменьшается при повышении х, то узел ко­лебаний смещается влево, а

~>1‘> Qi(x)^ const. (2.69)

По аналогии с концентраторами других типов, соотношение s2/si можно назвать коэффициентом усиления концентратора бегущих волн.

Таким же образом можно построить схемы для усиления изгибных колеба­ний типа бегущих волн в линейных преобразователях (рис. 2.28<5), торцевых преобразователях, крутильных колебательных системах, возбуждающих крутильные бегущие волны и т. п. Отметим, что концентраторы колебаний типа бегущих волн решают не только вопрос согласования импедансов преобразователя и нагрузки, но и задачу крепления преобразователя к кор­пусу.