ВИБРАЦИОННЫЕ ПЛОТНОМЕРЫ

Градуировочная характеристика плотномера с круглопластинным резонатором

В отличие от трубчатых резонаторов, контактирующих с контроли­руемой средой внутренней поверхностью трубки, погружные резонато­ры могут взаимодействовать с жидкостью любой из своих поверхностей или обеими одновременно. К числу таких преобразователей относятся пластинные и оболочковые, на базе которых можно изготовлять как погружные, так и проточные преобразователи плотности. В первом случае резонатор погружается непосредственно в емкость с контроли­руемой жидкостью, во втором же — контролируемую среду пропускают через сосуд, окружающий резонатор и являющийся одновременно герметичным корпусом. При рассмотрении пластинного резонатора будем считать, что он представляет собой тонкое цилиндрическое те­ло, высота которого мала по сравнению с радиусом. В этом случае дня определения частоты колебаний будем пользоваться положения­ми теории тонких пластинок, которые применимы для пластин с отно­шением их толщины к наименьшему из других размеров вплоть до 0,1-0,2 при условии малости прогиба по отношению к толщине [50]. Теория изгиба тонких упругих пластин достаточно полно изучена в теории упругости, основные положения которой базируются на сле­дующих гипотезах Кирхгофа—Лява:

совокупность математических точек, лежащих до деформации на прямой, перпендикулярной срединной поверхности пластины, пос­ле деформации остается на прямой, перпендикулярной деформиро­ванной срединной поверхности (гипотеза прямых нормалей);

компоненты напряжений, нормальных к срединной поверхности, малы и ими можно пренебречь.

Влияние упругости на колебания различных конструкций в жид­кости исследовано в большом числе работ [7, 28, 36, 54, 62, 68, 88], большинство из которых основано на предположении о совпадении форм колебаний упругих тел в жидкости и в пустоте. Установлено, что наличие жидкости существенно влияет на движение упругого те­ла, которое, в свою очередь, перераспределяет при колебаниях поле давления на поверхности. В таких случаях всегда необходимо рассмат­ривать совместное колебание системы ’’упругое тело - жидкость” [7, 50]. Кроме того, не внося заметных искажений в получаемые ре­зультаты, можно считать, что при перенесении колеблющегося упру­гого тела из вакуума в жидкость форма его колебаний не меняется, а воздействие жидкости на частоту его колебаний подобно действию некоторой ’’присоединенной массы”, добавляемой к собственной мас­се упругого тела.

Движение, возникающее в вязкой жидкости при колебаниях по­груженного в нее твердого тела, обладает целым рядом характерных особенностей. В случае выполнения условия малости амплитуды ко­лебаний тела по сравнению с его размерами лишь в тонком слое жид­кости вблизи поверхности тела движение является вихревым [31]. В основной же массе жидкости движение потенциально, а колеблю­щееся тело вызывает периодическое сжатие и разрежение окружаю­щей среды, приводящее к возникновению звуковых волн. Таким об­разом, полагая, что при малых колебаниях упругого тела существует потенциал течения Ф, найдем переменную составляющую действующе­го на тело гидростатического давления

р =-рЭФ/Эт. (2.8)

В первом приближении (без учета вязкости среды) для нахожде­ния потенциала течения воспользуемся волновым уравнением [31]

у2Ф-.— ** - О, (2.9)

с2 3 г2

где V 2 — оператор Лапласа; с — скорость звука в жидкости.

Экспериментальные исследования, проведенные, в частности, с ци­линдрическими механическими резонаторами [16], свидетельствуют о том, что такое приближение приводит к относительным погрешнос­тям в определении собственных частот колебаний порядка 10"2 — 10”3, что вполне допустимо при инженерных расчетах.

С учетом этого запишем (2.17) в виде уравнения Гельмгольца в цилиндрической системе координат, обозначив /3 = со/ с [7]:

Э ФГ,0,2 + _1_ ,ЭфгДг + Э ФГ, в,2

Ъг2 г Эг г2 902

Для анализа взаимодействия круглопластинного механического резонатора с жидкостью воспользуемся расчетной схемой, показан

ной на рис. 2.2. Круглая в плане пластина радиусом а и толщиной h0 укреплена в дне цилиндрического резервуара, заполненного жидко­стью до уровня Н и имеющего верхнюю крышку. Резервуар ограничен стенкой, расположенной на расстоянии г0 от оси, проходящей через центр пластины перпендикулярно ее поверхности. Линейный опера­тор в выражении (1.11) для принятой расчетной схемы с учетом внут­реннего затухания по гипотезе Е. С. Сорокина имеет вид [50]:

где D = Ehll [12(1 — v2)] — цилиндрическая жесткость пластины; v — коэффициент Пуассона.

Поскольку мы будем анализировать колебания пластины лишь на ее первой основной частоте, амплитудная функция не зависит от ази­мута 0.

Распределенная нагрузка q в выражении (1.11) содержит следующие слагаемые [68]:

по контуру пластины; гм - коэффициент трения в узлах закрепле­ния резонатора; q ^ ~-р — нагрузка, обусловленная контактным вза­имодействием пластины с жидкостью [см. (2.8)].

Рассмотрим случай возбуждения колебаний резонатора сосредото­ченной силой G, приложенной в точке? = 0 и представляемой как

F(f) = 0 для?.< 0 и?> 6;

F(f) = g для 0 < f < 6,

при условии, что 0-62 G/яд2, когда 6 0.

Для определения распределенной нагрузки действующей на плас­тину, будем решать уравнение (2.12) методом разделения переменных, учитывая при решении, что потенциал течения в нашем случае не зави­сит от азимута 0.

Амплитудную функцию пластины представим в виде произведения

W = AR (г) cos (mO) ei(j^r,

где А — амплитуда колебаний; R (г) — единичная функция прогиба по радиусу пластинь, удовлетворяющая граничным условиям (2.13); m — число узловых диаметров при колебаниях пластины (для основ­ного тока колебаний tn =0). Таким образом,

W = ARi (r)eiUT, (2.15)

где единичная функция прогиба может быть представлена в виде сум­мы бесселевых функций первого рода нулевого порядка [6, 9, 50]:

Д і (?) = 0,9486 [/о (3,1960 + 0,0541 /0 (3,1960]; f = г/а.

В результате решения уравнения (2.12) методом разделения пере­менных с учетом граничных условий (2.10) и (2.11), а также соотно­шения (2.8) получим формулу для определения распределенной на­грузки q, обусловленной контактным взаимодействием резонатора с жидкостью:

(2.16)

в котором

ак — положительные нули уравнения J1 (ак) =0; kr =г0/а икн =Н/а — относительные радиус и высота цилиндрической полости, ограничиваю­щей резонатор (см. рис. 2.2).

Подставив (2.16) в уравнение (2.14), найдем его решение путем ум­ножения левой и правой частей на $R (f), с последующим интегриро­ванием по f в пределах от 0 до 1 и использованием свойства ортого­нальности бесселевых функций [45]. Из этого решения получим выра­жения для частоты и амплитуды автоколебаний круглопластинного резонатора

(2.17)

в которых Аяпр = раКр — ’’присоединенная масса” жидкости, увлекае­мая пластиной в колебания; Кр — относительная толщина ’’присоеди­ненного слоя” жидкости, определяемая формулой

Кр - 10,905 Б

Представим формулу (2.17) в общепринятом виде статической ха­рактеристики вибрационного плотномера:

где /о = (1,626) la)y/D/md - начальная частота колебания резонатора; а0 = аКр/h0p0 — постоянная резонатора.