ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В СТРОИТЕЛЬСТВЕ

ПЕРИОДИЧНОЕ'(ВОЛНООБРАЗНОЕ) ДВИЖЕНИЕ ТЕПЛОТЫ В СТРОИТЕЛЬНЫХ ОГРАЖДЕНИЯХ

1. Некоторые температурные воздействия на строительные огражде­ния носят периодический волнообразный характер; например периоди­ческое отопление, периодическое изменение летней температуры днем в ночью, инсоляция. Поэтому иногда бывает полезно учитывать, как эти колебания воздействуют на ограждения, какие создают в них вну­тренние температуры, скорость поступательного движения этих темпе­ратурных волн и пр.

Посмотрим, как может быть использован для этих целей изложен­ный выше общий метод Фурье ’.

Когда температура (воздуха), воздействующая на плиту (огражде­ние), колеблется, то и внутренние температуры в каждом слое плиты также имеют колебательные изменения. Но всякое такое изменение может учитываться общей формулой следующего типа:

t = U sin (ят,

где t есть температура слоя, U—амплитуда колебаний, и — число последних в 2т: час., г—исходная фаза колебания и т—время, соот­ветствующее температуре t. Действительно, указанная функция есть периодическая, колеблющаяся между пределами --U и —U, причем первое

из этих значений она принимает последовательно при tiz~-r = ~,

~ и т. д., а при т = 0 имеем t — Usin г. Это последнее замеча­ние подтверждает нам указанный выше смысл величины г, которая должна быть выражена в угловых единицах, т. е. через тг; а первое замечание приводит нас к определению продолжительности одного колебания. Действительно, если для известного момента Tj имеем

иг,-|-г —~, для следующего через одну волну ит2 г = Щ-, то, вы­читая, имеем:

я(т2 — Tj) = 2і

где т2 — Tj, т. е. продолжительность периода (одного колебания), равна

J^[66], причем в означает, как сказано, число колебаний в 2- час.

Вышеприведенная функция для температуры любого слоя дает нам эту температуру в функции времени т. Но она в неявной форме зави­сит конечно и от положения слоя, т. е. от абсциссы х. Именно от последней зависят U и г (тогда как п не зависит от х и является для всех слоев одинаковым).

Так как по основному уравнению Фурье

Приравнивая теперь между собою первое и третье выражения с умножением последнего на а, видим, что для удовлетворения этого нового равенства достаточны следующие равенства:

д-U. Jдг- dU dr. dV

дхГ=иЫ) И Za-dx'-6x+a-U'l^rU, U

9

Предположим теперь, что первоначальное распределение фаз коле­бания в слоях плиты имеет простейший характер, а именно изменения этих фаз пропорциональны глубине расположения слоев, т. е. вели­чине х. Тогда производная есть величина постоянная. Обозначив ее через zizm, имеем первое из двух последних уравнений в виде:

Такое уравнение удовлетворяется при условии, что (/= Ae~mxt где А — постоянное интегрирования (это решение легко проверить, проди - ференцировав последнюю функцию два раза по х). В таком случае для решения второго из тех же двух уравнений выводим предварительно:

Если полагать начало координат на той поверхности плиты, с которой начинаются воздействия на плиту колеблющихся температур, то волны последних, очевидно, запаздывают для каждого данного момента в своих фазах по мере углубления в плиту (т. е. в каждый данный момент времени т фаза колебания в более глубоком слое будет мень­шей, чем в более близком к поверхности); поэтому следует для этого дг

случая полагать == — т, и тогда имеем:

'id/і іішіш аю ()а£ i/iy *1 іиі да пщс

U — Ае~тх, г — — тх -{-р.

После всего этого наше основное уравнение принимает вид: t = Ае~тхsin (2«ти2т — /их-}-р).

(sin')

Это уравнение дает нам температуры, возникающие в слоях плиты исключительно от колебательных процессов и отклоняющиеся от за­данной начальной всюду одинаковой температуры. Но так как началь­ные температуры слоев могут быть и неодинаковыми, а во внешних стро­ительных ограждениях при установившемся тепловом процессе они распределяются по уравнению t = С-)- Dx, то для большей общности предыдущее уравнение должно быть заменено следующим:

t — Ае~тх sin (2ат2~ — тх - j - р) - j - C-j - Dx.

Из уравнения видим, что амплитудой колебательного движения температур в слое х будет Ае—тх она, очевидно, тем меньше, чем

более х, т. е. чем глубже в плите лежит слой. На передней поверх­ности плиты (х = 0), принимающей воздействие колебательных темпе­ратур, и для начального момента т = 0 имеется исходная температура t — A sin р. Температуры в 0° получаются на той же поверхности вся­кий раз, когда

2am? z --р = К~,

где К есть любое целое число.

Для какого-либо заданного т температуры в 0° получаются одно­временно во всех тех слоях плиты, для которых

2am2z — тх --р = К".

Взяв один из таких слоев х, с нуле - I ■ вой температурой в момент z (см. точку

Мх на рис. 53) и следующий такой же х2, имеем для них, очевидно:

2 am2z — тхх -|-р — К^

и

2am2z — тх2 --р — (К — 1) я. Вычитая, получим

т (х2 — JTj) = к.

Так как а-2 — хх есть не что иное, как половина длины волны, то полную длину волны колебании имеем:

L--

2л

т

Подставив вместо т его выражение а в это последнее,

вместо и, его выражение где Т—период колебания (в часах),

получим:

L~2IztTa.

Выше мы находили, что продолжительность одного колебания рав - 2.1

няется — час. Теперь, найдя еще и длину волны, мы получаем ско­рость поступательного продвижения колебательного процесса температур в плите в виде:

27! 27! п,

— — — м час.

m п m 1

Но выше мы видели, что m = Vi - таким образом указанная скорость v определяется выражением:

Это последнее выражение представляет для нас большую важность. Дело в том, что скорость распространения колебательных движений в материале строительного ограждения может считаться в известной степени мерилом для теплоустойчивости этого мате­риала ограждения совершенно аналогично тому, как в пределах процессов остывания и нагрева ограждений таковым же мерилом теплоустойчивости (или полезной теплоемкости) последних могла счи­таться скорость их остывания по прекращении притока к ним теплоты.. Из изложенного видим, что при волнообразных воздействиях темпе­ратур на - ограждение теплоустойчивость его материала (обратно пропорциональная скорости - н) определяется величиной:

-/v = /Si -

а при заданных для разных ограждений одних и тех же величинах 2п зависит от физических свойств материала ограждения в форме выра­жения:

Заметим здесь однако, что это относится исключительно к ограждениям однородным (не состоящим из разных слоев), так как это именно пред­положение было исходным во всех наших предшествующих выводах. Характер температурных волн в ограждении иллюстрируется рис. 59.

2. Выведем из предыдущих формул еще некоторые важные вели­чины.

Уравнение (sin') дает нам температуру в любой точке. v среды, находящейся под влиянием периодического теплового потока на ее поверхность. Найдем этот поток в точке х на 1 .«2/чяс по формуле

Фурье: Qx = — Взяв производную от формулы - (sin') и вставив

в последнее выражение, получим после элементарных преобразований

^по тригонометрической формуле sin а -|- sin b — 2 sin е-~~ cos -)'■

Qx = 2hnAe~mxsin cos (2anfc — тх - j - р. (QK)

Это показывает, что поток в любой точке х будет периодически колебаться по косинусоиде с определенным опережением колебаний

ТС

температуры. Амплитуда его колебаний Ак составляет 2hnAe~,nx sin - у,

тогда как амплитуда колебаний температуры At была Ае~тх. Найдем соотношение этих амплитуд:

^ = V ' (.у)

Эта величина была выведена впервые проф. О. Е. Власовым (не­сколько иным путем) и названа „коэфициентом теплоусвоения* массива при периодичном тепловом потоке. Она будет многократно использо­вана в последующих темах этой книги.

Наконец выведем еще одно соотношение в интересах последую­щего изложения. Если массив имеет ограниченную толщину, то воз­никает вопрос о числе волн D, которые в нем будут расположены в каждый момент времени под влиянием установившегося колебатель­ного процесса. Взяв толщину массива в виде еы и разделив на длину волны, выведенную выше, получим:

=-i^Ry.

х, Г X 2л У 2 2г. г2 2г. У2

2 у ■к -

V

где R — термическое сопротивление массива.

Теперь перейдем к рассмотрению способов применения выведенных выше формул.

В строительном деле обычным случаем возникновения в ограждении волнообразных температурных колебаний является таковое же волно­образное воздействие внутренней температуры (при периодическом отоплении) или внешней (день — ночь). Эти колебания предполагаются заданными для последующих расчетов; но для удобства последних эти задания должны быть сделаны в виде числовых значений для коэфи - циентов некоего общего уравнения, выражающего периодичность воз­действующей температуры Т. Такое уравнение проще всего может быть взято в форме:

Т — В sin (in) - j - Е.

Так например, колебания воздействующей температуры воздуха между -[-15 и - j-25° в течение 24 час. могут быть выражены урав­нением:

Г = 5 sin “ • z 20.

24 [67]

Теперь представим себе подобного рода задание для некоего строи­тельного ограждения, положим, той же самой бетонной плиты толщи­ною 0,4 м, на которой ранее демонстрировались нами другие тепловые расчеты. При этом не предполагается какого-либо влияния внешней среды на колебания наружной поверхности1. Для распространения за­данных нам колебаний температуры воздуха на материал плиты имеем, как и ранее, основное уравнение:

ИЛИ

<*-°-гёЬ = т- («>

Тогда левая часть нашего предшествующего уравнения (а) по вне­сении в нее вместо t выражения (sin') при х — 0 даст нам:

- Т ==Л([68] + Т “) 5ІП (2 + Р)' +

-|- А т cos (2 я/и2т -j - р) - j - С— ~ Г). |

Но постоянные величины этого уравнения А ^1 -}- —■ • tttj и А •— • т всегда могут быть представлены в виде:

!

А ^1 - f - ~ ttij — В cos b и А-^-т — В sin А

Тогда но известной тригонометрической формуле sin (я+ 5) = = sin я cos 5-{-cos я sin b получим:

tx-:*—— = в (2 ат'2~ +/»+*) + с — ~ D -

Эго — левая часть уравнения (а); правая его часть по заданию равна /?sin (2 я/н2)т-{-Д. Приравнивая это только что полученному выражению, выводим, что:

С— — D = П и р — —Ь,

а '

а вспомогательный угол b определяется из приведенных выше усло­вий так:

л х

г, - I A —tn

Bsmc __ g______

В cos b ~’ . /. . )> ’

А(1+-т)

откуда

, . Х/я

о = arc tg —j-т—;

ь tx-j-X/И ’

после чего найдем коэфициеит А:

А = — 73 sin ь.

/./и

Этим и заканчивается определение всех коэфициентов разрешае­мого уравнения Т— Ae~mx sin (2я//г2т — тх--р)СDx.

Пусть например нам дано задание упомянутого выше характера, когда 2т

Т = 5 sin-т20, а температуры в плите для начального момента распре­

делены по наклонной прямой ( = C--Dx при —20° по наружной поверхности, точнее на глубине 0,4 м бесконечного массива. Пусть имеем:

а = 20, X = 1,0, а = — = 0,0025.

ср

В. таком случае имеем:

Ь = arc tg = 0,26 = 14°40';

20

А = тру ' 5 sin Ъ = 3,48.

Уравнение температур будет:

t = 3,48с-V* sin (0,083л-: — 7,2л: — 0,26) -C--Dx.

Согласно выведенному выше С—-^-D = £ = 20.

Кроме того при -1=0 и х = 0,4 должно быть t= — 20°, что дает второе уравнение для С и D:

— 20 = 3,48e-2,8S sin (— 3,14) + C-f О • 0,4 = С + 0,4 D.

Определяя нз двух уравнений С и D, имеем:

С =15,5, D— — 89.

* І

Таким образом имеем окончательно:

t — 3,48e-v^ sin (0,083 гл — Т'їх — 0,26) + 15,5 — 89 л-.

Из уравнения видно, что амплитуда температурных колебаний на поверх­ности плиты (т. е. при х = 0) составляет всего 3,48° вместо 5° у воздуха; тем­пература поверхности колеблется между 19,03° и 12,07°, и ее фазы отстают от соответствующих фаз колебаний воздушной температуры на 14°40'. По вели­чине 3,48е~‘^х можем судить о том, как уменьшается амплитуда колебаний с увеличением х.

Ограничиваясь этими замечаниями, обратим внимание на то, что расчет волнообразных колебаний на основе метода Фурье носит вообще более простой, компактный и изящный характер, чем расчет но тому же методу процессов остывания и нагревания *.

В практических расчетах иногда можно применять методы гораздо более простые. Так, для разобранного пише случая—действия волно­образных температурных колебаний воздушной среды на стенку не­ограниченной толщины — будет указан ниже, в конце главы 5, при­меняемый автором очень простой метод.