ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В СТРОИТЕЛЬСТВЕ

ОСТЫВАНИЕ И НАГРЕВАНИЕ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ АВТОРА

Желая получить температуру какой-либо точки остывающего или нагревающегося тела (в среде с иной температурой) в функции от места этой точки на оси абсцисс и времени от начала остывания, обра­тим сначала внимание на то обстоятельство, что необычайная слож­ность метода Фурье происходит из его общей постановки вопроса, а именно — из стремления получить в одном выражении все решение вопроса в самой общей форме, т. е. представить t как функцию сразу от обеих переменных тихи для всего процесса остывания в целом. Между тем в этом последнем явно замечаются две совершенно разно­характерные стадии (рис. 43): первая, начальная, наиболее переменная, пока процесс лишь внедряется в ограждение, захватывая все новые и новые слои (от поверхности к середине) и постепенно замедляясь по мере этого углубления, и вторая, более уравновешенная стадия, когда ограждение участвует в процессе постоянно всей своей массой. В первом периоде темп процесса постоянно видоизменяется двумя меняющимися факторами: все увеличивающимся числом участвующих слоев и все уменьшающейся разностью температур поверхности огра­ждения и окружающей среды; во втором же периоде изменение про­
исходит под влиянием лишь последней из названных причин, а потому спокойнее и медленнее первого *.

Отсюда вполне попятно, что при общей постановке вопроса, когда не учитывается указанное различие, получается весьма сложное реше­ние, что мы и видим в рядах Фурье. Это — очень обычное и понятное явление во всяком математическом решении вопросов, в частности технических: если например возьмем изгиб балки на двух опорах силами, не предполагая их в одной плоскости, и будем решать вопрос в более общей форме, то вместо наших обычных и простых решений в виде моментов сопротивления получим нечто гораздо более сложное. И как в этом последнем примере было бы практически невыгодным каждый раз исходить из общих формул при решении вопросов с силами нашего обычного их расположения, так практически невыгодно пользоваться и методом Фурье для расчета сравнительно простых процессов остыва­ния и нагревания. Это конечно нисколько не умаляет значение назван­ного классического метода, имеющего бесспорные преимущества вели­чайшей общности и применимости в самых различных областях физики и техники в тех сложных случаях, когда другие методы бессильны.

1. Нижеприводимый первый метод упрощенного расчета ставит себе гораздо более ограниченную задачу: найти простые линейные урав­нения для процессов остывания и нагревания в телах той формы, какую обычно имеют все наши строительные ограждения — в форме плиты однородного или слоистого строения. Упрощение достигается тем, что вместо одной функции для всего решения находятся отдель­ные функции для двух указанных стадий процесса и отдельно по каж­дой нз двух переменных х и х.

Процесс будем рассматривать сначала по каждой из двух названных его стадий, начиная с простейшей.

1) Стадия остывания плиты всей ее массой. Разделив плиту на не­сколько слоев толщиною Ах — в данном примере на 4 слоя по 0,05 м,— обозначим переменные температуры наружной поверхности плиты и указанных ее слоев (в их серединах) соответственно через t, tt, t.2 и т. д. Тогда, наблюдая процесс остывания за некоторый бесконечно-малый промежуток времени dx, в который температуры всех слоев снижаются на dt, dtx, dt2 и т. д., можно написать следующее диференциальное уравнение, выражающее равенство теплоотдачи внешней поверхностью плиты в воздух и тепловыделения всех ее слоев:

а ■ t • dx= — с Ах (dtx -(- dt2 - j - dts с//, - f - dt,,).

Из величин, стоящих в скобках, мы легче всего можем определить первую — dtv Действительно, так как проведение теплоты от первого слоя (т. е. его середины) к наружной поверхности равно теплопере­даче этой последней в воздух, то имеем:

-±—itl — t)dx = a-t. lx,

откуда

N='(l + !4r)’

или (обозначив выражение в скобках через s)

*t = s • *;

следовательно

dtl — s с?/,

так как s не зависит от *.

Относительно же величии dt2, dt. A и т. д. можем сделать пока предположение, что они равны <**,— с тем, что впоследствии сможем корректировать возможную здесь неточность. Тогда наше диферси - циальное уравнение принимает следующий вид при N слоях плиты:

а ■ * • dz — — с-Ах ■ Nsdt. (dt,,)

Интегрируем его в пределах: 1 = 1' (где есть момент перехода остывания стены из первой стадии во вторую) и т = т; -равным обра­зом * = *' (где*' есть температура поверхности плиты п указанный пе­реходный момент) и * = *; тогда получим:

a f

. cvA. r-X's ^ (*)

t—te

Это уравнение дает нам температуры поверхности плиты в функции времени. Внутренняя температура для и-го слоя массы будет:

tn = [(2« 1) s (2п - 2) - t.. (tn)

По этой формуле можно всегда определить температуру любого слоя массы в функции от температуры поверхности * независимо от предыдущих слоев, взяв конечно величину s по условиям задания н зная общее число слоев N.

Перейдем к нахождению величин *' и т'. В момент достижения процессом остывания стены середины четвертого слоя в процессе уча­ствуют полностью лишь 3[53]/г слоя плиты. Определим по уравнению (tn) температуру четвертого слоя стены в этот момент, полагая N—342. Тогда получим в числовом примере Шмидта при 5=1,125 и п — 4:

t = jVs — 6 — ~] f = 1,445*'.

Так как по существу момента это должно быть равно Т, то имеем:

1,445*'=20°,

откуда

*' = 13,8°.

Имея температуру поверхности для переходного момента, опре­делим и соответствующее ему время -' из следующих соображений.

1 Вывод этой формулы и вообще более детальное изложение этого метода см. в предыдущем издании этой книги.

8 Зак. 750. Б. Д. Мачиаекий.

Ос/ыгаri/i за Зеє предшествующее время часов, при внешней тепло­отдаче в каждый элемент времени, равной а • / ■ d-z, дало в результате потерю теплоты внутри стены, выражаемую формулой:

4 4 V

как это легко вывести из подсчета соответствующих площадей на рис. 46, г, изображающем распределение температур в рассматриваемый момент. Значки (') при температурах / в последней формуле обозна­чают, что они должны быть вычислены по формуле (/„) для / = /' = 13,8° и с учетом процесса в З'/г слоя вместо 4.

Последнее уравнение н дает нам возможноеп, выразить наше днфе - ренциальное уравнение (dt't) через две переменных и сделать сто раз­решимым. Вставляя в него выражение для п, получим:

t ■ dx ■ а~ — суA. v • s (7 — *)— 0,25^ dt.

Интегрируя это уравнение в пределах т=0, t = t и t=T, t = t, получим:

, = _«^[TJ_(_r + I)+(_J_+0,25)lnTj_ w

Это и есть уравнение остывания плиты в его начальной стадии. Для решения его относительно t полагаем приближенно:

Хп1.-ъ1=± .

/ T+t •

Кроме того для сокращения формулы положим:

-p--v-—- ~ тп; —і—с=н и —Ц--}-0,25=р, а ’ s— 1 я — Iі г

тогда

/ = 71 2Р+т

12(-^' + 2р-п)

Уравнения (т) или (7) дают решение вопроса о движении темпера­туры на поверхности плиты во времени при начале ее остывания в такой же общей форме, в какой уравнение (t) дает его для после­дующей стадии остывания плиты всей ее толщиной.

Заканчивая на этом изложение математической части метода, можем сказать, что для всякого, знающего трудности классического метода этих вычислений, ясно, в чем заключается преимущество предлагаемого: он сокращает время вычислений по крайней мере в 10—20 раз. Эта именно легкость расчетов позволяет нам допустить себе такую роскошь, как применить их в большом числе исключительно для иллю­страции следующего вопроса: как будут выглядеть кривые внутренних температур остывания для стенок из разных материалов с различными характеристиками X, с, у. Рис. 43 достаточно знакомит нас с характе­ром этих кривых для бетона — строительного материала как бы сред­них качеств с точки зрения указанных величин. Возьмем более крайние полюсы: с одной стороны деревянный массив тех же размеров и при тех же заданных условиях остывания, а с другой — железный массив.

Схарактеристик с принятыми выше для

бітбла приведено в нижеследующей табличке:

нами одинаковым по всех случаях. На получающихся кривых для внутренних температур остывания деревянной и железной стенок, причем для пер­вой характерна крайняя медленность углубления процесса остывания

в массу стенки сравнительно с хо­дом падения температуры поверхно­стей и сильная кривизна линий; у второй, наоборот, кривые показы-

го

0)іч. 19,в' 504. 17,0 /0,00 14,7

50,04.4,4

I

Dx

I

т_

Рис. 48.

вают быстрое распространение температуры внутрь, слабое падение ее на поверхности, причем самая форма кривых весьма близка к гори­зонтальным прямым.

Воспроизведение подобных иллюстраций путем вычислений класси­ческим методом потребовало бы большого труда, в силу чего вероятно мы почти и не встречаем их в научно-технической литературе.

Точность метода является однако достаточной для практических целей лишь при материалах ограждений с большими коэфициеитами внутренней теплопроводности, а именно при Х^1,0 (бетон, камень, металлы); для материалов же малой теплопроводности (дерево и т. п.) он недостаточно точен. Это вытекает из основной предпосылки метода — о равенстве снижений температуры At в промежутки времени Az во всех слоях стенки, начиная с середины наружного. Между тем

эти падения температуры неравны, особенно при материалах малой теплопроводности, и лишь при учете этого обстоятельства можно по­строить более точный метод расчета.

2. Приводим ниже разработанный нами новый метод расчета, допу­скающий принципиально неограниченные степени уточнення, хотя и с возрастающей сложностью решений. В то же время он не нуждается в решении вспомогательных трансцендентных уравнений н в помощи графических приемов, как у Фурье.

В основу нашего метода положена идея, проводившаяся нами и в предыдущем техническом методе расчетов. Идея эта состоит в том, что отыскание температуры tn в какой-либо точке стенки, как функции времени т и места х этой точки в толщине стенки, должно быть рас­членено прежде всего на две отдельные проблемы:

1) отыскание температур (/) поверхности стенки (т. е. при х — 0), как функции только времени, и

2) последующие отыскания внутренних температур в стенке в функции от соответствующих температур поверхности и от времени.

В свою очередь каждая из этих проблем должна быть расчленена по двум стадиям остывания (или нагрева) стенки:

Начальная (I) стадия остывания, пока процесс не проник во всю толщину стенки (при переменной толщине остывающей массы).

Последующая (ЇІ) стадия остывания стенки всей своей толщиной.

Эти расчленения математически упрощают задачу и дают более. простые формулы для вычисления.

Для большей наглядности приурочим решение к конкретному при­меру плиты, представленной на рис. 43. Она разделена на произвольное число п слоев равной толщины Ах со следующими обозначениями: с — теплоемкость материала,

TOC o "1-5" h z К — вес 1 .и3, і

).— коэфициент внутренней теплопроводности, а — коэфициент теплоотдачи с поверхности, |

Т°—температура стенки в начале остывания, [

0° — температура окружающего воздуха, tu t.2, t, A и т. д. — темпе­

ратуры в срединах слоев, начиная от наружной поверхности.

Рассматриваем охлаждение левой половины стенки, симметричной с правой половиной.

Основным дпференциальным уравнением остывания является:

at сіх — —с-Ах (dtl - f - At, - f - dt. x - f... H~ dt„) (d)

Чтобы получить из него температуру поверхности стенки t в функции времени т, найдем предварительно выражения для dtv dt2 и т. д. Для этого служат уравнения, выражающие то бесспорное положение, что каждый слой стенки передает в элемент времени dx в сторону наруж­ной поверхности такое количество теплоты, какое получает от сосед­него с обратной стороны, с присоединением к этому собственной теплоты, выделяемой им при снижении его температуры. Эго дает нам ряд следующих уравнений.

1 Правая часть взята со знаком минус (—), так как dt, dt., и т. д. суть величины отрицательные.

13 системе уравнений (Г) и (G), взяв пока лишь два уравнения с двумя членами каждое и исключив из них ср, (/г), получим:

(Я)

откуда по внесении формулы (9 (п)) имеем:

Т

Г2 ' /"

Внося в основное уравнение (t") это значение для /г, а также зна­чение <р' (м) в виде второго из указанных выше его вариантов, получим

для первого периода общее днферснцпалыюе уравнение его в виде:

t = —Р [№■-*У - + 2 ft--s)]f - _ д (6 _ S)S (Ф _ 3S + 2) (2 s2 + 3s — ф — 4)/"...., (/,)

где

SHAPE * MERGEFORMAT

С’С

н q 9-25(5— 1)3 ■

Функция t = f (т), выражаемая этим уравнением, может быть раз­ложена в ряд Тэйлора:

где а есть какое-либо начальное значение независимой переменной - с, для какового эта функция и ее производные известны. В данном случае мы можем найти некоторое начальное /(я) и f (я) (см. ниже), даль­нейшие же производные/"(я), /" (а) и т. д. могут быть найдены из уравнения (/т') и его производных. Но этот последний путь все еще сложен. Дело упростится, если мы примем за начальный момент дости­жение процессом конца первого слоя. Ввиду полной определенности величин п и f(n) для этого момента («=1) можем определять для него і" (а) по / (я) и /' (я) из уравнения (и):

(Л

дальнейшие производные /'"(я), /п(я) и т. д. могут быть взяты про-

сто по пропорциональности с /" и как это показывает диференци - рованме уравнения (/") и видно также из уравнений (0).

Нам остается найти t=f(a) и /'(я) для начального момента •z — a, именно для момента достижения процессом конца первого слоя В Для него мы имеем уравнения (Т) и (tn) в следующем виде:

= (3s — 2) 14- Csf (я) = Т, ? —f (а) — — С' sf (я),

откуда н находим t, т. е./(я), и /'(я).

1 См. первый коэфициеит в формуле (/„) с заменой в нем п на н4- 1. 120

Наконец находим величину ~а — п, соответствующую этому моменту: приравняв теплоотдачу с поверхности стенки за время т = я часов с внутренним ее тепловыделением, имеем:

T--t Длг Г—/

" -,= <1-2---------------------------

(-)

^ 2 а ~1 2 " 2

откуда и найдем Таким образом уравнение (/t) будет готово для применения.

Пример. Пусть дана бетонная стенка толщиной 0,4 м (рис. 43), рассчи­танная проф. Э. Шмидтом в его вышеназванном труде:

и далее путем пропорциональности f" = —3,02, / =2,95.

Величина ха = а по формуле (х) равна 0,15 час.

Таким образом расчетное уравнение для первого периода примет вид:

В нижеследующей табл. 1 приведены показания этого уравнения в сравнении с аналогичными величинами, полученными' проф. Э. Шмид­том по его способу и по методу Фурье при 5 членах его ряда: Дальнейшее уточнение на­ших величин зависит главным Таблица 1

образом - от принятия в учет большего числа производных в основных уравнениях (Г), (0) и (/") (см. ниже), а также в делении стенки на более тонкие слои, т. е. в умень­шении Длг.

Для второго периода ве­личина п постоянна и известна,

а потому общее диференциальное уравнение (/") легко разрешимо с тем или иным приближением.

Так, ограничиваясь членами с /' и /", найдем:

t — — kj' — k^f", (/'„)

где /г, и — вполне определенные числа при данном п.

Если подобно предыдущему найдем некоторое t—/(b) и /'(b) при начальном значении тьс—Ь для этого периода (когда процесс проник по всю толщину стенки), то /"(b) определится из последнего написан­ного уравнения, а дальнейшие производные найдутся путем его дифе - ренцирования. Тогда для второго периода искомая функция может быть представлена в виде ряда Тэйлора:

Для определения t—/(b) и /'(b) возьмем конкретные уравнения (Т), (0) и (tn). При этом, так как первые два уравнения относятся к середине внутреннего слоя, а последнее к его концу, для большей

точности можно взять в первых вместо формулы (tn) величину f

Тогда конкретные виды первых двух уравнений для конца последнего, например четвертого слоя остывающей половины стенки будут:

(8s — 7)t-~C (22s — 4) f - j - С2 (17s —- 7)/" . (8s — 7 )/'--C (22 s — 4) f = 0,

а третье уравнение имеем непосредственно в виде (/,,).

Из трех уравнений можем найти t, /' (b) и /"(b), а затем путем диференцирования уравнения (/[,) найдем и прочие производные. Величину ~Ь — Ь найдем из уравнения (//) при t=/(b).

Продолжим предыдущий численный пример. Ураввения для определения f (Ь),/'(Ь),/"(Ь) будут в этом случае

2/ + 13,44/ + 18,92/" = 20,

2!/' + 13,44/" = О,

/= — 30/' — 78,13/",

откуда t = 14,15°, /' (6) = - 0,77, /" (b) = 0,115.

Далее путем диференцирования третьего уравнения получим:

Г" — — 0,344, /IV 0,0118, /v == — 0.0041, /VI = 0,0014 и т. д.

Наконец по уравнению (ft) подбираем для / = 14,15 величину ть = 2,25 часа. Таким образом расчетное уравнение для второго периода будет:

Приводим здесь табл. 2 для сопо­ставления показаний этого уравнения с данными Э. Шмидта и метода Фурье.

Внутренние температу­рив стейке (в середине каждого ее слоя) определяем по уравне­ниям (/„), найдя предварительно f, /" и т. д. путем диференцирования уравнений (/,) или (/п). Пусть например нам требуется определить внутренние температуры /2 при - с = 1,25 часа и т = 5 час.

Тогда имеем:

о л?

/125 =--3,16 + 3.09(1,25 — 0,15) —(1,25 — 0,15)2 + ... =-1,2;

/; = - 0,77 + 0,115 (5 - 2,25) - (5 - 2,25)* + МИ- (5 - 2,25)3 = -0,54.

После этого по уравнению:

/2 = (3.V — 2) * + Csf находим числа, приведенные в нижеследующей табл. 3:

Количество выделенной теплоты Q может быть рассчитано

по обычной формуле J а • t • d~,

1=0

которая при нашем методе превра­щается в следующую:

т=1) т=т

Q=a J* td---a. J td~,

т = 0 r=!i

причем /*=/(т) должно быть взято соответственно по формулам (/,) и (/п). Интегрирование этих формул крайне просто.

3. Метод, изложенный нами в предыдущем, может быть уточняем, даже к для первого периода, до бесконечности, притом без больших осложнений, а в некоторых отношениях даже с упрощениями.

Главное средство для этого — принятие в учет производных высших порядков в уравнениях (Г) и (("). Но так как этого нельзя сделать в одной общей формуле, подобной (/,), в виду сложности функций (п), <?"(«)...> то решения надо приурочить к отдельным моментам процесса, например достижения конца первого слоя, второго и т. д., для каковых моментов брать конкретные виды уравнений (Т) и (*") с определенными числовыми значениями для п, s, С, С' и следовательно с определенными соотношениями *, f, f" и т. д.

При этом надо заметить предварительно следующее:

а) Число производных, которые следует учитывать в каждой такой системе конкретных уравнений, зависит от числа вполне пройден­ных процессом слоев. Так как соотношение производных, создавшееся к концу какого-либо слоя, зависит от функции, относящейся к пред­шествующему полному числу слоев, то число учитываемых производ­ных должно сообразовываться с числом их в формулах (*„), а не в (("): в последних следовательно для согласования с предыдущими будем брать на одну производную меньше (например для конца второго слоя ограничимся членами с для третьего — с f" и т. д.).

б) Приближенное выражение для величины ta для начальных мо­ментов может быть принято на основании элементарной геометриче­ской интерпретации (рис. 49) в виде:

_ сукх [(« — 1) Т—0,25*~0,75/1—*2 —*з—•••—4i-i] /_

Т«~ a * 7'+ 3* ’ ^а)

4

где її — 1 ecu. число предшествующих слоев (при п— 1 оно равно 0,25). Здесь | есть приближенное выражение средней эквивалент­ной температуры на поверхности при замедленном процессе ^вместо

~ ~j~- при равномерном^. Величина т, г по этой формуле получается

несколько преуменьшенной при толстых слоях стенки, но с утонением

их повышается и уточняется.

После этих подготовительных мер перейдем к расчету состояния процесса для отдельных моментов в сгенке, рассмотренной в преды­дущем параграфе.

/

Конец первого слоя (я = 1, 9„ = 1,375). Для пего имеем по общим уравнениям (7") и (t„) при числовых заданиях нашего примера, как в раньше,

1,375т + 1,406/'= 20,

SHAPE * MERGEFORMAT

откуда 7 = 17,78°, /'=—3,16°. Точно так же /" = —3,09, /'" = —3,02, /IV = 2,95... Величина і] по формуле (т„) при утоненных вдвое слоях (s = = 1,0625) получается равной 0,19 *.

Тогда расчетное уравнение для ближайшего последующего периода времени примет вид:

3,09 (і — 0,19)2 3,02 (і — 0,19)3 , ...

— + ... (Л)

/ = 17,78 — 3,16 (т: — 0,19) -

1-2-3

При т = 0,625 оно дает 7=16,66° [табл. 4].

Конец второго слоя (я = 2, <р (я) = 1,625). Ограничиваясь произ­водной первого порядка (см. п. „а“), имеем уравнения [кроме (/")]:

1,625т + 4,531, /' = 20,

7 =-12,5/',

из которых имеем 7 = 15,87° и /'= — 1,27, а по (/") получим /" =

= 0,453, что означает уже значительное снижение производных, особенно высших. Дальнейшие из них берем по пропорциональности:

/"' = -0,162, /IV= 0,058.

^Время і», соответствующее данному моменту, найдем из формулы (т„) 5; '2 — 0,8, а расчетное уравнение для ближайшего последующего периода будет: * [54]

/=■1.4,87.-.о7(—пН) , 0.453(1-0,8)^ 0,162(1-0,8)3

1-2-3

При і = 1,25 часа имеем 7 = 15,35°.

2,5 (20 — 0.25 - [ 7,78 — 0,75s • 17,78)

18,33

Более правильным было бы воспользоваться для этого уравнением (/і), по оно еще слишком „нервное" в этой стадии, дает при взятых толстых слоях ii большом промежутке времени преувеличенные результаты.

Конец треть е'г о слоя. Здесь надо учитывать производные до вто­рого порядка включительно. Г. связи е этим уравнение (/") может быть за­менено здесь уравнением второго типа из группы (0), что гораздо удобнее для вычисления (без решения квадратных уравнений). Поэтому имеем сле­дующие уравнения:

1,875* + 9,688/ + 9,177/" + 2,198/'" = 20,

1,875/' + 9,688/" + 9,177/'" = 0,

* = — 20,625/' — 29,69/" — 8,79/'".

Из них получим при /'" = 0, *=11,83°, /' = — 0,99, /" = 0,19 и затем но

пропорциональности f'' = — 0,036, /*' = 0,0069.

Вставив полученную величину для /'" в уравнения и вновь решив их, найдем:

* = 14,82°, /'= —1,01, /" = 0,22 и по пропорциональности /"' = — 0,042 и *IV = 0,008.

Величина i3 по уравнению (/,) будет: ,

т:! = 1,70 часа.

Тогда расчетное уравнение для ближайшего последующего периода будет:

* = 14,82 - . ,01 (-. -1.7) + +... </„)

При т = 1,875 часе *=14,64°.

Однако в виду более спокойного темпа функций /= / в данных стадиях и здесь может быть применяемо также уравнение (/).

Конец четвертого слоя. Учитываем три производных. Так как

/ _L. f. ^

ДЛЯ ЭТОГО последнего СЛОЯ выражение *„!_! нереально, то берем — 9 '■ г ■.

Тогда получим уравнения:

2* + 13,-14 /' + 18,945/" + 9,032/'" = 20,

2/' + 13,44/" + 18,945/'" = 0,

2/"= 13,44/'" = 0,

/ = — 30/' — 78,13/" —51,69/'",

откуда

*=14,14°, /' = —0,84, /" = 0,158.

Дальнейшие производные в этом особенно ответственном случае имеем возможность получить более точно, а именно диферешшруя последовательно четвертое уравнение из последней ipynnu.

Тогда получим:

/'" = —0,05, flv — 0,017, /v = —0,006, /VI = 0,002, /VII = —0,0007,

/vm = 0,0002-1. i4 по расчетному уравнению (/;!) равно 2,38 часа.

Так как в дальнейшем уже нет нового включення в процесс слоев стенки (я = const), то последнее взаимоотношение производных сохраняется неиз­менным, н поэтому для всей последующей стадии имеет силу следующее расчетное уравнение:

*= 11,14 -0,84 (і —2,38) + °-'1-5-8 .^-2’3S)S _ ... (/)

При 1 = 5 и 10 час. имеем *=12,34° и 10,12°.

Сведем все полученные выше результаты в сопоставлении с анало­гичными величинами по Шмидту и Фурье в табл. 4.

Мы видим таким образом, что уже во второй стадии уточнения (т. е. без дальней­шего утонения слоев) решения уже почти полностью совпа­дают с величинами Шмидта и Фурье (при пяти членах его серии).

Расчет внутренних темпе­ратур производится легко по формулам (t„), как это было показано в предыдущем, но конечно с большей точностью результатов.

4. Если в практических вычислениях требуется найти температуру поверхности лишь для одного какого-либо момента времени, то надо определить сначала, относится ли этот момент к первому или второму периодам остывания плиты. Если это не ясно a priori, то, разделив стенку на произвольное число слоев, составляем и решаем систему уравнений для конца последнего (срединного) слоя стенки, подобно п. 4. Найдя таким образом t, f', f" и т. д., можем найти по (t„) ве­личины tu t2 и т. д. и тогда по формуле (т0) определить (пока в гру­бом виде) „пограничное" значение ть, которое укажет нам, к какому периоду относится заданное т. Если это окажется второй период, то для него прямо имеем грубо приближенное расчетное уравнение по только что определенным элементам. Для уточнения этой формулы (в отношении величины ть) пришлось бы просчитать все этапы пер­вого периода, как это сделано в предыдущем.

Если заданное т окажется в первом периоде, то для грубого при­ближения можем составить систему уравнений для конца первого слоя (см. п. 1)' и соответствующее расчетное уравнение применять для всего первого периода. Для более точного решения просчитываем все пред­шествующие стадии первого периода (имеющие т меньше заданного), и расчетное уравнение последней предшествующей стадии послужит нам для более точного решения вопроса (с желаемой точностью).

Из двух способов уточнения решений — учет большего числа про­изводных и деление стенки на более тонкие слои — первый дает боль­ший эффект, почему мы и использовали его преимущественно.

Покажем теперь на небольшом примере, как действует отдельно взятый второй способ.

Конец первого слоя нашей стенки будем трактовать как конец второго

5 • 0 0^5

слоя, взяв слои вдвое более тонкими. Тогда s =■ 1 -1--------------------- = 1,0625, вели­

чина С уменьшится в 4 раза, а С' — в 2 раза, т. е. С = 0,3125, С' = 2,5, и уравнения (/„ = Т) и (Ги) для данного момента примут вид (ограничиваясь, как и ранее, производными не выше первой степени):

1,3125/ - J - 1,035/' = 20, t =—5.625/',

откуда t— 17,72°,/' = — 3,15. Величина убудет в данном случае <д — 2п (5 — 1) +

З 152

+ s — 1,3125. Поэтому /" -------------- * - "on— = 4>°-

17 70________________ _—

1,3125

Далее по пропорциональности возьмем: — 5.08, /1У = 6,45-

Величина % попрежнеыу оказывается равной 0,19.

Таким образом расчетное уравнение для ближайших моментов времени будет:

t = 17.72 - 3,15 (т — 0,19) + 4 •

при - с = 0,625 получим /=16,67° вместо прежних 16,66°, причем получается уже полное совпадение с цифрой проф. Э. Шмидта.

Однако, как видим, изменение, получаемое одним этим приемом (утонения слоев), все же невелико. С этим согласуется тот факт, что проф. Шмидт мог достигнуть при споем способе расчета, связанном тоже с делением стенки на слои, весьма большой точности (в сопо­ставлении с результатами метода Фурье) без большого дробления слоев. Это весьма упрощает уточнение решений по нашему методу.

Далее, выше мы все время предполагали начальную температуру стенки Г одинаковой во всей ее массе. Не представится никаких за­труднений, если эта начальная температура задана различной в разных частях стенки, т. е. следующей какому-либо заданному закону началь­ного распределения температур (в направлении оси А'). В таком слу­чае мы можем на основании этого закона определить предварительно начальные температуры в срединах намеченных нами слоев стенки Тх, Т2, Та и т. д. и тогда по расчету изложенным методом брать уравне­ния типа tn—T в виде: t1 — Tl, t2—T2 и т. д.

Чтобы закончить на этом изложение основной темы об однородной стенке, Приводим ниже таблицу коэфициентов при /j, Cf, С2/" и т. д. и С'/', C'f" и т. ц. в формулах (t„) и (tn) при п = 6, 7 и 8.

5. Данный метод как метод физико-математический, исходящий из учета реальных тепловых процессов в слоях стенки, легко применим и к случаю разнородной стенки (чего нельзя сказать о методе Фурье).

Ниже предполагается, как и раньше, что стенка, состоящая из разных слоев, охлаждается или одной только поверхностью (при дру­гой абсолютно изолированной от охлаждения) или же охлаждается обеими поверхностями, но при совершенно симметричном расположен иии слоев относительно этих поверхностей.

Пусть слои, начиная от поверхности, имеют физические характе­ристики и толщины слоев соответственно cv Yj, Aj, затем с2, Д2 и т. д. с термическими сопротивлениями ги г2 и т. д.

Тогда имеем для теплообмена между первым слоем и поверхностью диференциалыюе уравнение:

a’td’z== ohVi —

откуда

h — О + 0,5/іЯ)/ = st (если 1 - J-0,5г, a).

Для теплообмена между вто­рым слоем, первым н поверх­ностью

1

0 0 4

Беря конкретные уравнения для каждого конца слоя по этим фор­мулам, найдем перные из ряда величин tJJ а днференцируя кон­кретное уравнение (tn), получим дальнейшую производную, после чего по пропорциональности и остальные.

Все приведенные выражения значительно упростятся, если разобьем слои стенки на части так, чтобы их термические сопротивления были равны между собою (rt —r2 ~ rs...), что всегда можно сделать если не вполне точно, то приближенно. Тогда получим вместо предыдущих формул следующие:

fj = si (где s = 1 - j - 0,5 га),

*2 = (3s — 2)t--Clsf, где Ci — rc^^,

ta = (5s — 4)f + [Cfis + C2 (3s —2)]/'-+- Cfi2sf"

И Т. Д.

С другой стороны:

t' = — C'sf',

t" = - [<s + c' (3s - 2)] / - C&sf

и т. Д.

Выражения для tn показывают, что и величина о сохранит здесь свое обычное выражение, а следовательно сохранится и способ обра­зования /" по t и /' и все приемы расчета нашей предыдущей главы. К сожалению не представляется удобным дать здесь убедительный при­мер подобного расчета, так как вследствие бессилия в этих вопросах метода Фурье нам не с чем было бы сравнить свои числовые решения; а вне этого примеры не представляют ничего интересного и нового.

6. Тот же физико-математический характер метода облегчает при­менение его, вместо плоской стенки бесконечной площади, к тем геометрическим телам, форма которых обусловливает одинаковость тем­пературы их поверхности при остывании и нагреве; таковы однород­ный цилиндр бесконечной длины и шар. Приведем в кратком виде эти применения.

Если цилиндр с радиусом основания Я разделим на слои толщи­ной Д, параллельные его поверхности, то диференциальные уравнения теплообмена внутри его будут:

»■ л '/г—0,54 , ч/г—1,54 , . /г—о,5д,,.

б 54 1 ' R — Д 2 1 R R

»■ л. .. чЯ—1.5Д, . v R — 2.5Д, д R — 1,5Д /DV

■д (t.2—ti) —ff— dt = - д - (L—Q ^— dt—cf д----------- —Ti------ dt2 и т. д.,(Я)

где дроби, содержащие Я. выражают соответствующие соотношения площадей теплопередачи и тепловыделения. Назовем эти „коэфициенты Кривизны" соответственно через в|, а2 и т. д.

9 Зак. 700. В. Д, ііачішісшій. 129

Второе дает:

г c'!xl где попрежнему С = — — .

Далее находим таким же порядком /3, ti и т. д.

Для плоскої! стенки а, = а2= ... = 1, и все приведенные фор­мулы обращаются и обыкновенные наши формулы (/„).

Диференциальные уравнения тепловыделения в данном случае будут:

TOC o "1-5" h z, суД R — 0,54 , ,, 1

t ch = — • я = — С a, dt.:

а /? 1 (

далее I ^)

/"/Д = — С' (а^ a2dt2) j

и т. д.

Из них имеем:

i' — — C'alSf

/і/ су Д

где попрежнему с

і" = — С’ [(За, —(— а2) <? — 2aJ /' — C'C^sf"

и т. д.

В алгебраическом виде дальнейшие выражения получаются ^очень громоздкими, но при операциях с конкретными числовыми заданиями дело получается гораздо проще.

Пусть дан бетонный цилиндр с R = 0,40 д її с теми же физическими ха­рактеристиками (с, у. >). как и рассмотренная ранее бетонная стенка, и при тех же температурных условиях остывания. Разделив его на слои;,толщиною 0,10 м, составим в конкретном виде основные диференциальные уравнения внутренней теплопроводности (/?); сии будут:

?/=7 (4-0 = 2,5 (г„ - о) - 17.5-J; 2,5 (/а—/,)=1,5 (4-40-12,5 ; 1,5 (4-4) =

= 0.5 (4 — 4) — 7,5

откуда получим:

/, = 1.286Г,

4 = 2,09/+ 9/',

4 = 3,43/+41,42/+ 15/",

4 = 7,45/ + 190,13/' + 681,3/" + 225/'".

Подобным же образом составим и решим диференті альные уравнения (/?') внутренних тепловыделений в слоях:

t' =-11,25/',

/" = — 24,31/'— 56,25/", и т. д.

В момент достижения процессом конца первого слоя имеем уравнения (/„ = 7) и (/'), т. е.

2,09/+9/'= 20,

/ = — 11,25/',

откуда имеем / = 15,53°, /' =» — 1,38°.

Соответствующее время tj определится из уравнения:

Г+3/ . Г—/

«і —+— = 9 ';

в данном случае это будет - сд = 1,18 часа.

Для шара в уравнениях (R) и (/?') изменяются лишь коэфицненты кривизны, которые, очевидно, будут представлять квадраты преды­дущих. В общем решение подобного задания не предсташіяет никаких затруднений.

То же надо сказать о случаях неоднородных (слоистых) цилиндра и шара. Сравнительно с только что изложенным здесь повторится ва­риант, совершенно аналогичный тому, который имел место при пере­ходе от однородной плоской стенки к составной, т. е. мы вводим вместо теплопроводностей термические сопротивления, которые могут быть часто сделаны все равными между собой и т. д. Основные ди - ференциальные уравнения этого остывания будут отличаться от при­мененных для стенки лишь введением коэфициеитов кривизны. Но это настолько усложняет их общие алгебраические выражения, что обычно бывает проще исходить с самого начала из конкретных формул, как это мы сделали в примере с однородным цилиндром.

Вообще конкретизация уравнений, как видим, есть основ­ной прием борьбы с возрастающей сложностью решений в этом ме­тоде. В самом деле, вначале мы видели наиболее общие формы урав­нений (tn) и (tn) и столь же общее окончательное решение (одно уравнение для всей первой стадии), но без достаточной точности. При увеличении последней вначале пришлось прибегнуть к конкрети­зации уравнении (/.„) и (/”), не затрагивая их исходных диференциаль - ных уравнений. В настоящей же трактовке новые более сложные темы потребовали конкретизации не только уравнений (t„) и (tn), но и исходных диференциальных (теплообмена и тепловыделений).

Таким образом математическая сложность заменяется при уточне­ниях просто многодельностыо.

В предыдущих формулах (/„) и (tn) коэфициент а может иметь различные значения в зависимости от рода среды, окружающей тело (воздух, капельная жидкость, пар и т. д.), скоростей ее движения и пр. Как известно, в некоторых случаях величина этого коэфициенте до­стигает 10 000—12 000, т. е. практически близка к со. Если положим ее равной оо, как это делали некоторые исследователи, то увидим,
что s = со, С — О, t (т. е. превышение температуры поверхности над средой) равно нулю, а искомой температурой становится tt. Тогда, взяв соответственно исходные диференциальные уравнения внутреннего теплообмена слоев и их тепловыделения, получим формулы (tn — Т) и (tn) в следующем виде:

t2 = 3 tx - j - Cf',

t'j — - j - bCf 4- C-f",

ti = 7tx - f 14C/' - f 5 Of" - f Of"

и, с другой стороны,

t' = — 0,5 Cf',

t" = — 4Cf — 0,5C2/",

= — 4,5 Cf — 30f"—0,5 Of"

И Т. Д.

В дальнейшем применение этих формул не представляет никаких затруднений.

Изложенное распространение нашего метода на важнейшие в тех­нике случаи без особых усложнений, даже для решения тех вопросов, в которых бессилен метод Фурье, еще более доказывает, что этот последний метод не является ни единственно возможным, ни лучшим.

Для иллюстрации практического применения изложенного выше ме­тода приведем один реальный пример расчета.

В разгрузочный сарай (ГЭС) для угли, имеющий температуру внутреннего воздуха - р 5°, подаются вагоны с углем зимой при температуре —10°. Тре­буется подсчитать теплопоглощение поверхностью угля за і = 0,5 часа.

Примем: с = 0,31; у = 850; л = 0,7; Дх = 0,04. Имеем Г = 5 — (— 10) = 15°; примем по таблицам коэфициент а = 9,3.

Находим вспомогательные величины метода:

, , 9,3-0,04 10СК. с{Лх 0,31-850.0,04 , ,,

5 + 2^0/7 = ’ ’ С ==-^-= 9Д = * 4:

с=£^ = од

к

Для момента достижения процессом согревания конца первого слоя угля х — а час) имеем уравнения:

(Зі' — 2) t 4- Csf' = Т

н

t= — C'sf',

где t = f(a), f =f' (п). Таким образом, решая уравнения, находим:

/=/(«) = 11,8°, /' = /' (я) = — 8,15°.

Далее находим соответствующую величину времени ха из уравнения!

Их Т— t

2 2

TOC o "1-5" h z f" (а) = flSSL-. = 19; /"' (я) = = _ 44,4.

f 3s — 2

Тогда количество теплоты, поглощенное 1 л<2 поверхности угля за 0,5 часа, выразится. формулой:

т=0,5 0,5 0,5

<7 = о j* tdi = a ^f{a) J rft +/7 (<?) J (•: — '«)* +

т^О О О

0,5

_J_ —J (т — т0)2 rfx + ... J = 9,3 - 5,35 РК 50 ккал.

7. Выше показано, что изложенный метод применим не только к плос­кой стенке, но и к бесконечному цилиндру и шару. Покажем, что он принципиально применим к однородным телам всякой формы, а практи­чески к ряду таких тел, как квадрат­ный или прямоугольный брус беско­нечной длины, также треугольный и других сечений.

Если возьмем тело произвольной формы и выделим в нем от его гео­метрического центра элементарный ко­нус (рис. 50), чтобы проследить после­довательные сечения элементарного же теплового потока к соответствующей точке поверхности тела, как это мы делали при цилиндре бесконечной длины или шаре, то неправильность

этого приема будет состоять в том, что подобные конусы потоков будут обмениваться теплотой между собою в силу разницы температур в них (происходящей от разных термических сопротивлений их путей от центра до поверхности). Чтобы избежать этой неправильности, надо образую­щие элементарных конусов проводить нормально к изотермам осты­вающего тела. Тогда не будет указанного теплообмена, и каждый такой элементарный конус будет правильно отображать сечения эле­ментарного потока. Тогда диференциальные уравнения (У?) напишутся в следуюшем виде:

■ lL) у dx — су Ay - dti и т. д., (/?')

где площади /р соответствующие взятому наружному элементу /,

принципиально могут быть определены графически, если известны изотермы тела.

Эти изотермы при охлаждении и нагреве всегда одинаковы по форме и параллельны с теми, какие имеют место и при стационарном тепло - потоке в данном теле от внутреннего источника теплоты.

Для некоторых простых форм тел их нетрудно определись. Пусть дан например брус б'-сконечной длины с прямоугольным сечением 2а X 2b (рис. 51) с температурой Тэ в центре при стационарном те­пловом потоке к наружной среде с температурой Тп■ Взяв на его поперечном сечении любую точку с полярными координатами о и г, составим для нее уравнение теплового баланса (теплоприток от цен­тральной оси равен сумме теплопотерь через две боковые грани):

которое сводится к обыкновен­ному квадратному уравнению относительно г.

Вычертив изотермы и проведя из центра две линии перпендику­лярно к изотермам (рис. 51), получим контуры элементарного теплопотока, причем размер его, перпендикулярный к чертежу, одинаков для всей его площади. Разделив сечение на слои равной толщины Д и проведя средние линии этих слоев, получим из их соотношений коэфицненты /р /о, fs и т. д. уравнения (R') и далее поступаем по предыдущему с той лишь разницей, что ре­шение будет относиться не ко всему сечению и поверхности тела, а лишь к взятой части его и соответствующей точке поверх­ности.

Ограничиваясь здесь приве­денными краткими данными, от­метим, что те же вопросы об охлаждении тел разных форм ре­шены американцами Вилльямсоном и Адамсом чисто математическим способом—-интуитивным подбором частных интегралов общего урав­нения Фурье, которые затем приспособлялись к пограничным условиям
каждой задачи. Так, для случая прямоугольного параллелепипеда с размерами 2а, 2b и 2с, нагреваемого от 0° путем воздействия на поверхность температуры в функции от времени 0=Лт, они берут функцию:

6 = hi - j - (tn, п, р) sin

а та же функция, приспособленная к пограничным условиям, имеет следующий вид:

где k есть наш коэфициеит температуропроводности а = ~уъ т, п и

су

р — порядковые целые числа. !

Здесь нет возможности излагать более подробно эти интересные решения, хотя они и пользуются мировой известностью. Однако и они приложимы лишь к однородным телам. Возвратимся к нашей основной теме — методу расчета охлаждения и нагрева тел простей­ших форм, но включая и многослойные.

В области чисто строительной метод может иметь такие приме­нения, как расчет охлаждения бетона, сделанного при отрицательной наружной температуре в деревянных формах или расчет теплопогло - щения строительных материалов, вносимых в тепляк с мороза, расчет температурного отставания (гистерезиса) разных частей строительных конструкций при быстрых изменениях темпе-

ратуры окружающего воздуха для суждения о возможности образования при этом конден­сата на них, грибка и т. п.

8. Мы рассмотрели в предыдущем наиболее обычный случай охлаждения стенок. Особо стоит процесс их тылового охлаждения.

температур падение последних начинается не

со стороны теплопотерь, а с противоположной стброны. Пример — стена отапливаемого здания, остывающая после стационарного со­стояния своих температур в виде наклонной прямой СА при прекра­щении притока к ней теплоты от отопительной системы (рис. 52).

Этому вопросу уже давно уделяется большое внимание в техниче­ской литературе. Во Франции много работали над этим инж. A. Nessi
и L. Nisolle [55], в Германии О. Kuscher в, а в позднейшее время Е. Clauss в Gesundh. Ing., Heft 5, 1935 8.

Сложность и неудобства предлагавшихся ранее аналитических мето­дов привели последнего автора к попытке построения этих расчетов с помошыо полуграфических приемов и номограмм, а для составных стенок даже с помощью экспериментов. Нам кажется, что применение к этому вопросу нашего общего метода расчетов остывания и нагрева как он изложен выше, дает здесь наиболее простое аналитическое решение, имеющее кроме того неограниченные возможности уточнения и применимое также к стенкам из разнородных слоев. Выведем необ­ходимые формулы для этого способа расчета в отношении поставлен­ной темы.

Представим себе сначала однородную стенку, которая после стацио­нарного температурного режима принимает последовательно распределе­ние температур по кривым типа СВ (рис. 52). Пусть с, у, X означают соответственно теплоемкость, объемный вес (1 м®) и коэфициент теплопроводности материала стенки. Разделим мысленно стенку на п слоев равной толщины Д я с первоначальными температурами в середине этих слоев Tv Т.2, Т3 и т. д. [56] В процессе остывания стенки будем различать два периода: первый, когда снижение температур распространяется от внутренней поверхности стенки до наружной при неизменной температуре t на последней, и второй, когда н процесс остывания вовлечена вся масса стенки и изменяются температуры ее обеих поверхностей и между ними.

Остановившись сначала на первом периоде, можем написать для него следующие диференциальные уравнения для внутренней теплопе­редачи между слоями в элемент времени dx при обозначениях рисунка:

От — 0>) dx = — су Д dtv (Д> — h) dx= — суД (Л, 4- dQ и т. д., откуда получим сначала:

4 cf, (Q

если обозначим:.

К

ft__

' dt

Для последзлощего найдем еще путем дифере-нцирования этого уравнении:

TOC o "1-5" h z -$=/' + с/'. j

Далее: 1

С(1 + $)=^+ С/'+ С(/'+/+ <ЗГ)=*»+ 3ФЧ-Of. (ts)

Таким же образом получим:

/4 = t, + ecf+5су -|- су", (О

t, = tx - f 10Cf - f 15Of"-j - 7 Of" + С/Іт (*6)

и т. д.

Вообще же

*» = *,+ Cf 4- ?, 00СУ + %(и)CS/'" + (У

где CSj, ®2, . •. суть некоторые функции от числа слоев п.

В этом днференциальном уравнении высших порядков нас будет интересовать в дальнейшем взаимоотношение отдельных производных /', у" и т. д., особенно для первой стадии остывания, в которой в силу переменности числа слоев, участвующих в процессе, это взаимоотно­шение производных постоянно изменяется. Приближенное определение этого взаимоотношения на каждом этапе процесса, как и решение самых уравнений, облегчается тем обстоятельством, что при остывании (как и нагреве) производные температуры любой точки по времени неограниченно убывают с повышением их степени. Очень важно, если к этому присоединяется и убывание коэфициентов при них. Пусть процесс охватил полностью (л—1) слоев стенки, но температура в сре­дине н-го слоя остается еще незатронутой, т. е. равна начальной Тп. Тогда, подставив эту величину в левую часть уравнения (tn) и взяв в правой только три первых члена, найдем из полученного уравнения величину второй производной /" в зависимости от f и /,

T-h-^^cr

Г - счГЙ------------------------------

где Oj (л) может быть взято из конкретных уравнений (/2), (<у) и т. д.

Диференцируя это уравнение, можем получать последовательно производные высших порядков.

Кроме полученного ряда уравнений — можем написать еще второй, выражающий равенство между внешней теплоотдачей стенки и тепло­выделением участвующих в процессе слоев. Так, при достижении про­цессом конца первого слоя имеем:

tad - — — Cf Д dtv

где а—коэфициент теплоотдачи с поверхности стенки. Обозначив через С' выражение, получим:

/' + ^ = °-

Подобным же образом найдем для конца второго слоя: tad~ — — с-A (dt1 --dto), dt.,

откуда, вставив значение из предыдущего анализа, получим:

2/' -1-СГ-І-с' =°-

Для трех слоев:

3/ -f 4 Cf" - f Of" - f = 0.

Для четырех слоев:

4/ 4- 10 Cf" + 6 Of" 4- C3/Iv - f = 0.

Вообще же

я/ +/i («) с/' +ЛС[57]/" +... + {, = 0.

Имея две выведенные выше группы уравнений, мы можем для каж­дого из отмеченных ныше моментоп процесса в его первом периоде иметь систему уравнений для определения неизвестных tvf',f" и т. д. Так, для момента достижения процессом конца первого слоя, когда температура второго еще остается начальной, имеем следующие два уравнения:

II

Ґ 4--gr = o,

откуда и найдем tx и /'. Взяв слой достаточно тонким, можем при­равнять температуру /j первого слоя температуре внутренней поверх­ности стены [58] и таким образом определять последнюю для упомянутого момента остывания.

Для последующих слоев, кроме уравнений типа tn— Тп, могут быть взяты и их производные. Так, для момента остывания, достигшего конца второго слоя стенки, имеем:

t-л — 4 + %Cf -)- Of" = Тв

и его производное по f включительно:

/' + ЗС/" = 0;

наконец из второй группы уравнений берем:

2/' + С/' + -^.=0.

Этих уравнений достаточно для определения £,, f и Одновре­менная температура в средине второго слоя определится, очевидно, по формуле:

^2 = Qf't

и таким образом имеем возможность определять для данного момента температуры во всех затронутых процессом слоях. Так же поступаем и с расчетом дальнейших стадий остывания.

Время т, соответствующее отмеченным выше этапам процесса, опре­деляется следующим образом. Для первого этапа после определения соответствующей температуры t1 имеем следующее равенство между внешней теплоотдачей стенки и уменьшением теплосодержания первого слоя:

т, - а - *== суД(Г,— /,), откуда и найдем тг Таким же образом для второго этапа имеем: т2- а • ^ = суД(7, — Г2 — /2),

откуда определим т2 и т. д.

Таким образом основные неизвестные всей проблемы tv tn и т„ могут быть легко определены для отмеченных выше „точечных" пунк­тов места и времени. Для промежуточных моментов расчет темпера­туры tx в функции от времени т можно вести на основании ряда Тейлора:

ti~ti~~Ґ—”n)Л-F^ ■+■•••>

где и представляют величины, определенные для пред­

шествующего точечного пункта места и времени. Недостающие произ­водные f", /Iv и г. д. для желаемой степени точности решения могут быть определены из уравнения (/") и его производных.

В предыдущем мы брали однородную стенку и делили ее на равные слои. То и другое ограничения могут быть устранены, если введем в оба ряда диференциальных уравнений вместо коэфициентов X терми­ческие сопротивления rv rs, ... отдельных слоев, предполагая их для большей общности неравными между собой. Тогда, придав величинам с, у, Д значки соответствующих слоев, получим первый ряд диферен­циальных уравнений в следующем виде:

' гх Ц. /-г (^i £о) dz — dtlt

' 2~

—4— (t, — ts) dz = — (с, Y A dtx - f с2у2Д2 dt2),

Г2~Г 'в

откуда получим последовательно:

*2 = *1 + CxlAf' = 'l + r'CJ

если

г гч

' ~ 2

и

Су = c]Ti^i>

<а = /, + К Су + /' (С, + С,)]/' + rV'C. CJ",

ЄСЛЙ

. " -4— , гя

11

Co. =J С2Ї-2^2’ <! = <! + ['•'С, + (Cj + с2) + г"' (С, + С2 + Q] f +

+ [rV'qCs + r'r"'CyC2 + r'r'"CyC% -(- r"r"'C3 (Су + Q)] f - f + rVV','CIC! C3jT

И Т. Д.

Другая группа уравнении примет следующий вид: для одного елся:

С, f~~ta = О,

для двух слоев:

(С, + С2)/' + r'CyC2f - f ta = О,

для трех слоев:

(Су 4- а+с,)/' + (г'СуСо+г'Су с. л-~г"СуСй 4- /'ед/'+

= r'r"CyC2C3f" + ta = 0

и т. д.

В алгебраической форме дальнейшие уравнения как первой, так и второй групп получаются довольно громоздкими, но на конкретных числовых примерах они очень просты, в силу чего в этих случаях [59] следует с самого начала конкретизировать в числовой форме даже исходные лиференциальные уравнения.

Для расчета процесса во второй его стадии (остывания стенки всей ее массой) определим сначала искомые величины:

4=Ж), /'(*„). ГЫ » t„

для последнего этапа первой стадии, когда процесс доходит до конца /г-го слоя стенки при той же неизменной наружной температуре t. Найденные взаимоотношения производных/' (тп), /" (т„), ... сохраняются затем для всей второй стадии, поскольку в состав остывающей массы не внодятся новые слои, и процесс приобретает специфически уравно­
вешенный характер *. В таком случае дальнейшие изменения темпера­туры tx могут быть определены из уравнения:

h = /fa) +/('«)(т —т») +/"frJ (-7т-^ + • •

а для определения изменений температуры t располагаем формулой первой группы для (п, так как, очевидно, мы и здесь должны отожде­ствлять температуру середины последнего слоя с температурой наруж­ной поверхности. Это отождествление облегчается (помимо возможного утонения слоев) тем обстоятельством, что близ наружной поверхности и на ней самой температурная кривая неограниченно приближается к горизонтальной прямой (перпендикуляру к поверхности) в силу той же причини, как и раньше около внутренней поверхности, т. е.: в силу приближения теплового потока к нулю[60]. Таким образом для; любого момента времени т можем определить сначала температуру tv затем и t.

Приведем численный пример. Упомянутый выше Е. Ciauss дает сле­дующий расчет по своим графикам и номограммам.

Кирпичная стена в 0,38 м (с • у = 312,5, Х = 0,75) имеет при стационарном режиме зимнего отопления для наружной температуры—10° и внутренней -*-20° (прн аа = 20 и ав == 7,0) температуру на внутренней поверхности + 13,9° и наружной — 7,85°. После мгновенного прекращения теплопрнтока эта стена охлаждается по его расчету до температуры + 10° на внутренней поверхно­сти за 1,55 часа.

Произведем расчет по нашему методу. Разделим стену иа равные слон толщиной

Д = 0,03 ж;

тогда

312,5 • 0,03s

ОД5 0,375

- 312,5.0,03 =0>т

20

Возьмем момент достижения процессом конца третьего слоя. Для этого мо­мента мы имеем уравнения:

= 7, + 6 Cf + 5 С2/" + С[61]/"' = Ті

и

3Г + 4 Cf" + C-f" + = 0;

кроме того можем днференцировать первое уравнение. Если ограничимся учетом производных до второй включительно, тем более, что коэфициенты прн дальнейших весьма малы, то достаточно получить диференцированием еще одно уравнение. Одновременно подставим численные значения величин:

'„36 = 2.15°.

Ті =. (13,9+ 10) — = 17,89°;

Тогда упомянутые три уравнения принимают следующий вид:

/, + 2,25/' + 0,703/" = 17,89,

3/' + 1,5f" + 4,59 = 0,

/' + 2,25/" = 0.

Решение их дает:

/, = 21,71° (т. е. 11,71°), /' = — 1,97°, /" = 0,88°.

Если бы мы пожелали иметь более точное решение, то вместо предполо­жения /"' = 0 надо определить эту величину из полученных /,, f и /" по уравнению (/") путем его днференцировання и найденное /"' вставить в си­стему уравнений:

/, + 0 Cf + 5C~f" + СУ = Tlt 3/ +4С/"+С-7'" + -^г = 0, f - f - 6Cf" - f - ьсу = 0,

после чего решить их снова относительно /,, f и /". По этим последним ре­шениям надо вновь найти /'" по формуле (/") н т. д. Само собой разумеется, что новые варианты решений будут все менее и менее отличаться от преды­дущих. Мы остановимся здесь на первом приближении.

Таким образом к моменту распространения процесса до конца третьего слоя температура первого слоя около внутренней поверхности, а следова­тельно и самой поверхности, составляет 11,71°. Соответствующее время осты­вания т определится из уравнения:

* = 7^- К П - /,) + (Т,-/-) + (7Ь - «1-

Здесь

То = 23,9 — ■ 0,015 = 23,04,

То = 23,9 — - 0,045 = 21,32°

н

/„ = /,+ Cf = 21,71 — 0,375 • 1,97 = 20,97° >.

Поэтому і = 0,37 часа.

Для расчета последующего падения температуры внутренней поверхности имеем уравнение:

О яя

/, = 21,71 —1,97 (т —0,37)4--^- (т —0,37)2 + . ..

Положив в нем согласно заданию /, = 50° (избыточных), найдем соответ­ствующее (т — 0,37) = 1,22 часа и следовательно, і = 1,22 + 0,37 = 1,59 часа, что весьма близко совпадает с решением Clauss.

В инженерной практике подобные расчеты бывают нужны довольно часто, и именно для начальных стадий остывания, как в приведенном примере. Это нужно для определения теплоустойчивости ограждений и их комплексов (зданий), для расчета теплопоглощешш стенками теплотехнических камер при их нагреве после охлаждения. Нам при­шлось применить данный метод при расчете охлаждения стенок акве­дуков в строительстве Москваволгоканала, когда акведуки при насос - них станциях периодически то наполняются водой, то опорожняются (самотеком) на несколько часов, причем их стенки зимой быстро охлаждаются по внутренней поверхности ниже 0° [62] и могут при новом пуске воды подвергнуться сначала обмерзанию льдом, а затем размер - занию, что вызывало бы коррозию бетона.

Здесь не место говорить о том, какими техническими мерами может быть устранена эта опасность, но лишь расчет показал, на­сколько велика такая опасность и насколько трудно и практически даже невозможно ее устранение простым усилением термоизоляции канала в виде обычных слоев твердых и порошкообразных затепли - телей.

Гораздо реже встречаются в практике расчеты этого рода, отно­сящиеся ко второй стадии остывания. Тем не менее продолжим иссле­дование остывания рассмотренной выше стенки за пределы первой стадии.

Возьмем конечный момент этой стадии, когда процесс достигает конца //-го слоя. Для упрощения разделим стейку всего на 4 слоя по 0,095 м (Д = 0,095). Тогда С = 3,75 и С' = 1,484.

В качестве уравнений для этого этапа возьмем из группы первой

A±Ji=* = 2,15,

так как наружная поверхность стенки с температурой І соответствует сере­дине между серединой четвертого слоя и пятого'. Взяв еще две производных этсго уравнения и из второй группы уравнение для четырех слоев, получим

и + 8С/' + ЮС[63]/" + АС[64]/'" + 0,5C[65]/IV = 2,15, f + 8 С/" + ЮС2/"' + 4C2/IV = 0,

/" + 8 Cf" + 10C2/IV = 0,

А/' + ЮС/" + 6С2/'" + Cs/iv _|_ JL - ().

Решив их относительно ty, /', /" и /"' при (/Iv = 0), получим:

С = 15,75°. f — — 0,55°, /" = 0,022°, f" = — 0,0007°.

Дальнейшие производные можем получить диференцированием уравнения (/"). Уточнение этого решения заключалось бы согласно предыдущему в том, что н величину f", как іГ/ІУ, мы могли бы кор­ректировать по уравнению (J”) и полученные из него величины вста­влять в свои уравнения, взятые с членами по /Iv включительной.

Кроме того все решения, естественно, уточняются, если будем брать слои стенки более тонкими. Однако утонение слоев дает само по себе сравнительно малые изменения решений, и в этом заключается
одно из преимуществ приведенного метода, позволяющего ограничи­ваться более простыми решениями с толстыми слоями.

Как было уже упомянуто, решение для температуры во второ!! стадии дается рядом Тэйлора:

h =/ СО + f (О (* —О +

где /(тп) есть величина tl3 найденная для конца первой стадии.

Здесь

7 & = 4

х ~ ta

71—1

Определение температуры которая становится переменной во второй стадии остывания, сводится, очевидно, к вычислению темпера-

/ I. /

туры или еще точнее -1 5 по первой группе наших исходных

уравнений (tn). Из них же определяются и температуры остальных слоев — /в, *й.

Общее тепловыделение стенки при остывании найдется из формулы

TOC o "1-5" h z т т т

п

Q = J а • £ • с? т -{- J а ■ t-dx~ at~n - j - a j tdx,

О T T

n n

где первый член соответствует первой стадии остывания, длящейся хп часов (предварительно определенных по предыдущемуг) и имеющей t постоянным, а второй служит для учета второй стадии, и здесь t является уже переменным. Возьмем начальнучо величину ее, т. е. tn или

^і + б)+і------------------- -- „

9 Iipil -------- tn,

согласно сказанному выше, затем, днференцируя взятое выражение, найдем для того же начального момента второй стадии производные

dx ’ с!~-

н т. д., которые назовем соответственно:

^ tn - j - біт ij

и т. д. Тогда можем взять для t ряд Тэйлора;

, = і+Щ, + (Д+іш J (, _ + (i±4+ ..

каковой и вставить под знаком интеграла во втором члене выражений для Q. Интеграл этот, очевидно, берется очень просто.

144

Ограничиваясь приведенным кратким изложением метода, отметим важнейшие области применения расчетов этого рода. В области строи­тельной эти расчеты нужны для определения теплоустойчивости огра­ждений, например темпа их остывания при перерывах центрального отопления (от теплосети в часы ее „пиковых" нагрузок).

К этой же строительной' области относится упомянутый нами при­мер расчета акведуков Москваволгоканала. В области ограждений различных камер, а также машинных резервуаров, цилиндров и аппа­ратов расчет их остывания перед пуском новых горячих газов или пара имеет целью определить первоначальные потери теплоты на нагрев и часто предотвратить конденсат водяных паров на охла­девших стенках, что иногда грозило бы коррозией металла этих стенок подобно тому, как в акведуках Москваволгоканала такой коррозией грозило бетону стенок периодическое их замерзание и оттаивание.

В заграничной технической литературе не имеется решений этого вопроса с чисто аналитическим подходом, с возможностью неограни­ченного уточнения и в то же время с достаточной простотой решения при небольших требованиях точности. С чисто математической стороны решение, конечно, возможно и с любой точностью (на основе уравне­ний Фурье и его рядов и некоторыми другими методами), но такие решения, как это часто бывает в технике, слишком кропотливы и сложны для инженерной практики, особенно для многослойных стенок, а потому и нежизненны.

В технических расчетах вопрос обычно - состоит не в том, чтобы найти метод или доказать возможность точного расчета, а в том, чтобы расчет был достаточно удобен и прост для практических прило­жений и в то же время давал возможность иметь разные степени точности. В этом смысле и приведен изложенный нами метод.

І