Тепломассообмен

Частные случаи уравнения Фурье

а) Пусть коэффициенты теплопроводности Хх, Ху и Xz не зависят от координат, но зависят от направления; тогда уравнение (2.7) примет вид

TOC o "1-5" h z. dzt d2t d2t dt

Лх—=- + kv—j + Xz—- + W = cp—. (2.9)

*dx2 dy dz dr v }

б) Если Xx = Xy = Xz =X, то тело изотропное и уравнение (2.9) становится более простым:

W 1 dt к

V2t + — = -—, а = —. (2.10)

Л a dr ср

Здесь через а обозначен коэффициент температуропроводности материала.

Разъясним физический смысл этого коэффициента. Температуропроводность характеризует способность материала

SZ “ &

повышать свою температуру с большей или меньшей скоростью — под

dt

действием притекающего тепла. Если в каком-либо слое материала

происходит повышение температуры, то скорость этого повышения будет,

прежде всего, определяться тем, какое количество тепла передается этому слою в единицу времени от соседних с ним слоев. Это последнее количество тепла пропорционально теплопроводности, а, следовательно, скорость повышения температуры пропорциональна к. С другой стороны, чем больше теплоемкость единицы объема материала cp=Cvoi (Cvoi - объемная теплоемкость), тем меньше будет повышаться температура рассматриваемого слоя; следовательно, скорость повышения температуры слоя обратно пропорциональна Cvoi. Отсюда приходим к заключению, что свойство, характерное для поведения материала при изменяющейся

температуре, должно определяться параметром а = ^ = _Л_ .Единица

С vol СР

2

измерения температуропроводности в системе Си — м/с.

Покажем, что путем тождественных преобразований уравнение (2.9) можно привести к форме, аналогичной (2.10).

Введем новые координаты

(2.11)

где к - так называемая базовая теплопроводность, выбор которой произволен; обычно за к принимают одно из трех значений коэффициентов теплопроводностей кх, ку и kz. Подставим новые значения координат (2.11) в уравнение (2.9), для этого предварительно проделаем следующие выкладки:

Аналогично

d2t Л d2t d t Л d t

dy2 Лу d(y'f dz2 ^d(z')2 Уравнение (2.9) принимает после преобразования вид

d2t d2t d2t W 1 dt „

+ +- +— = (2.12)

d(x'f d(y') d(z’) Л adz v }

аналогичный по форме уравнению (2.10).

Преобразованию типа (2.11) подвергаются и граничные условия, так как в них всегда входят координаты и геометрические параметры. Итак, преобразования (2.11) позволяют свести решение задачи для анизотропных твёрдых тел к решению соответствующих задач для изотропных тел. Напомним, что этот вывод справедлив только для рассматриваемого здесь

класса анизотропных тел, определение которого указано в начале раздела. Для цилиндрической системы координат уравнение (2.8) с помощью преобразований

, Л, А

X — X — И Z Z —,

Л„

приводится к виду, характерному для изотропных тел

d2t 1 dt d2t W 1 dt

б(х') x' dx' d(z') X adz

в) Если в теле отсутствуют источники энергии W=0, то уравнение (2.10) переходит в следующее

„2 dt dV t = —. дт

Большинство исследований по аналитической теории теплопроводности связано с решением этого уравнения.

Dt

г) В стационарных условиях —=0, и уравнения (2.7), (2.9), (2.10)

dz

записываются в более простой форме: