ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Я. Бернулли и его работа «Искусство предположений»

Яков Бернулли (1654—1705 гг.) принадлежал к семье знаменитых швейцарских математиков. С 1687 г. он — профессор математики в Базельском университете, с 1699 г. — член Парижской Академии наук.

В 1713 г. вышла в свет книга Я. Бернулли «Искусство предположений», которая сыграла существенную роль в истории теории вероятностей. Мы можем считать, что теория вероятностей начиная с Я. Бернулли оформи­лась как наука и вступила в новый период своего разви­тия. В книге «Искусство предположений» совершенно строго доказана первая предельная теорема, которую сейчас мы называем теоремой Я. Бернулли. В дальнейшем вопросы, связанные с предельными теоремами, заняли центральное место в теории вероятностей.

Книга Я. Бернулли {43] была издана на латинском языке через 8 лет после смерти автора, в 1713 г. Никола­ем Бернулли ^!.

Первую часть книги Я. Бернулли составляет перепе­чатка полного текста книги Гюйгенса. Я. Бернулли дает ко всем (кроме одного) предложениям Гюйгенса свои примечания. Называется I часть «Сочинение о возмож­ных расчетах в азартной игре Христиана Гюйгенса с за­мечаниями Я. Бернулли».

Остановимся на некоторых наиболее интересных из этих примечаний.

¹ Николай Бернулли (племянник Я. Бернулли) также занимался вопросами теории вероятностей. В 1709 г. он защитил диссертацию на соискание степени лиценциата прав: «Об использовании искусства предположений в судебных делах», которую высоко оценил Лейбниц. В этой работе рассматривались вопросы об уплате по долгам, о до­стоверности свидетельских показаний и т. п.

К предложению 1 Гюйгенса Я. Бернулли делает об­ширное примечание.

«Автор этого трактата излагает... в этом и двух сле­дующих предложениях основной принцип искусства предположений. Так как очень важно, чтобы этот прин­цип был хорошо понят, то я попытаюсь доказать его при помощи исчислений более обычных и более доступ­ных всем, исходя исключительно из той аксиомы, или определения, что каждый должен ожидать или пред­полагает ожидать столько, сколько он неминуемо полу­чит.

Слово «ожидание» здесь не должно пониматься в его обычном смысле, согласно которому «ожидать» или «на­деяться» относится к событию наиболее благоприятному, хотя может произойти наихудшее для нас; нужно пони­мать под этим словом ту надежду, которую мы имеем на получение лучшего, уменьшенную страхом худшего. Так что стоимость нашего ожидания всегда означает нечто среднее между лучшим, на что мы надеемся, и худшим, чего мы боимся. Таким образом следует его понимать здесь и далее».

После рассмотрения предложения 3 Бернулли отме­чает следующее: «Из рассмотрения... очевидно, что име­ется большое сходство с правилом, называемым в ариф­метике правилом товарищества, которое состоит в нахож­дении цены смеси, составленной из определенных коли­честв различных вещей с различной ценой. Или, скорее, что вычисления являются абсолютно одинаковыми. Так, подобно тому, как сумма произведений количеств смеши­ваемых веществ на их соответственные цены, разделен­ная на сумму веществ, дает искомую цену, которая всегда находится между крайними ценами, также сумма произ­ведений случаев на соответственно приносимые ими выго­ды, разделенная на число всех случаев, указывает стои­мость ожидания, которая вследствие этого всегда являет­ся средней между наибольшей и наименьшей из этих выгод».

Это достаточно хорошее объяснение математического ожидания и его связи со взвешенной средней арифмети­ческой.

Предложение 4—это одна из задач о разделении ставки. К этой задаче Бернулли делает такое замечание: «Вычисляя участи, нужно обращать внимание только

на предстоящие игры, не обращая никакого внимания на сыгранные уже партии».

Далее в очень оригинальной форме он разъясняет применение теоремы сложения вероятностей, в частности невозможность ее применения для совместных собы­тий.

«Если два человека, достойные смертной казни, пр¹' нуждаются бросить кости, при условии, что тот, кто выбросит меньшее число очков, понесет свое наказание, а другой, который выбросит большее число очков, сохранит свою жизнь, и что оба они сохраняют жизнь, если выбро­сят одинаковое число очков, то мы найдем для ожидания одного 7/12 или 7/12 жизни..., но из этого не следует заключать, что ожидание другого будет 5/12 жизни, так как очевидно, что здесь обе участи одинаковы, другой также будет ожидать 7/12, что дает для обоих 7/6 жизни, т. е. больше целой жизни. Причиной этого является то, что нет ни одного случая, в котором хотя бы один не остался живым, а имеется несколько случаев, когда они оба могут остаться в живых».

К серии предложений Гюйгенса на разделение ставки Бернулли составляет таблицы, в которых указано, в ка­ком отношении должны делиться ставки между игроками при различных условиях.

В примечании к предложению 9 Гюйгенса Бернулли подробно останавливается на различных положениях, ко­торые могут произойти при бросании двух и более костей, и на числе случаев, благоприятствующих каждому поло­жению, и строит для этого специальную таблицу, резуль­таты которой можно выразить следующим образом: чис­ло способов, которыми может быть получено т очков при бросании п костей, равно коэффициенту х^т в разложении (х + X^s + X⁹+X* + X⁵+ X^е) ^я.

К предложению И Бернулли делает следующее при­мечание: «Автор установил..., что можно с выгодой взяться выбросить одной костью в четыре бросания шестерку, теперь он удостоверяет, что нельзя без убытка взяться выбросить на двух костях две шестерки в 24 бросаниях. Это может показаться абсурдным большому количеству людей, так как существует точно такое же отношение между 24 бросаниями и 36 положениями двух костей,,.jpjc между 4 брос^ни^и и $ прдо?нениямр

ОДНОЙ КОСТЦ»,

В примечании к предложению 12 Бернулли получает результат, который мы теперь называем формулой Бер­нулли. Он устанавливает вероятность того, что событие А(Р(А)=р) появится при п испытаниях т раз. Это во­шедшая во все учебники формула:

п^т^^т г,^п—^т.                                        і

т,п — СпР Я    » %\Я—*—Р)

Из приведенных примеров видно, что во многих слу­чаях задачи Гюйгенса были для Бернулли только пово­дом для изложения своих взглядов и служили основой для получения новых формул.

Часть II работы Бернулли «Учение о перестановках и сочетаниях» состоит из девяти глав:

1. Перестановки. 2. О сочетаниях вообще; сочетания без повторений всего класса вместе. 3. Сочетания (без повторений) определенного класса; фигурные числа и их свойства. 4. Число сочетаний (без повторений) одного определенного класса; число, которое указывает, сколько раз определенный предмет появится отдельно или совместно с другими. 5. Число сочетаний с повторения­ми. б. Число сочетаний с ограниченным повторением. 7. Изменения без повторений. 8. Изменения с повто­рениями. 9. Число изменений с ограниченным повторе­нием.

Теория сочетаний была необходима для решения мно­гих задач теории вероятностей того времени. До примене­ния анализа бесконечно малых в теории вероятностей, что было сделано несколько позже, теория сочетаний была основным аппаратом теории вероятностей. На при­мере развития комбинаторики и теории вероятностей вид­но, как взаимно влияли друг на друга эти два раздела математики.

В своей работе Бернулли указывает, что он знаком с исследованиями по комбинаторике таких известных мате­матиков, как Лейбниц, Валлис, Схоутен и др. по комби­наторике.

Работы своих предшественников он дополнил новыми результатами, из которых наиболее значительными он считает свои исследования по фигурным числам. Бернул­ли пишет, что не существует полного изложения теории сочетаний, и поэтому он излагает все необходимые сведе­ния по этой теории подробно и с самого начала.

Теория сочетаний широко применялась при составле­нии анаграмм, а также стихов протей ^[1].

В Европе XVI и XVII вв. анаграммы из собственного имени нередко служили в качестве псевдонимов. Анаг­раммами пользовались также для того, чтобы скрыть в них новый метод или открытие. Особенно часто анагра. мы в XVII в. встречаются в религиозной литературе. Начало II части своей книги Я. Бернулли посвящает именно этим вопросам. Заметим, кстати, что этот мате­риал представляет некоторый интерес и для современной математической лингвистики.

Первая глава II части посвящена теории перестано­вок. Перестановками Бернулли называет такие измене­ния, в результате которых количество предметов сохра­няется, а порядок может изменяться различными спосо­бами. Он отличает случаи, когда все элементы различны и когда имеются совпадающие элементы. Количество пе­рестановок из п различных элементов он получает сле­дующим образом. На первом месте может стоять любой элемент, следовательно, для первого места мы имеем п возможностей. Для следующего элемента имеется п—1 возможность. Таким образом, для выбора двух первых элементов получим п(п—1) возможностей. Рассуждая подобным образом дальше, Бернулли получает оконча­тельно, что число перестановок из п элементов равно 1*2... (п—1) -п. Он приводит таблицу количества пере­становок от 1 до 12:

1 2 3 4 5    6    7      8        9           10 И                   12

1 2 6 24 120 720 5040 40.320 362880 36 28800 39 916 800 479001600

Это есть соответствующие значения факториалов.

У Бернулли отсутствуют символические обозначения числа перестановок, сочетаний и размещений, хотя тер­мины «перестановка» и «сочетание» он употребляет в современном значении. Кроме того, он различает пере­становки и сочетания с повторениями и без повторений. Вместо понятий «размещение» он употребляет выраже­ние «сочетания вместе с их перестановками». Для числа

перестановок с повторениями Бернулли получил следую­щий окончательный вывод:

В качестве примеров он рассматривает число перестано­вок, образованных из букв различных слов. Из букв сло­ва «Roma» можно получить 1-2-3-4=24 перестановки, из «Leopoldus»

1-2-3-4-5-6-7-8-9 ₌ 362 880 _=g0 2-2  “           4          ~

Из «Studiosus» ³-^-^ =30 240

2*6

Далее Бернулли переходит к рассмотрению сочетаний. Под сочетанием он понимает такого рода соединения, в которых из данных элементов выделяют некоторые и соединяют их друг с другом, не обращая внимания на по­рядок. Показателем класса сочетаний Бернулли называет количество соединенных элементов. Интересно отметить, что при рассмотрении сочетания разных классов у него встречается нулевой класс, т. е. класс, в котором совсем нет элементов; он также различает сочетания без повторе­ний от сочетаний е повторениями. Для различных элемен­тов Бернулли составляет таблицу сочетаний (образец таблицы, по-видимому, заимствован из работы Схоутена «Математические этюды», ом. [44, стр. 30—31]). Для пяти элементов a, b, с, d, е эта таблица у Бернулли имеет сле­дующий вид:

а;

• ab\
• ас, be, abc;
• ad, bd, cd, abd, acd, bed, abed',

(e, ae, be, ce, de, abe, ace, bee, ade,

\bde, ede, abce, abde, aede, bede, abede.

Бернулли говорит, что эту таблицу можно продол­жить. Исходя из этой таблицы, при помощи математиче­ской индукции Бернулли доказывает теорему о том, что число всевозможных сочетаний всех классов равно про­изведению стольких двоек, каково число элементов, и

Эта теорема без доказательства содержалась ранее у Кардано, Штифеля, Лейбница.

Далее Бернулли приводит таблицу для числа сочета­ний:

Эта таблица отличается от аналогичной таблицы Лейбница только иным расположением и является фак­тически треугольником Паскаля. Любое число в ней на­ходится сложением чисел в предыдущих строках преды­дущего столбца. Бернулли перечисляет свойства этой таблицы. Приведем некоторые из них.

1. Второй столбец начинается с одного нуля, третий — с двух, четвертый — с трех, и вообще С-й с С — 1 нуля.
2. Любой член таблицы равен сумме всех предыдущих членов предыдущего столбца.
3. Если начиная от начала взять некоторое число строк и сложить по столбцам, то получаются члены сле­дующей строки без первого члена. Например:

1 0 0 0 0 110 0 0 12 10 0 13 3 10 1 4 6 4 1

5.10 10 5 1

12. Сумма некоторого числа членов (считая нули) в любом столбце относится к сумме, состоящей из такого же числа одинаковых слагаемых, каждое из которых рав­но последнему из взятых членов, как 1 к номеру столбца. Или же сумма некоторого числа членов какого-нибудь столбца, начиная с 1, относится к сумме стольких же сла­гаемых, каждое из которых равно числу, следующему за последним слагаемым, как 1 к номеру столбца. Напри­мер:

Бернулли доказывает, что сумма п членов k-vo столб­ца, или, что то же самое, число, стоящее в (/г+1)-й строке и (&+1)-м столбце, равна

я (я — 1)... (я — к +1)

т. е. равна числу сочетаний из п элементов по k.

В пятой главе Бернулли составляет таблицы сочета­ний. Например, из элементов а, b, с, d можно составить следующие сочетания от первого до третьего класса:

• аа, аш\
• ab, ЬЬ, aab, abb, bbb\
• ас, Ьс, сс, aac, abc, bbc, асе, Ьсс, ссс;
• ad, bd, cd, dd, aad, abd, bbd, acd, bed, ced,

adb, bdd, edd, ddd.

Эту таблицу можно продолжить и далее. Если выписать количество элементов по классам для каждой строки, то получим следующее: для I класса, 1,1,1,1 ..., для II класса 1, 2, 3, 4..., для III класса 1, 3, 6, 10...

Если эту запись продолжить, а затем свести в табли­цу, то получится таблица числа сочетаний с повторения­ми, которая совпадает с арифметическим треугольником Паскаля.

Бернулли отмечает следующие свойства этой таб­лицы.

1. Столбцы и строки состоят из одинаковых чисел.
2. Сумма первых п членов k-ro столбца равна числу, стоящему в (£+ 1)-м столбце и п-й строке.
3. Сумма первых п членов k-ro столбца (или строки) относится к сумме стольких же слагаемых, каждое из ко­торых равно числу, стоящему за последним слагаемым, как 1 к номеру столбца (или строки). Например,

1    35

4    35

10   35

20   35

35:140=1:4

Далее Бернулли доказывает, что сумма и первых чле­нов к-ro столбца, или, что то же самое, число сочетаний с повторениями из п элементов по k, равна

я (га +1) ... (я + k —1) _ (п + k —1\

1-2 ... k                 \ k )'

Пусть a_n,k будет п-й член k-ro столбца. Сумма первых п членов первого столбца равна п/1!. По свойству (2) это число равно «-му члену второго столбца, т. е. а_п,г = = «/1, также

и т. д. По тому же свойству (2) получаем

П

2 ^а‘Л = °п,3,

/=1

а ,по свойству (3) имеем

П

2 С/,*: «Ял+1,2 = 1:2,

/=1

откуда

^тп+ьа _ п(п+1)

21 2

Аналогично можно получить, что а_п,* =                    .

31

Пусть формула будет верна для любого п и k+1:

„             я(я+1)(я+2) ... (я + А—1)

-------------- гг:~                       •

Докажем, что она верна для любого п и k+2.

П

По свойству (2) имеем: а_п,_к+₂ =

І=1

по свойству (3):

П

2 а_і>к+1: na_n+uk+1 = 1: (k +1).

Откуда следует

_ ^пап+i.fc+i _ \П (я +1) (я +2) ... (я + k)

***** - —_t 1.2... *(*+1)

Бернулли впервые рассматривает задачу о числе со­четаний с ограниченными повторениями. Решить эту за­дачу в общем виде ему не удалось. Он только составил таблицу для частных случаев и указал способ определе­ния числа всех классов, вместе взятых.

В седьмой главе Бернулли рассматривает вопрос об определении числа размещений без повторений. Именно здесь размещениями он называет «сочетания вместе с их перестановками».

Бернулли находит, что число размещений k-ro класса из я элементов равно

= л(я—1) ... (я— k + 1).

Далее он находит, что число размещений k-ro класса с повторениями из т различных элементов равно /я*. Затем сумму всех размещений от первого до k-ro класса, полученных из т различных элементов, Бернулли выра­жает в виде суммы геометрической прогрессии со знаме­
нателем m, т. е.

,2,4,       і          т(т^л‘—1)

т 4- т 4- т³ + ... + т = —і------------- -.

т—1

Глава девятая посвящена вопросу определения числа размещений с ограниченными повторениями. Этот вопрос Бернулли излагает не в общем виде, а на частном при­мере, для которого он составляет таблицу. Бернулли, по-видимому, первый занимался вопросами определения числа размещений и сочетаний с ограничениями повто­рениями. Он рассматривает последовательности так на­зываемых фигурных чисел, которые сводит в таблицу, устанавливая ряд их свойств. На основании установлен­ных свойств Бернулли находит формулы для сумм оди­наковых степеней чисел натурального ряда до десятой степени включительно:

S(/i) = jn* + jn;

S(n*) = fn° + ±n* + jn;

S(n*) = ±n* + j-n⁸-

S(n¹⁰) = -nⁿ +-n¹⁰ +-n⁹—n⁷ + n^B — ±n³ + -n 11 2 6 2 66

Формулы для S(n), S(n²), S(n³) были известны еще в Греции. Выражение для S(n ⁴) было найдено в средние века. Ферма была известна формула

S (/I^і) — ——— п‘⁺¹ + &1,\П -{-[сіідП² -|- . . . + Щ'іГІ , і -И

которая затем была доказана Паскалем, но ими не был получен закон образования коэффициентов a_t,k •

Бернулли на основании аналогии и догадки, без дока­зательства, записывает общую формулу:

5 (п‘) =                 п^£+1 + —п^£ + - С}Ап^1-1 +

^v ' і +1                     2        2               ^

+ ^£?Во‘^-3 + —С{Сп¹~^ь -f — С]Dnf~⁷ 4- ...

4 6 8

Бернулли отмечает, что начиная с третьего члена степень п уменьшается все время на 2 и каждая формула закан­чивается либо членом с п², либо членом с п.

Числа А, В, С, £),..., названные Эйлером числами Бер­нулли, равны коэффициентам при п в 5 (п²), S(«⁴), S(n⁶)... Следовательно, А = 1/6; В=—1/30.

Числа Бернулли встречаются во многих формулах и вопросах математического анализа и теории чисел. Свя­занными с этими числами проблемами впоследствии за­нимались многие крупные математики, в том числе Эйлер, Лаплас, Остроградский и др.

Часть II «Искусства предположений» представляла для своего времени ценный труд в области комбинатори­ки. Она служила учебником по этому разделу математики в течение XVIII в.

Часть III работы Бернулли называется «Применение учения о сочетаниях к различным случайным играм и играм в кости». Эта часть содержит 24 задачи с подроб­ными решениями.

Приведем условия некоторых задач.

1. Некто положил в урну два шара, белый и черный, и предложил трем игрокам премию при условии, что ее по­лучит тот, кто первый вытянет белый шар, но если никто не вытянет белый шар, то они премии не получат. Первым извлекает шар А и кладет его обратно, затем вторым испытывает счастье В ив конце, третьим, — С. Какие шансы имеют эти три игрока?
2. А держит пари с В, что он вытянет из 40 играль­ных карт, из которых по 10 карт разной масти, четыре разномастные карты. Как относятся шансы обоих друг к другу?
3. Некто желает при 6 бросаниях кости получить все 6 граней в таком порядке: при первом бросании одно очко, при втором — два и т. д. Как велико его ожида­ние?

В ряде задач требуется подсчитать ожидание выигры­ша в некоторой азартной игре. Как мы видели, это в ос­новном довольно распространенные для того времени за­дачи.

В первой части своей книги Бернулли неоднократно упрекал Гюйгенса в том, что он решает числовые задачи, а не задачи в общем виде при помощи букв, что давало бы возможность вскрыть общие закономерности.

В третьей части Бернулли ряд элементарных, но доста­точно слокных задач решает в общем виде. Например: 22) Есть вид азартной игры, в которой число всех случаев а, число некоторых случаев из них Ь, а число всех осталь­ных случаев а — Ь — с. Тит, уплатив Каю несколько мо­нет, покупает несколько бросаний кости. Если он выбро­сит один из b случаев, то он получит от Кая т монет; он ничего не получит, если он выбросит один из с случаев. Но если он выбросит п раз один за другим один из с слу­чаев, то Тит от Кая получает обратно свои п монет. Ка­кие ожидания выигрыша Тита и Кая?

Рассмотренные три части книги Бернулли представ­ляют несомненный интерес для истории математики. В них часто по-новому осмысливаются уже ставшие стандартными некоторые задачи теории вероятностей. Полностью осознана роль комбинаторики в теории ве­роятностей того времени. Впервые последовательно из­ложена теория соединений, причем получено много новых свойств и различных формул; получены очень интерес­ные результаты и по другим разделам. Уже эти три части являются существенным вкладом в развитие не только теории вероятностей, но и математики во­обще.

Но основная часть книги, которая по существу, явля­ется началом нового этапа в истории теории вероятно­стей,— это часть IV, которая называется «Применение предыдущего учения к гражданским, моральным и эко­номическим вопросам».

Эта часть содержит доказательство теоремы Бернул­ли, т. е. закона больших чисел и его простейшей формы. Четвертая часть, а следовательно и вся книга осталась неоконченной: она обрывается после доказательства тео­ремы Бернулли. Но из заглавия следует, что Бернулли ставил своей целью рассмотреть применение теории ве­роятностей к гражданским, моральным и экономическим вопросам. Об этом пишет и Николай Бернулли в своем предисловии к книге Я. Бернулли.

В своей книге, и особенно в части IV, Я. Бернулли касается многих общих и философских вопросов, свя­занных с вопросами теории вероятностей. Он отчетливо стоит на точке зрения метафизического детерминизма. Более тог©^,<получивший широкое распространение так называемый лапласовский детерминизм не менее после­

довательно и точно, а часто даже в близких / выраже­ниях, мы находим у Я. Бернулли. В первой гЛаве этой части он пишет: «Если не наверно случится то, чему оп­ределено случиться, то непонятно, как может остаться непоколебленной хвала всеведению и всемогуществу ве­личайшего творца». «Совершенно несомненно, что при данном положении кости, скорости и расстояния от доски, в тот момент, когда кость оставляет руку бросающего, она не может падать иначе, чем падает на самом деле.

Равным образом, при данном составе воздуха и дан­ных массах, положениях, направлениях, скоростях ветров, паров и облаков, а также механических законах, по ко­торым все это взаимодействует, завтрашняя погода не может быть иной, чем та, которая на самом деле должна быть. Так, что эти явления из своих ближайших причин следуют с не меньшей необходимостью, чем затмения из движения светил. И, однако, обычно только затмения причисляются к явлениям необходимым, паде­ние же кости и будущая погода — к случайным. Причи­на этого исключительно та, что предполагаемое данным для определения последующих действий на самом деле в природе нам недостаточно известно. И если бы даже это было известно, то недостаточно развиты математиче­ские и физические знания, чтобы, исходя из данных при­чин, подвергнуть такие явления вычислению, подобно то­му, как из совершенных принципов астрономии могут быть предвьгчисляемы и предсказываемы затмения... Случай­ность главным образом зависит от нашего знания».

Глава II четвертой части начинается со следующего определения: «Искусство предположений у нас опреде­ляется как искусство — возможно точнее измерять ве­роятности вещей затем, чтобы в наших суждениях или действиях мы могли всегда выбирать или следовать тому, что будет найдено лучшим, более удовлетвори­тельным, спокойным и разумным. В этом единственно заключается вся мудрость философа и благоразумие политика».

Прежде чем приступить к основной задаче, Я. Бер­нулли пишет, что «полезно предпослать .некоторые об­щие правила или аксиомы». Всего им приведено девять таких правил. Чтобы представить характер этих правил, приведем некоторые из них:

1. Догадкам не место в тех вещах, где можно достиг­нуть полнрй достоверности.
2. Что ^ некотором случае полезно, но ни в каком не вредно, следует предпочитать тому, что никогда не при­носит ни пользы, ни вреда.
3. Не следует оценивать поступки людей по их ре­зультатам и т. п.

После этих правил Я. Бернулли пишет о том, что каждый может составить для себя еще много подобных.

Только после всех этих довольно обширных предва­рительных рассуждений и замечаний он начинает в гла­вах III и IV подходить к формулировке своей основной задачи.

Он пишет: «Сила доказательства, свойственная ка­кому-либо доводу, зависит от числа случаев, при кото­рых он может существовать или не существовать, дока­зывать или не доказывать или даже доказывать против­ное».

Далее он переходит к одному из центральных мест книги. По существу, он дает здесь довольно хорошее объяснение статистическому понятию вероятности.

«Все дело сводится к тому, чтобы для правильного составления предположений о какой-либо вещи были точно исчислены как числа случаев, так и было бы опре­делено, насколько одни случаи могут легче встретиться, чем другие. Но здесь мы, по-видимому, встречаем пре­пятствие, так как только крайне редко это возможно сделать и почти нигде не удается, кроме игр, зависящих от случая, которые первые изобретатели постарались сделать безобидными, устроили так, чтобы были совер­шенно известны числа случаев, влекущих выигрыш или проигрыш, а сами случаи могли бы встретиться одина­ково легко. В большинстве же других явлений, завися­щих или от действия сил естественных, или от свободной воли людей, не имеет места ни то, ни другое... Кто из смертных когда-либо определит как число случаев, чис­ло, например, болезней, и насколько одна болезнь легче погубит человека, чем другая, например чума по срав­нению с водобоязнью». Результат в этих случаях «зави­сит от причин совершенно скрытых и сверх того, вслед­ствие бесконечного разнообразия их сочетаний, всегда ускользающшь от нашего познания, и было бы совер­шенно безумно желать что-либо узнать таким путем.

Но здесь нам открывается другая дорога для /достиже­ния искомого. И что не дано вывести a priori, то, по крайней мере, можно получить a posteriori, т./е. из мно­гократного наблюдения результатов в подобных приме­рах. Потому, что нужно предполагать, что некоторое явление впоследствии в стольких же случаях может слу­читься или не случиться, в скольких при подобном же положении вещей раньше оно было отменено случив­шимся или неслучившимся... Этот опытный способ опре­деления числа случаев по наблюдениям не нов и не необычен... то же все постоянно соблюдает в повседнев­ной практике».

Далее Бернулли еще более глубоко развивает свою мысль.

«Для такого рассуждения... требуется большой запас наблюдений...

Хотя это, естественно, всем известно, однако доказа­тельство, извлекаемое из научных оснований, вовсе не так обычно, и потому нам предстоит его здесь изложить. Причем я счел бы для себя малой заслугой, если бы остановился на доказательстве того, что все знают. Здесь для рассмотрения остается нечто, о чем до сих пор, может быть, никто и не думал. Именно, остается ис­следовать, будет ли при таком увеличении числа наблю­дений вероятность достичь действительного отношения между числами случаев, при которых какое-либо собы­тие может случиться или не случиться, постоянно воз­растать так, чтобы, наконец, превзойти всякую степень достоверности, или же задача, так сказать, имеет свою асимптоту, т. е. имеется такая степень достойерности, которую никогда нельзя превзойти, как бы ни умножа­лись наблюдения».

«Чтобы не понимать этого превратно, следует заме­тить, что отношение между числами случаев, которые мы желаем определить опытом, понимается не в смысле точного отношения..., но до известной степени прибли­женного, т. е. заключенного в двух границах, которые можно взять сколь угодно тесными». «Вот, следователь­но, какова задача, которую я здесь решил обнародовать, после того как уже в течение 20 лет владел ее реше­нием». Только после такого длительного разъяснения в главе V он приступает к доказательству своей теоремы. Вначале доказывается ряд лемм.

О, 1,2, \... г—1, гг + 1, .... r-fs;

О, 1. 2, . v., пг — г, .... пг, .... пг + п, ..., nr+ ns

и утверждается, что с увеличением п растет количество членов между пг и пг+щ пг и пг—п; пг+п и nr+ns; nr и 0. Кроме того, как бы велико ни было п, число чле­нов после пг+п не будет превышать более чем в s—1 раз число членов, заключенных между пг и пг+п или между пг и пг — п, а также число членов до пг — п не будет превышать более чем в г— 1 раз число членов между теми же числами.

Лемма 2. Всякая целая степень какого-либо дву­члена r+s выражается числом членов, на единицу большим числа единиц в показателе степени.

Лемма 3. В любой степени двучлена r+s, по крайней мере в t=r+s или nt=nr+ns, некоторый член М будет наибольшим, если числа предшествующих ему и следующих за ним членов находятся в отношении s к г или, что то же, если в этом члене показатели букв г и s находятся в отношении самих количеств г и s; бо­лее близкий к нему член с той и другой стороны больше более удаленного с той же стороны; но тот же член М имеет к более близкому меньшее отношение, чем более близкий к более удаленному при равном числе проме­жуточных членов.

Доказательство.

(r + sf = r^nt+2LS‘-^ls +

Отмечается, что коэффициенты членов равноудаленных от концов равны. Число всех членов nt+1 = nr+ns+1. Наибольший член будет:

_ nt(nt—i) ... (nt—ns+i) _rnr_sns _

1‘2 ... ns

__ nt(nt— 1) ... (nr+1) _fnr_sns 1-2-3 ... ns

M можно записать в другом виде, воспользовавшись форму- лой Cla — Cnt~^ns = С%.

M — ⁿⁱ (^nt *""*) (^{ni nr} +1) ** ns __ nt (nt^-i) .. ~        1-2 ... nr ^{r s} —      i_2 ...

Ближайший к нему слева член равен

nt (nt —1) ... (nr +2) «+!«_!. 1*2 ... (ns—і)

справа —

nt (nt —1) ... (ns +2) ЯГ—1 ftS-J-l 1-2 .. . (яг— 1)

Следующий слева —

Пі* (я/ —1) ... («Г +3) _rnr+i_sns—2. 1-2 ... (ns— 2)   ’

справа —

(nt —1) ... (ns -f3) ^W—2„raS+2 jj _т д 1*2 ... (nr— 2)

При помощи соответствующих делений и сравнений все ут­верждения леммы легко доказываются.

Лемма 4. В степени двучлена с показателем tit число п может быть взято столь большим, чтобы отношение наи­большего члена М к двум другим L и Я, отстоящим от него налево и направо на п членов, превзошло всякое данное отно­шение.

Доказательство.

_ nt(nt-i) ... (пг+1) _r„r_sns _

Для доказательства леммы необходимо установить, что

Посмотрим на примере первого отношения, как Бернулли решает эту задачу. Вначале он делает следующие преобразования:

М  nt(nt — 1) (я?—2)           . (яг-f-l) -1-2 ... (ns — п) г™s^nt

L        nt (nt'—1) ... (ПГ + Я+1)-1-2 ... ns- r^nr+ⁿs^na~ⁿ

_  (яг + я) («Г 4~ Я —1) (nr -f-1) sⁿ

(ns—n +1) (ns—n +2) ... ns- r*

__ (nrs + ns) (nrs + ns — s) ... (nrs + s)

(nrs — nr + r) (nrs — nr +2r) ... nrs

После этого Бернулли пишет: «Но эти отношения [имеется в виду и М/Х— Л. М.\ будут бесконечно большими, когда п полагается бесконечным, ибо тогда исчезают числа 1, 2, 3 и пр. по сравнению с п, и сами числа nr ±п+ 1, пг ± ±« + 2, пг±п + 3 и пр. ns + п ± 1, ns + п ±2, ns + + п ± 3 и пр. будут иметь те же значения, как пг ±п и ns + п». После этого, отбросив эти числа и проведя соот­ветствующие сокращения на п, получим

М  (rs + s) (rs s) ... rs

L     (rs — r) (rs — r) rs

Количество сомножителей в числителе и знаменателе равно п. «Вследствие чего это отношение будет бесконечной степенью

^г—~*~^s и потому бесконечно большим». Для тех, кто сомне- rs — r

вается в этом заключении, Бернулли приводит еще одно

рассуждение и доказательство того, что -^s—— в степени п,

rs — r

если п полагается бесконечным, будет бесконечно большим. «Таким образом показано, что в бесконечно высокой степени двучлена отношение наибольшего члена к другому L превос­ходит всякое заданное отношение».

м

Доказательство утверждения, что lim — =оо про-

п-ха X

водится аналогично.

Лемма 5. Отношение суммы всех членов от L до А, ко всем остальным с увеличением п может быть сде­лано больше всякого заданного числа.

Доказательство. М—(наибольший член разложения. Пусть соседние с ним слева будут F, G, Н,...; пусть соседние с L слева будут Р, Q, R,

или

«Так как, по лемме 4, при п бесконечно большом, отно­шение М/L бесконечно, то тем более будут бесконечны­ми отношения F/P, G/Q, Н/R,..., и потому отношение

—-- -- ¹--- ¹----- также бесконечно, т. е. сумма членов

<P + Q + £+... .

между наибольшим М и пределом L бесконечно боль­ше суммы такого же числа членов за пределом L и наи­более к нему близких. И так как число всех членов за пределом L превышает, по лемме 1, не более чем в s—1 раз (т. е. конечное число раз) число членов между этим пределом и наибольшим членом М, а сами члены де­лаются тем меньше, чем дальше они отстоят от преде­ла, по 1-й части леммы 3, то сумма всех членов между М и L (даже не считая М) будет бесконечно больше сумм всех членов за пределом Ь». Аналогичное утверж­дение можно доказать относительно членов между М и %. Оба эти утверждения и доказывают лемму.

После этого доказательства Бернулли делает пояс­нение для тех, кто не привык к рассуждениям с беско­нечным и кто сомневается в истинности этих рассужде­ний. «Этому сомнению я не могу лучше удовлетворить, как показав теперь способ на самом деле найти конеч­ное число п или конечную степень двучлена, в которой сумма членов между пределами L и X имеет к сумме членов вне их отношение, большее какого угодно боль­шего отношения, которое обозначу буквою с. Когда это будет доказано, возражения необходимо падут».

Убедив читателя еще одним путем в справедливости лемм, Бернулли переходит к основной цели своего сочи­нения. Он формулирует, как он сам называет, «главное предложение». «Наконец, следует само предложение, ради которого сказано все предыдущее и доказательст­во которого вытекает из одного лишь применения пред­варительных лемм... Пусть число благоприятных слу­чаев относится к числу неблагоприятных точно или при-

ближенно, как г к s, или к числу всех случаев, как г к r+s или г к t, это отношение заключается в пределах (r+l)/t и (г— 1)£. Требуется доказать, что можно взять столько опытов, чтобы в какое угодно данное число раз (с раз) было вероятнее, что число благоприятных на­блюдений попадет в эти пределы, а вне их, т. е. отноше­ние числа благоприятных наблюдений к числу всех бу­дет не более чем (r+l)/t и не менее (г—l)/t».

Очевидно, что это утверждение эквивалентно теоре­ме Бернулли, излагаемой в современных книгах по теории вероятностей.

Доказательство. Пусть число необходимых наблю­дений будет nt. Вероятность того, что все наблюдения будут благоприятны, равна

что все, кроме одного —

_п                     nt r^nt~^l

* nt—і. nt — S - 1 ft

кроме двух —

_n                   tit (tit — 1) 2 f^nt *

------- Ті-^!?~рг^итд-

А это есть члены разложения двучлена (r+s ) в степе­ни tit (деленные на t^nt), которые исследовались в преды­дущих леммах. Все дальнейшие выводы основываются на доказанных леммах. Число случаев с ns неблагопри­ятными наблюдениями и пг благоприятными дает член М. Число случаев, при которых будет пг+г или пг—п благоприятных наблюдений, выражается членами L и А,, отстоящими на п членов от М. Следовательно, число случаев, для которых благоприятных наблюдений ока­жется не более пг+п и не менее пг—п, будет выра­жаться суммой членов, заключенных между L и Я. Об­щее же число случаев, для которых благоприятных на­блюдений будет или больше пг+п или меньше пг—п, выражает&й суммой членов, стящих левее L и правее К. «Так как степень двучлена может быть взята столь
большая, чтобы сумма членов, заключенных между обо­ими пределами L и X превосходила более чем в с раз сумму всех остальных из этих пределов выходящих, по леммам 4-й и 5-й, то, следовательно, можно взять столь большое число наблюдений, чтобы число случаев, при которых отношение числа благоприятных наблюдений к числу всех оказывается заключенным в пределы (nr+n)/nt и (пг—п)Ш или (r+l)/t и (г—1 )/t, превы­шало более чем в с раз число остальных случаев, т. е. сделалось более чем в с раз вероятнее, что отношение числа благоприятных наблюдений к числу всех заклю­

а не вне этих преде­

лов, ч. т. д.»

Для сравнения дадим современную формулировку теоремы Бернулли: если вероятность наступления собы­тия А в последовательности независимых испытаний постоянна и равна р, то, каково бы ни было положи­тельное число 6, с вероятностью как угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно боль­шом числе испытаний п разность — — р по абсолютной

п

величине окажется меньшей, чем в:

^р{|т-'!<•}>¹-’¹- где ті любое малое число.

Для выяснения содержания теоремы Бернулли сде­лаем еще некоторые замечания.

Всегда может случиться, что, каким бы большим ни

было п, в данной серии из п испытаний! ~— р\окажет­

ся больше е. Но, согласно теореме Бернулли, мы мо­жем утверждать, что если п достаточно велико и если произведено достаточно много серий испытаний по п испытаний в каждой серии, то в подавляющем числе

Теорема Бернулли совсем не утверждает, что при бесконечном увеличении числа испытаний п частота

m/rt стремится к числу р, т. е. что lim — = р; она утвер-

/г-юо П

ждает, что вероятность больших отклонений частоты т/п от вероятности р мала, если только п достаточно велико.

Теорема Бернулли явилась громадным вкладом в теорию вероятностей, она играет первостепенное значе­ние в различных практических применениях теории ве­роятностей.

Теорему Бернулли неоднократно подтверждали спе­циально поставленными экспериментами, в первую оче­редь— с бросанием монет.

Заканчивается работа Я. Бернулли высказыванием, которое в дальнейшем было принято многими, в том числе и Лапласом, как основное положение детерминиз­ма. Бернулли считает, что из доказанной теоремы «вы­текает то удивительное, по-видимому, следствие, что если бы наблюдения над всеми событиями продолжать всю вечность (причем вероятность, наконец, перешла бы в полную достоверность), то было бы замечено, что все в мире управляется точными отношениями и постоянным законом изменения, так, что даже в вещах, в высшей степени случайных, мы принуждены были бы признать как бы некоторую необходимость и, скажу я, рок».

На этом «Искусство предположений» обрывается. Воз­никает вопрос, почему последняя глава, в которой Бер­нулли обещал применить теорию вероятностей к граж­данским и экономическим вопросам, осталась неокон­ченной. Можно предположить, что работа осталась не­оконченной потому, что Бернулли не видел серьезных применений теории вероятностей к упомянутым во­просам.

Работа Бернулли всегда оценивалась очень высоко. В 1913 г., к 200-летию ее первого издания в России, была переведена ее IV часть. В предисловии к этому переводу А. А. Марков писал, что в этой работе «впер­вые была опубликована и доказана знаменитая ... тео­рема, положившая начало закону больших чисел... Свою теорему Я. Бернулли высказал точно и доказал с полной строгостью» [45].

А. Н. Колмогоров пишет, что Бернулли «свою пре­дельную, .теорему доказал с исчерпывающей арифмети­ческой строгостью» [46, стр. 56].

^[1] Стихами протей назывались стихи, составленные из слов дан­ного стиха. Протей — морское божество в греческой мифологии, ве­щий и бессмертный старец, неуловимый вследствие способности при­нимать различные образы.