ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Развитие теории вероятностей в первой половине XVIII в.

Начало XVIII в. было ознаменовано в теории вероят­ностей не только появлением работы Я. Бернулли. В это время выходят в свет работы Монмора, Муавра и других ученых.

П. Р. Монмор (1678—1719 гг.), французский матема­тик, изучал также философию и религию. Он поддержи­вал отношения со многими крупными математиками (Н. и И. Бернуллй, Лейбницем и др.) и пользовался до­статочным авторитетом. Он был, в частности, выбран Лейбницем в качестве его представителя в образованную Королевским обществом комиссию для разрешения спора между Ньютоном и Лейбницем о приоритете в открытии дифференциального и интегрального исчисления. Его основная работа по теории вероятностей — «Анализ азартных игр» имела два издания. Первое из них было в 1708 г. Общепринято считать, что второе издание было в 1713 г., но Тодхантер [44] указывает, что на имеющемся у него экземпляре, с автографом автора, стоит 1714 г. Второе издание значительно больше по объему, чем пер­вое; в него, кроме того, включена переписка Монмора с Н. Бернулли и одно письмо И. Бернулли.

Работа Монмора (2-е изд.) состоит из четырех частей [47]. Первая часть посвящена комбинаторике, во второй части рассматриваются различные игры в карты, в третьей — игры в кости, четвертая часть содержит реше­ние различных задач, включая пять задач Гюйгенса; затем следует переписка. В предисловии Монмор кратко излагает план построения работы Я. Бернулли, который ему был известен из сообщений Фонтенеля и Сорена. Монмор думал, что после смерти Бернулли работа по­следнего не будет опубликована. Он писал: «Я пришел к выводу, что можно пойти очень далеко в этой неиссле­дованной области и открыть большое число истин оди­наково любопытных и новых. Это привело меня к реше­нию глубоко разработать этот вопрос и этим в некоторой степени утешить публику в той потере, которую она ощутила, лишившись выдающейся работы г. Бернулли».

В предисловии Монмор пишет о том, что математика проникла в естественные науки, и прежде всего в физи­ку, где она, по его словам, достигла очень больших успе-

хов. «Какой бы славой было для этой науки, если бы она могла служить сверх того для определения суждений и поведения людей в практической жизни». Далее он гово­рит, что такую попытку сделал Я. Бернулли, но прежде­временная смерть не позволила ему закончить эту ра­боту.                                              1

Монмору было довольно мало известно о книге Бер­нулли: «Госп. Бернулли разделил ее на четыре части. В первых трех он дает решение различных задач на азартные игры. Там должно было находиться много ново­го о бесконечных рядах, сочетаниях и перестановках, вместе с решением задач, предложенных математиком Гюйгенсом уже довольно давно. В четвертой части он применял методы, изложенные в первых трех частях, К! решению различных гражданских, нравственных и поли­тических вопросов. Нам неизвестно, каковы те игры, раз­дел ставок которых определял этот автор, ни какие воп­росы морали и политики он собирался разъяснить, но как бы ни был удивителен этот проект, есть все основа­ния полагать, что этот ученый автор великолепно выпол­нил бы его... Я убежден, что он выполнил бы все, что обещало заглавие его книги».

Следует подчеркнуть, что Монмор отказался показать применения теории вероятностей к моральным, нравст­венным, экономическим и другим подобным вопросам. Он пишет: «Если бы я предполагал во всем следовать Бер­нулли, то я должен был бы прибавить часть, где я при­менил бы методы, изложенные в первых частях, к по­литическим, нравственным и экономическим вопросам. Мне помешало выполнить это то затруднение, которое я встретил, когда попытался сделать предположения, основанные на известных фактах, которые могли бы ру­ководить мной и поддерживать меня в моих исследова­ниях. Не будучи в состоянии удовлетворить это требова­ние полностью, я решил, что лучше отложить эту работу до другого времени, или предоставить славу ее сверше­ния другому, более, чем я, искусному лицу, чем говорить вещи или слишком общеизвестные или недостаточно точ­ные, которые совершенно не отвечали бы ожиданиям читателя и великолепию вопроса».

Монмор (как и Бернулли) не находит обоснованных применений вероятностных соображений к нравственным наукам. Следует отметить, что, обсуждая общие методо­логические вопросы, Монмор стоит на точке зрения мета­физического детерминизма.

Далее в предисловии Монмор долго рассуждает о том, что учение о случае может применяться к поведению человека, но эти рассуждения носят очень общий и не­определенный характер. Монмор ссылается на работы Галлея, Петти, Гюйгенса, на переписку Паскаля и Фер­ма. В конце предисловия они пишет: «В этом трактате я в первую очередь имел в виду удовольствие математи­ков, а не пользу игроков; по нашему мнению, те, кто те­ряют на игры время, вполне заслуживают терять в них свои деньги».

Первая часть книги называется «Трактат о сочета­ниях». В этой части Монмор рассматривает арифмети­ческий треугольник, математическое ожидание и др. ма­териал. Биномиальная теорема доказывается для случая (а+Ь) ⁴ при помощи следующего рассуждения. Пусть имеются 4 жетона, одна сторона которых белая, а дру­гая— черная. При их бросании имеется одна комбина­ция, при которой все жетоны выпадут черной стороной, 4 — для трех выпасть черной стороной и одной белой. 6 — для двух черных и двух белых и т. д. Поэтому (а+Ь)* должно содержать а⁴ и Ь⁴, что соответствует вы­падению четырех черных сторон у жетонов и четырех белых; затем должен идти коэффициент 4, соответствую­щий количеству выпадений трех черных и одной белой сторон, а также трех белых и одной черной; затем дол­жен быть коэффициент 6, соответствующий количеству выпадений двух белых и двух черных сторон. Отсюда Монмор делает заключение, что биномиальные коэффи­циенты должны быть 1, 4, 6, 4, 1.

Далее рассматривается много задач. Среди них, на­пример, имеется такая: определить число способов, ко­торыми можно получить при бросании Р костей а еди­ниц, b двоек, с троек и т. д.

Вторая часть посвящена задачам, связанным с кар­точными играми, в частности с игрой «фараон», «бассет» и др.

В третьей части рассматриваются задачи на игры в кости, в том числе и задача на раздел ставки: «Произве­сти в общем виде раздел ставки между несколькими иг­роками, играющими несколько партий, при справедливых условиях игры». В срдзц с этой задаче^ Монмор доводьмо

Ш

подробно останавливается на переписке Паскаля и Фер­ма, приводя, в частности, полный текст письма Паскаля от 24.VIII 1654 г. [ 47, стр. 233—244]. Монмор прежде всего рассматривает следующую задачу: «Три игрока условились сыграть три партии при условии, что если Пьер, которому недостает только одной партии, выиграет ее раньше, чем один или другой из остальных игроков выиграет две партии, то он является выигравшим; и что он проиграет игру, если один или другой из остальных игроков, которым недостает по две партии, выиграет их раньше, чем он выиграет одну партию». Нужно найти вероятности выигрыша для каждого игрока. Монмор по­лучает ответ, рассматривай следующую таблицу:

«Из 27 положений трех костей имеется 17, приводя­щих к выигрышу Пьера, 5 — приводящих к выигрышу Поля и 5 — к выигрышу Жака». После этого дается общее правило, которое «заключается в том, чтобы рас­смотреть, за сколько бросаний костей игра необходимо должна окончиться; взять столько костей, сколько этих бросаний, и дать этим костям столько поверхностей, сколько имеется игроков; затем остается только опреде­лить из всех возможных положений костей, какие яв­ляются благоприятными и неблагоприятными для каж­дого игрока, что легко сделать».

Это правило иллюстрируется рядом задач. Напри­мер: Пьеру недостает одной, Полю — двух и Жаку — трех партий; Пьеру недостает 5, а Полю — 6 партий; и т. п.

Четвертая часть содержит решение различных задач и в том числе пяти задач Гюйгенса. В частности, здесь имеется задача о продолжительности игры. В конце Мон­мор предлагает четыре задачи:

1. Определить, каково преимущество банкомета при игре в тринадцать.
2. Задача, связанная с карточной игрой «гер».
3. Задача* связанная с игрой з «ферму» — игрой р карты, похожей на «очко»,

4. Задача, связанная с игрой, похожей на расклады­вание пасьянса.

Далее идет переписка Монмора с И. и Н. Бернулли* В письме от 9.ІХ 1713 г. [47, стр. 401—402] Н. Бернулли предложил Монмору следующую задачу. Два игрока А и В играют в герб и решетку на следующих условиях: игра продолжается до тех пор, пока не выпадет герб, и игрок В платит 2 монеты игроку А, если герб выпадет при первом бросании; 4 монеты, если при втором; 8, если при третьем и т. д. Спрашивается, сколько игрок А должен заплатить В перед началом игры, чтобы игра была безобидной.

Для безобидности игры нужно, чтобы А заплатил В количество монет, равное математическому ожиданию выигрыша, которое равно:

2-1/2+4-1/4+8- 1/8+...+2^п-1/2"= п.

Следовательно, математическое ожидание выигрыша стремится к бесконечности и А должен заплатить В до начала игры бесконечно много монет, что явно бессмыс­ленно. Этой задачей занимался Д. Бернулли, поместив­ший свое исследование в Трудах Петербургской Акаде­мии наук [60]. Именно поэтому задача получила название петербургской, или петербургского парадокса.

Основными работами де Муавра (1667—1754 гг.) по теории вероятностей являются «Учение о случаях» (пер­вое издание было в 1718 г., второе — в 1738 г., третье — в 1756 г.) и «Об измерении жребия» (1711 г.).

Абрахам де Муавр, член Королевского общества с 1697 г., был также членом Парижской и Берлинской Ака­демий наук. Известен своими работами по рядам. Нашел правила возведения в степень и извлечения корня п-й степени из комплексных чисел; теперь эти правила назы­ваются формулами Муавра. Муавр независимо от Стир­линга получил асимптотическое разложение

я!=У 2лл п^Пе~^п и широко им пользовался.

В своей работе «Учение о случаях» Муавр рассматри­вает вопрос о продолжительности игры, занимается ис­следованием вопросов, связанных с теоремой Я. Бер­нулли.

Задача о продолжительности игры была предложена еще Гюйгенсом. Муавр неоднократно к ней возвращает­ся [48, стр. 227; 49, стр. 52].

Рассмотрим кратко эту задачу. Пусть имеется двое игро­ков А и В. Вероятности выиграть определенную партию у них будут соответственно р и q — 1 — р. В начале игры А имеет а монет, а В имеет Ь монет. Необходимо найти вероят­ность Р_а, что А проиграет все свои деньги раньше, чем он выиграет все деньги у В. Рь определяется аналогично. Мож­но показать, что эта игра имеет конец, т. е. Р_а + Рь — 1.

Муавр получил следующий ответ:

р (9/Р)^а~1 ^Ь (q/P)^a+b - 1'

Он также нашел, что ожидаемое число игр будет

ЬР_ь-аР_а p — q

Он показал также общий метод нахождения Р_а.п + Рь.п, где Ра,п — вероятность того, что разорение А случится за п игр; Рь, п — что Ь разорится за п игр. Он нашел Рь, п для случая, когда а бесконечно и Р_а, „ =0.

Однако за несколько месяцев перед тем, как эти резуль­таты Муавра появились в печати (так как Philosophical Trans­actions за 1711 г. вышли значительно позже 1711 г.), Монмор опубликовал в 1713 г. решения, дающие Р_а, _п и Рь, п- В 1710 г. Монмор нашел метод для вычисления Р_а,_п и Рь, п в случае p — q. Он послал свои соображения Иоганну Бернулли, который переправил это письмо своему племянни­ку Николаю. В своем ответном письме от 26.11 1711 г., которое и опубликовал Монмор, Николай Бернулли дает без доказательства решение этой задачи для p=j=q.

В современных обозначениях это может быть запи­сано так:

n—b—2ts—2>a—i і . n—b—2ts—2a—i

p           я + q           p)\, где s=a+b. Суммирование происходит по тем t, которые приводят к неотрицательным показателям степени.

Изучая таблицы смертности, Муавр в конце своей книги «Учение о случаях» предложил простое уравнение

для закона смертности между 22-летним возрастом и до предела долголетия, которое он принимал за 86 лет. Это уравнение прямой линии у—86—х, где х — возраст меж­ду 22 и 86 годами; у — число людей, достигающих х лет. Придавая х значения 23, 24, 25..., мы получаем, что 63 человека достигают 24 лет, 62 достигают 24 лет, 61— 25 и т. д.

Как мы уже говорили, из теоремы Бернулли не сле­дует, что m/n обязательно будет сближаться с р при уве­личении п. Число появлений события, т. е. число т, за­висит от случая, и поэтому возможны значительные от­клонения т/п от р. В работе «Аналитическая смесь» (1730 г.) Муавр исследует вопрос о том, с какими вероят­ностями отклонения т/п от р могут принимать те или иные значения. Муавр нашел частное решение для слу­чая р= 1/2, т. е. для р—1/2 он исследовал, с какими ве­

— —р принимает различные значения. П I

Позже Лаплас распространил теорему Муавра на любые р, не равные 0 и 1. Теорема Муавра — Лапласа явилась после теоремы Бернулли второй основной пре­дельной теоремой теории вероятностей.