ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Состояние теории вероятностей в Европе перед появлением русской (Петербургской) школы

Развитие теории вероятностей в первой половине XIX в. проходило в столкновении противоречий. Ярким свиде­тельством этому является творчество Лапласа. Так же было противоречиво и творчество Пуассона.

Математическое наследие Пуассона (1781—1840 гг.) очень обширно. К теории вероятностей относятся следую­щие его работы: «О вероятности средних результатов наблюдений» (І827 г.); «Продолжение мемуара о веро­ятности средних результатов наблюдений» (1832 г.); «О преимуществах банкомета при игре в фараон»; «О ве­роятности рождений мальчиков и девочек» и некоторые другие.

Все эти работы в какой-то мере вошли в основную работу Пуассона по теории вероятностей: «Исследования о вероятности судебных приговоров по уголовным и гражданским делам» [81]. В этой работе содержится и его известная теорема.

В своей книге Пуассон дает краткий очерк того, что уже было сделано в теории вероятностей. Он уделяет большое внимание работам Кондорсе и Лапласа о нрав­ственной вероятности.

Пуассон утверждает, что аналитическая теория ве­роятностей применима к оценке правильности решений судов. Он ставит перед собой задачу определения веро­ятности ошибок в решении судов и считает, что теорема Я. Бернулли не дает математического основания для та­кого применения. Чтобы создать такую основу,- Пуассон занялся предельными предложениями теории вероятно­стей. В результате он доказал свою знаменитую теорему, которой дал название «закон больших чисел».

Теорема Пуассона говорит о следующем. Если про­изводится"'^ независимых испытаний, результатами

которых является наступление или ненаступление собы­тия А, причем вероятность наступления события в от­дельных испытаниях неодинакова, то с вероятностью, сколь угодно близкой к единице (или, другими слова­ми, — к достоверности), можно утверждать, что частота т/п наступления события А будет сколь угодно мало от­личаться от средней арифметической р вероятностей на­ступления события в отдельных испытаниях; теперь эту теорему записывают так:

Если же вероятность наступления события не будет изменяться от испытания к испытанию, то р=р, и теоре­ма Пуассона в этом случае переходит в теорему Я. Бер­нулли, которая, таким образом, является частным слу­чаем теоремы Пуассона.

Все явления как морального, так и физического по­рядка, по Пуассону, подчинены этому универсальному закону. Он рассматривал эту теорему не только как ма­тематическую, но и как философскую. Она служила ос­нованием для его исследований о верности решений су­дов и применительно к явлениям нравственного порядка. Он считает, что при помощи своего принципа он может найти вероятность любого человеческого решения, неза­висимо от того, какие мотивы привели к этому решению. В его работе имеются формулы, выведенные из анализа очень большого числа прошлых решений, которые выра­жают «точную вероятность» для каждого гражданина быть в будущем (при действии одного и того же зако­нодательства) обвиненным, осужденным или оправ­данным.

В этой книге Пуассон получил и так называемый за­кон малых чисел.

Чем больше значение р отличается от '/г, тем хуже результат асимптотического представления Р_т,п в виде

1      —х^г/%

yZr* . Для того чтобы в этом случае теорема Лап­ласа давала результат с незначительной ошибкой, необ­ходимо увеличить число испытаний п, что не всегда удоб­но и возможно. Таким образом, возникает задача отыска­ния асимптотической формулы, которая была бы спе-

циально приспособлена для малых р (или малых <7=1—р; эти случаи сводятся один к другому). Эта задача была решена в книге Пуассона (81]. Он нашел, что если ря—“О при П-* ОО, то вероятность того, что событие появится т раз, стремится к

где %=пр_п.

Эта формула Пуассона может использоваться в ка­честве приближенного выражения для Р_тп при постоян­ном, но малом р и большом п.

Польский статистик Л. Борткевич в конце XIX в. на­звал распределение Пуассона законом малых чисел. Борткевич применял формулу Пуассона к очень редко встречающимся явлениям: смерть от удара копытом ло­шади, рождение троен и т. п.

Книгу Пуассона поддержали в первую очередь мате­матики, которые считали естественным применять теорию вероятностей к законодательству, юриспруденции, поли­тическим и экономическим наукам.

Но это мнение не было единодушным. Ряд математи­ков выступил резко против такого применения. Они об­винили Пуассона и его последователей в компрометиро­вании самой математики. В споре доходили до утверж­дения, что положения Пуассона ложны. Эта критика распространилась также и на Лапласа.

Характеризуя состояние теории вероятностей в этот период, Б. В. Гнеденко пишет, что несмотря на то, что Лаплас и Пуассон завершили большой и плодотворный начальный период развития теории вероятностей, период философского осмысливания первичных понятий этой науки.

«Этот период привел на Западе к более чем холод­ному отношению к теории вероятностей и к настояще­му отрицанию возможности посредством ее методов изу­чать явления природы. Для теории вероятностей на За­паде наступил долгий период застоя» (82, стр. 394].

Характерна в этом отношении деятельность бельгий­ского статистика А. Кетле (1796—1874 гг.). Находясь в Париже в 1823—1824 гг.. Кетле познакомился с Лапласом, слушал его лекции по теории вероятностей.

Работы Кетле были написаны под влиянием взглядов Лапласа.

Кетле является крупным статистиком. Его энергич­ная практическая деятельность поставила бельгийскую статистику на большую высоту. Его теоретические рабо­ты также содержат много ценного материала. Но основ­ная идея Кетле совершенно несостоятельна. Кетле счи­тал, что человеческим обществом управляют законы тео­рии вероятностей. Меры склонности к преступлению, бра­ку и т. п. Кетле считает математическими вероятностями. Он, например, пишет: «Эту вероятность (0,0884) можно рассматривать как меру видимой склонности к браку живущего в городе бельгийца» (84, стр. 79]. Кетле вы­двинул в качестве основной задачи исследования стати­стики выяснение характера среднего человека. Согласно Кетле, средний человек является совершенным типом, а отдельные индивиды являются искаженным представ­лением этого типа. «Средний человек, служащий типом нашей породы, есть, в то же время, и тип красоты» (84, стр. 38]. Кетле изображал свойства среднего челове­ка вечными и неизменными. Проникнутый стремлением открыть законы сохранения среднего человека, а с ними и законы сохранения общества в целом, Кетле по суще­ству, пытался доказать вечность существующего капита­листического общества. «Абсолютное невмешательство в частные дела является верховным принципом» (83, стр. 81] — вот одно из основных положений Кетле.

К. Маркс писал о Кетле в 1869 г.: «В прошлом у него большая заслуга: он доказал, что даже кажущиеся слу­чайности общественной жизни вследствие их периодиче­ской возобновляемости и периодических средних цифр обладают внутренней необходимостью. Но объяснение этой необходимости ему никргда не удавалось. Он не двигался вперед, а только расширял материал своего наблюдения и исчисления» (85, стр. 7].

. Количество работ, посвященных неоправданным применениям теории вероятностей к жизни общества, росло. Это привело к тому, что к середине XIX в. теория вероятностей зашла в некоторый тупик. Ввиду того, что не были ясны области ее приложений, стало распрост­раняться мнение, что теория вероятностей не имеет от­ношения к естествознанию и математике.

• 12. Теория вероятностей в России до работ Петербургской школы

Если не принимать в расчет работ, выполненных в стенах Петербургской Академии в XVIII в. Л. Эйлером и Д. Бернулли, то можно сделать вывод, что интерес к теории вероятностей в России стал проявляться лишь в 20-х годах прошлого столетия.

По-видимому, впервые вопрос о теории вероятностей в истории высшего математического образования в Рос­сии был поставлен в Вильнюсском университете. В на­чале XIX в. в этом университете большое влияние «а преподавание математики имел проф. И. А. Снядецкий. В 1808 г. на научной сессии университета он выступил с программной речью о перспективах развития математи­ки в университете. Касаясь теории вероятностей, он го­ворил, что со временем, когда математические науки в университете получат достаточное развитие, необходимо будет подумать об организации кафедры теории вероят­ностей.

Снядецкий неоднократно выступал по методологиче­ским вопросам математики. На научной сессии 1817 г. его выступление было посвящено теории вероятностей. Из этих кратких дошедших до нас сведений мы можем заключить, что введение в 1829/30 учебном году чтения дополнительного (факультативного) курса по теории ве­роятностей было естественным результатом отношения к этой науке в Вильнюсском университете-

Университет в донесении Министерству по поводу чтения этого курса пишет: «Физико-математическое от­деление обращало внимание на то, что правдоподобные вычисления, составляющие обширную отрасль матема­тических наук, до сих пор не были еще преподаваемы в университете, между тем как вычисления сии весьма важны и приносят значительную пользу, ибо на оных основываются действия ассекурационных обществ. Слав­ный же Лаплас успел приноровить оные к геодезиче­ским и другим подобным действиям, а потому означен­ное отделение полагает полезным ознакомить обучаю-’ щихся математическим наукам с таковыми вычисления­ми» [86, стр. 62]. Далее в донесении говорится, что ма­гистр философии Сигизмунд (Зигмунт) Ревковсжий (1807— 1893” тгг) является подходящей кандидатурой для чтения этих лекций. Приводится краткая научная характеристика Ревковского, в которой указано, что Ревковский «по своей собственной охоте трудится около двух лет над сочинением о правдоподобных вычислени­ях» [86, стр. 62]. К сожалению, это сочинение Ревков­ского не сохранилось.

В 1829/30 г. Ревковский впервые в России стал чи­тать курс теории вероятностей. Сохранилась составлен­ная им программа этого курса (см. [86]) '.

В начале программы идет объяснительная записка. Хотя Ревковский стоит на позиции детерминизма в духе Бернулли — Лапласса, его трактовка этого вопроса не­сколько самобытна и представляет несомненный инте­рес. «Каждое явление в природе является результатом одной из многих сил, действующих согласно некоторому закону. Если эти силы нам известны, тогда (можно в не­которых случаях вычислить и заранее предсказать яв­ление, которое должно произойти совершенно так же, как астрономы предсказывают движение небесных тел, затмения и т. д.

Однако, когда силы, вызывающие данное явление, и законы, согласно которым они действуют, нам либо со­вершенно неизвестны, либо они так разнообразны и сложны, что они не поддаются вычислениям, тогда об­наружение такого явления является гадательным и обычно приписывается Судьбе. Таким образом судьба своим существованием обязана нашему незнанию или неосведомленности: чем больше мы познаем законов и сил в природе, тем меньше явлений будет зависеть от судьбы. Надежда, что явление, зависящее от судьбы, произойдет, может быть большей или меньшей» [86, стр. 67].

Мерой надежды, по Ревковскому, и есть вероятность, которой он дает классическое определение.

«Наука, дающая способы точного вычисления вели­чины надежды или, иначе, вероятности какого-либо явле­ния, есть особая ветвь прикладного анализа, которую мы называем исчислением вероятностей» (86, стр. 67].

¹ В [86] не указан источник, откуда взята эта программа. По просьбе автора [86] восполняем этот пробел. Программа хранится в

сописном фонде библиотеки Вильнюсского университета им.

Капкукаса: д. 325, «Рапорты» (программа написана на польском языке).

Далее идет сама программа. Часть, относящуюся собственно к теории вероятностей, мы приведем полно­стью.

«Общая теория вычисления вероятностей, а именно:

1. Как обозначают вероятности сложных явлений, когда вероятности простых явлений постоянны и нам из­вестны.
2. Как обозначаются вероятности сложных явлений, когда вероятности простых явлений нам известны, но не постоянны и изменяются непрерывно согласно некоторо­му закону.
3. Закон Якова Бернулли и его следствия.
4. Как обозначаются вероятности сложных будущих явлений, когда вероятности простых явлений неизвест­ны, но постоянны.
5. Как наилучше выразить вероятности будущих яв­лений, исходя из наблюдений прошлых явлений.
6. Как а фортериори обозначать вероятности буду­щих событий, когда вероятности простых событий неиз­вестны и изменяются непрерывно согласно некоторому закону» (86, стр. 67.]

На этом собственно заканчивается программа по тео­рии вероятностей. Далее идут различные «применения».

«1. К натуральной философии. Так как принципом натуральной философии является наблюдение, приме­нения эти следующие:

Какие суть вероятности, что некоторая функция оши­бок наблюдений заключается в некоторых ей присущих границах. Каков общий способ получения из условных уравнений значений неизвестных элементов, как бли­жайших к истинным значениям.

Способ этот из-за несовершенства анализа можно при­менить только в некоторых особых случаях. Метод наи­меньших квадратов дает результаты наибольшие к истине.

Как с помощью наблюдений можно проследить нали­чие в природе известной причины или силы, если ре­зультат ее очень мал или же редко наблюдаем; здесь можно приписать причину как ошибке наблюдения, так и судьбе. Эта проблема является важным вопросом вы­числения вероятности и объяснена будет на нескольких частных примерах» [86, стр. 67—68].

Далее идет применение к геодезии, «к моральным и политическим- наукам», где рассматривается вопрос:

7 Л. Е. Майстров

«Как большая или меньшая рассудительность и чест­ность свидетелей влияет на вероятность событий, отно­сительно которых они свидетельствуют» и т. п. [86, стр. 68].

Следуя программе, далее должны изучаться таблицы смертности, а затем идут «применения ко всякого рода играм и страховайию». Наряду с другими вопросами, здесь рассматривается «моральная надежда». Про­грамма заканчивается вопросами, связанными с различ­ными видами страхования.

Эту программу в 1830 г. Академия наук дала на от­зыв М. В. Остроградскому. Сделав несколько замечаний о расположении некоторых вопросов в программе, Ост­роградский, в целом, отзывается о ней хорошо [167, стр. 277].

В этом отзыве Остроградский также пишет о жела­тельности введения преподавания теории вероятностей во всех университетах и даже в гимназиях. «Я считаю, что Академия наук оказала бы услугу весьма полезную и достойную первого ученого сословия в государстве, если бы употребила все свои усилия по введению препо­давания вычисления вероятностей во всех отечествен­ных университетах и даже в гимназиях, дабы начала сей науки заблаговременно напечатывались в умах уча­щихся» [167, стр. 277—278].

Интересно отступление Остроградского, в котором он говорит о самой теории вероятностей: «Наука веро­ятностей есть одно из важнейших приспособлений мате­матического анализа: философия природы обязана ей многими методами, посредством коих из великого числа наблюдений определяются элементы, на коих основаны важнейшие астрономические теории; она подала повод к тем полезным общественным заведениям, известным нам под именем страховых компаний; посредством ее усматриваем мы существование причин, имеющих дей­ствия меньше, нежели самые погрешности, при наблю­дениях встречающиеся. С каждым днем увеличивается влияние сей отрасли анализа, приспособляемой ныне и к самым политическим и нравственным наукам» [167,

Конференция Академии наук 2 июня 1830 г. рассмот­рела отзыв Остроградского и записала в своем протоко­ле: «Остроградский замечает, что, по его мнению, было

бы полезным делом со стороны Академии, если бы она сделала все от нее зависящее для введения преподава­ния теории вероятностей во всех университетах импе­рии. Академия, одобрив как доклад г. Остроградского, так и в особенности этот последний совет, узнала с удо­влетворением, что та же мера уже предлагалась мини­стру гг. Вишневским и Коллинсом, мнение которых зап­росила комиссия по реорганизации школ и университе­тов, когда дело шло о редакции плана преподавания ма­тематики» [167, стр- 276—277].

Все это свидетельствует о том, что в те годы назрела необходимость преподавания теории вероятностей. Не­смотря на это теория вероятностей в русских универси­тетах вводилась очень медленно.

В 1830 г. в Вильнюсском университете была учреж­дена кафедра теории вероятностей и Ревковский назна­чается профессором этой кафедры. Интересна дальней­шая судьба Ревковского. Польское восстание 1830— 1831 гг. нашло свои отголоски и в Вильнюсе. Универси­тет был закрыт, а Ревковский был осужден на смертную казнь, которую затем заменили пожизненной каторгой. После нескольких лет, проведенных в тюрьме на Кавка­зе, он был освобожден и в качестве рядового солдата привлечен к выполнению топографических работ. Впо­следствии он получил чин капитана, а позже и диплом инженера путей сообщения. Выйдя в отставку и вернув­шись в Вильнюс, Ревковский занялся политической эко­номией и опубликовал ряд книг по этому предмету.

Своя работы, которые были связаны с применением математики к различным производственным процессам, он начал публиковать с 1866 г.^[1]

В Московском университете впервые теорию вероят­ностей в 1850 г. начал читать Август Юльевич Давидов (1823—1885 гг.). В архиве Московского университета со­хранилась программа по теории вероятностей, составлен­ная А. Ю. Давидовым на 1851/52 учебный год для сту­дентов 3-го курса [87]. Ввиду несомненного интереса, ко­торый представляет эта первая в Московском универси­тете программа по теории вероятностей, приведем ее пол­ностью.

«Программа математической теории вероятностей для студентов физ.-мат. факультета на 1851/52 уч. г.

Определение вероятностей a priori

Об относительной вероятности.

О вероятности сложных событий.

Теорема Я. Бернулли.

О математическом и нравственном ожидании.

Определение вероятностей a posteriori

Определение вероятности причин.

Определение вероятности будущего события из наб­людений.

Приложение теории вероятностей к статистике

Составление таблиц смертности и употребление их для определения вероятной жизни, средней жизни и ме­ры долголетия.

О страховых учреждениях

О пожизненных доходах и вдовьих кассах.

Определение наивероятнейших результатов из наб­людений-

Лит. Буняковский, Математическая теория вероят­ностей, Пуассон, Теория вероятностей, Лаплас, Теория вероятностей.

А. Давидов 11 августа 1851 г.».

Теория вероятностей была излюбленным предметом преподавания Давидова. Он ее читал много лет.

В 1854—1857 гг. Давидов опубликовал несколько статей по теории вероятностей.

В статье «Приложение теории вероятностей к стати­стике» [131] он исследует вероятность того, что значение данной функции заключено в определенных пределах.

В статье «Приложение теории вероятностей к меди­цине» [156] Давидов рассматривает использование ста­тистических методов при выявлении симптомов болез­ней, в диагностике и другие вопросы. К работе прило­жена обширная таблица, при помощи которой он реша­ет различные вопросы. Например, в 200 случаях заболе­ваний некоторый признак появляется 130 раз. Можно ли его считать симптомом болезни? По таблице определя­ются пределы вероятности повторения этого признака: 56/100 и 74/100; так как они оба больше 1/2, то делает­ся вывод о возможности считать данный признак симпто­мом болезни.

Следует отметить, что Давидов один из первых вы­ступил против теории среднего человека Кетле. Он писал: «Подобный человек не только не может представлять тип человеческого рода, но без всякого сомнения есть существо невозможное» (157, стр- 16].

В Петербургском университете впервые начал читать лекции по теории вероятностей в 1837 г. В. А. Анкудо- вич; он читал этот курс до 1850 г. С 1850 г. по 1860 г. теорию вероятностей читал В. Я- Буняковский. В 60-е годы лекции по теории вероятностей в разных универси­тетах начинают читать математики первой величины: в Петербургском — П. Л. Чебышев, в Берлинском — Э. Куммер (1810—1893 гг.) и др.

Одними из первых серьезных работ в России, касаю­щихся теории вероятностей, были две работы Н. И. Ло­бачевского. К вопросам теории вероятностей он пришел из следующих соображений. Лобачевский неоднократно говорил, что только с помощью опыта можно выяснить свойства окружающего пространства. Более того, он даже предпринял такую опытную проверку, результаты которой опубликовал в 1829 г. в работе «О началах гео­метрии». Он высчитал, что сумма углов в треугольнике Земля—Солнце—Сириус отличается от двух прямых менее, чем на 0",000372 ^[2] [88, стр. 209]. В связи с тем, что полученная величина очень мала, возник естественный вопрос об оценке ошибок наблюдения, а для его решения нужны были сведения по теории ошибок.

В связи с этим в работе «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» Лобачевский в главах XII и XIII рассматривает решение прямолинейных и сфери­ческих треугольников с учетом того, что первичные дан­ные получены с известной степенью точности.

Лобачевский пишет: «Ошибки в их соединении могут быть одна другой противными, следовательно, частию, по крайней мере, уничтожаться. Ожидать этого тем ско­рее должно, чем более чисел складываются, а потому

весьма редко бывает, чтобы здесь неверность выходила по возможности самая большая. Итак, достоинство решения будет определено вполне тогда только, когда сверх точности вычисления покажем, с какою вероятно- стию происходят ошибки» [89, стр. 397—398]. Таким об­разом, Лобачевский пришел к задаче нахождения зако­на распределения суммы заданного числа взаимно неза­висимых случайных величин, имеющих одинаковое рас­пределение вероятностей. Эта задача решается как в «Новых началах геометрии», так и в работе «Вероят­ность средних результатов, полученных из повторных на­блюдений» [90], которая была опубликована в 1842 г. в журнале Крелля.и является переработкой соответствую­щих параграфов «Новых начал геометрии».

^[1] На эту сторону деятельности Ревковского впервые обратил вни­мание 3. Жемайтив.      і

^[2] У Лобач«#ского здесь ошибка, должно быть 0",00000372 (см. [88, стр. 286]),