ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Работы Кардано и Тарталья

Существенным шагом в развитии вероятностных пред­ставлений явилась работа Д. Кардано (1501—1576 гг.) «Книги об игре в кости» *. Она была найдена в бумагах Кардано в 1576 г., после его смерти, и впервые опублико­вана в первом томе собрания сочинений, изданном в 1663 г. Сам Кардано указывает, что эта работа была на­писана в 1526 г.

В главе XI, которая называется «О бросании двух костей», Кардано говорит: «При бросании двух костей возможны 6 случаев выпадения по два одинаковых чис-

¹ Перевод этой работы на английский язык опубликован в при­ложении к [25]. Следует, однако, отметить, что в этой хорошо издан­ной книге в некоторые таблицы Кардано вкрались ошибки

ла очков и 15 случаев выпадения разного числа очков, т. е. считая и двойные 30, следовательно, всего возмож­ны 36 случаев» [26, стр. 264].

Так Кардано находит число всех случаев при броса­нии двух игральных костей. При этом он отчетливо раз­личает перестановки. Под двойными івьгладенияіми он понимает, например, такие: на первой кости выпало 2, на второй 3, и, наоборот, на первой 3, а на второй 2.

Далее Кардано указывает число возможных случа­ев появления, по крайней мере на одной кости, опреде­ленного числа очков при бросании двух игральных ко­стей.

Число таких случаев 11. Действительно, выпишем, например, все случаи, у которых единица будет встре­чаться хотя бы один раз: 1. 1; 1. 2; 1.3; 1. 4; 1. 5; 1. 6; 2.1; 3.1; 4.1; 5.1; 6. 1. Общее число их—11. Далее Кар­дано пишет: «Число это — меньше, чем число случаев от­сутствия данного числа очков. По отношению к общему числу случаев при бросании двух костей оно составляет больше одной шестой и меньше одной четверти» [26, стр. 264]. У Кардано здесь описка: 11 действительно

больше, чем Y , но не меньше чем ^ . По-видимому,

должно быть написано «и меньше одной трети».

При бросании двух игральных костей имеется всего 36 исходов, из которых 30 состоят из разного количества очков на костях, а 6 — из одинакового. Без повторений будет 15 исходов, и если прибавить 3 исхода с одинако­вым числом очков, то мы получим 18, т. е. половину всех возможных исходов. Из этих 18 исходов 9 имеют разное число очков на костях и одновременно разную сумму числа очков на двух костях. Это у Кардано запи­сано следующим образом: «В общее число восемнадцати входят пары равнозначных сочетаний разного числа оч­ков, следовательно, может быть девять пар с разным числом очков» [26', стр. 264].

В дальнейшем под серией игр Кардано понимает 36 бросков. Относительно своего заключения о 6 возможно­стях получить одинаковые числа очков на двух костях и 30 возможностях — разные, он пишет: «Целая серия игр не дает отклонения, хотя в одной игре это может слу­читься..., при большом числе игр оказывается, что дей­ствительность весьма приближается к этому предполо­жению» [26, стр. 265].

Здесь Кардано утверждает, что при малом количест­ве наблюдений частота может отклоняться довольно сильно от доли, или, другими словами, — от вероятности; при большом числе испытаний это отклонение будет незначительно. Этим самым он подошел к пониманию статистической закономерности и закона больших чисел.

В главе XII «О бросании трех костей» Кардано пи­шет: «Одинаковое число очков на трех костях выпадает только одним способом, как и в предшествующем приме­ре; стало быть, всего этих случаев 6. Пар же одинако­вых чисел очков с отличающимся от них третьим числом очков 30. А так как каждое такое сочетание можно по­лучить тремя способами, то это составит 90. Сочетаний из трех различных очков 20; они видоизменяются ше­стью способами; это составит 120 бросаний, всего же комбинаций 216, а половина — 108» [26, стр. 265].

Мы видим, что здесь правильно подсчитано количе­ство всех исходов при бросании трех игральных костей.

Любопытно, что Кардано находит 216 не как произ­ведение 36*6, а другими способами. Далее объясняется, как получены все упоминаемые числа. Например: «Двойные каждого числа очков сочетаются пятью спо­собами. Так как различных чисел очков — шесть, то все­го будет 30 способов или различных вариантов выпаде­ний. Учитывается также и тройная перестановка, так что получается 90» [26, стр. 265]. Аналогично объясняет­ся получение и других чисел.

В этой главе решается также ряд других задач на подсчет различных исходов. Выясняется количество ис­ходов двух различных очков (например, единицы и двойки) при бросании трех игральных костей. «Как еди­ница, так и двойка могут входить в сочетания тремя способами каждая, а всего, стало быть, получается шесть. Эти шесть пар могут соединяться с другими чис­лами очков четырьмя способами..., так что всего полу­чается двадцать четыре» [26, стр. 265].

Сравниваются количества некоторых исходов при бросании двух и трех игральных костей: «Три различных .числа очков, как, например, единица, двойка, четверка, находятся точно в таком же отношении к половинному числу, как и аналогичные числа очков при бросании двух

костей» [26, стр. 265L т. е.— =Д-.

^г                         108    36

В главе XIII «О сложных числах, как до шести, так и свыше, и, как для двух, так и для трех костей» Карда­но очень близко подходит к подсчету вероятностей раз­личных событий. Он пишет: «Десять же очков может получиться из двух пятерок и из шестерки и четверки: последнее сочетание возможно при этом в двух видах; таким образом девять очков также может получиться из пятерки и четверки и из шестерки и тройки, так что это составляет ¹1э часть всей серии, и две девятых ее половины; 8 же очков получается из 4, из 3 и 5, из 6 и 2. Всего же 5 возможных случаев составляют приблизи­тельно ^lh часть из всей серии... 7 очков составляется из: 6 и 1, из 5 и 2, из 4 и 3. Всего, стало быть, имеется 6 возможных случаев, составляющих */в часть всей серий. А 6 очков получается по такому же расчету, как и 8, 5 — как и 9; 4 — как и 10; 3 — как 11; и 2 — как 12» [26, стр. 265]. Фактически он здесь находит вероятности выпадения определенного числа очков при бросании двух игральных костей: 7э, ^lh, 7б— вероятности выпадения соответственно 9, 8, 7. Далее он отмечает, что Р (8) = =Р(6)^/₇; Р(9) =Р(5) = 7э и т. д. Правда, вероятность у него пока не отношение, а часть серии.

Затем дается таблица «совпадения шансов при ме­тании двух костей»

Таблица составлена следующим образом: 2 и 12 мо­гут выпасть только одним способом, 3 и 11 могут вы­пасть двумя способами, 4 и 10 — тремя и т. д. В послед­них трех числах имеется ошибка. Вместо 7, 8, 18, долж­но быть 7, 6, 18. Тогда это означало бы, что 7 может выпасть шестью способами, а 18 — это половина всех возможных исходов, т. е. половина серии, которая часто фигурирует у Кардано.

Кардано дает затем табличку «совпадения шансов при метании трех костей».

Первые два столбца указывают сумму очков, кото­рая может появиться при бросании трех игральных ко­

стей. Третий столбец показывает, сколькими способа­ми данная сумма может появиться. Кардано отчетливо различает количество случаев, при которых могут по­явиться 3 и 4, соответственно 18 и 17 и т. п.

Далее идет довольно подробное объяснение, как по­лучаются эти числа. Например: «Шестерка же при про­стом бросании имеет десять шансов, а именно: три двойки, две единицы и четверку; тройку, двойку и еди­ницу» [26, стр. 265].

В главе XIV «Об одинаковых числах очков» Кардано подсчитывает, в скольких случаях при бросании двух игральных костей может по крайней мере один раз по­явиться 1, в скольких— 1 или 2 и т. д.

«Единица имеет одиннадцать выпадений, также и тройка и так далее каждое число очков в отдельности; однако единица вместе с двойкой выпадает не 22 раза, а 20 раз. Таким образом, если присоединить еще трой­ку, то получится всего выпадений не 29 и не 31, а 27» [26, стр. 265]. Для удобства подсчета приводится такая таблица.

20 И

27     9

32     7

• 5
• 3

Здесь 11 — количество случаев при бросании двух игральных костей, в которых 1 появится хотя бы один раз; 20—количество случаев, в которых 1 или 2 появят­ся хотя бы один раз; 27 — количество случаев, в которых 1, 2 или 3 появятся хотя бы один раз, и т. д.

Числа 3, 5, 7,... — это последовательные нечетные числа, их необходимо прибавлять к 11, чтобы получить искомые числа: 11+9=20;                                        20+7=27;            27+5=32;

32+3=35; 35+1=36. Единица, как очевидное, в табли­це не указана. Эта закономерность может быть получена при следующем рассмотрении. Выпишем все исходы при бросании двух игральных костей.

Количество выпадений единицы, хотя бы один раз, отделено верхней чертой 5+6=11. 20 получается при­бавлением следующего меньшего нечетного числа, кото­рое выражает количество выпадений двойки, хотя бы один раз, и т. д.

После таблицы Кардано делает следующее заклю­чение. «Если, стало быть, кто-либо заявит, что он же­лал бы получить 1, 2 или 3, то ты знаешь, что для этого 27 шансов, а так как вся серия состоит из 36, то остает­ся 9 бросаний, в которых эти числа очков не выпадут; таким образом эти числа будут находиться в тройном отношении.

Следовательно, при четырех бросаниях три выпаде­ния будут благоприятны 1, 2 или 3, и только один раз не выйдет ни одного из этих трех чисел. Если тот, кто ждет выпадения одного из трех указанных чисел очков, поста­вит три асса, а другой один, то сначала первый выигра­ет трижды и получит три асса, а затем второй выиграет один раз и получит три асса; таким образом в общем итоге четырех бросаний шансы их всегда сравняются. Стало быть, такие условия расчета в игре — правильны; если же второй из них поставит больше, то ему придется состязаться в игре на неравных условиях и с ущербом для себя; а если он поставит меньше, то с барышом» [26, стр. 266].

. Далее рассматривается случай для 1, 2, 3 и 4 очков; а затем делается заключение, что «такой же расчет следует применять и при бросании трех костей» [26, стр. 266J.

По существу, он приближается здесь к определе­нию безобидной игры, т. е. игры, в которой математиче­ское ожидание выигрыша равно величине ставки. В этом заключении Кардано не говорит, что приводимые ут­верждения справедливы в том случае, если игра продол­жается достаточно долго, но он неоднократно подчерки­вает это в других местах своей книги.

В правиле для подсчета величины ставок Кардано вплотную подошел к определению вероятности через от­ношение равновозможных событий.

«Итак, имеется одно общее правило для расчета: необходимо учесть общее число возможных выпадений и число способов, какими могут появиться данные выпа­дения, а затем найти отношение последнего числр к чис­
лу оставшихся возможностей выпадений; приблизитель­но в такой же пропорции определяются относительные размеры ставок для того, чтобы игра шла на равных ус­ловиях» [26, стр. 266].

Кардано в этом отрывке говорит, что если возможное число испытаний равно п, а число благоприятных испы­таний— т, то ставки должны быть в отношении ^ш_п™_т-

Ввиду того, что все примеры взяты из игр в кости, равно- возможность случаев подразумевается. У Кардано гово­рится о «приблизительно» такой же пропорции ставок.

Дело в том, что отношение------------ в рассматриваемых зада-

п—т

чах иногда бывает такое, что точно в денежных едини­цах его нельзя выразить. Например: «Для выпадения единицы имеется одиннадцать шансов, так что соответ­ствующие шансы будут относиться, как двадцать пять к одиннадцати, т. е. их отношение будет немногим больше двух».

Далее рассматривается задача о выпадении опре­деленного числа очков (двойки) по крайней мере один раз в серии из трех бросаний, а затем по крайней мере один раз в каждой из двух серий по три бросания и в каждой из трех серий по три бросания. «Пусть кому- либо необходимо, чтобы выпала одна двойка; этому чис­лу... соответствует 91, в остатке же 125, умножаем каж­дое из этих двух чисел в отдельности само на себя и получаем 8281 и 15 625, т. е. отношение, почти равное двум к одному... Если же при метании трех костей было бы необходимо выпадение одного очка, то получится соотношение чисел 753 571 и 1 953 125; пропорция же этих чисел ближе всего к соотношению пяти и двух, но несколько его превышает». Здесь 753571=91®; а 1953125=125®. Кардано в этой задаче пользуется тео­ремой умножения вероятностей. Так, отыскивая величи­ну ставок при двух сериях, он поступает следующим об- _          п          т^г

разом:------- возводит в квадрат и получает------------------- ,а это

п—т                                                                      (п т)^г

означает, что соответствующие вероятности находятся по теореме умножения: = — . — = — ;

П П Л²

и ставки пропорциональны этим вероятностям:

Pi _ m*_ _ (я — m)^[1] _ и² Ях~ п^г ' я² ~ (я —/я)²

Аналогично он поступает и при трех сериях бросаний.

Далее следуют д!ве главы, связанные с историей азартных игр. Кардано пишет о том, что изобретателем азартных игр был Галамед во время Троянской войны. Осада этого города длилась десять лет, и для спасения от скуки были выдуманы игральные кости.

Кардано приводит много высказываний древних об игре в кости, а также разные приемы жульничества во время игры.

Далее рассматривается игра с астрагалами, причем считается, что различные стороны астрагала имеют зна­чения 1, 3, 4, 6. Бросают четыре астрагала и подсчиты­вают количество благоприятных случаев при различных исходах.

Кардано указывает, что бросок, при котором выпа­дает более одной единицы, «называется „собакой", пото­му что, каковы бы ни были другие кости, бросок не мо­жет превысить среднего числа» [25, стр. 238], и отмечает, что средним числом при бросании четырех астрагалов бу­дет 14. Это было бы справедливо в том случае, если бы вероятности выпадения различных сторон астрагалов были равны между собой.

В 1570 г. вышла книга Кардано, состоящая из трех его работ. Первая из них называлась «Новый труд о пропорциональностях». В этой работе содержится ряд задач, связанных с комбинаторикой. Например, он вы­писывает все 15 сочетаний из б элементов по два; ссылаясь на Штифеля, выписывает биномиальные ко­эффициенты; утверждает, без доказательства, что число всевозможных сочетаний из п элементов равно

обходимо выиграть каждому из игроков. Однако, пра­вильно указав на ошибку, Кардано сам не сумел найти верное решение этой задачи. Так, он считал, что если Sколичество партий, до которого должна была про­должаться игра по условию, р и q — количество выиг­ранных партий партнерами, то ставку необходимо де­лить в отношении

[1+2+3+ ... +(5 — q)\- [1+2+3+ ... + (S — р)[.

Складывая шансы, Кардано фактически пользовался теоремой сложения вероятностей. Он понимал, что при этом события должны быть несовместные.

Фактически Кардано также пользовался теоремой умножения вероятностей для независимых событий. Ко­нечно, во всех этих случаях он не рассматривал вероят­ности, а подсчитывал ставки в безобидных играх, кото­рые пропорциональны вероятностям. Однако сформули­рованное им правило для подсчета величины ставок уже достаточно близко к так называемому классическому определению вероятностей.

Работы Кардано — существенный шаг в развитии ве­роятностных понятий и представлений. Он сделал пра­вильный подсчет количества всевозможных исходов как без повторений, так и с повторениями, при бросании двух и трех игральных костей. Он подошел к пониманию стати_т стической закономерности, высказал некоторые сообра­жения относительно вопроса, который впоследствии будет назван законом больших чисел. Он, наконец, близко по­дошел к определению вероятности через отношение рав­новозможных событий и, используя представление о ма­тематическом ожидании, ввел, по существу, понятие без­обидной игры.

В работе Н. Тарталья (ок. 1499 г.—1557 г.) «Общий трактат о числе и мере», опубликованной в 1556 г., тес­но переплетены вопросы комбинаторики и теории веро­ятностей. Тарталья рассматривает следующую задачу. «Некто размещает 10 человек и подает им столько блюд, сколько может быть различных способов, которыми они могли^ бы усесться, с тем чтобы они никогда не сидели второй раз так, как первый». Решив эту задачу и полу­чив л = 1 •2-3-4-5-6-7-8-9-10, т. е. я=10!, Тарталья заявляет: «Этого порядка действий я буду придержи­
ваться, если бы было хотя бы 1000 человек, или какое угодно число, потому что правило стремится к бесконеч­ности» [34, ч. II, гл. 16, §10].

Тарталья, конечно, не доказывает это правило в об­щем виде.

Далее в работе Тарталья идет заглавие: «Общее правило данного автора, найденное в первый день поста 1523 г. в Вероне, чтобы уметь найти, сколькими спосо­бами может варьировать положение какого угодно ко­личества костей при их метании». Затем идет текст.

«Когда в 1523 г. я находился в Вероне, компания юношей и других лиц более зрелого возраста извлекала при помощи трех костей из книги, называемой «Книга счастья», ответы; каждый из них стремился узнать то, что эта книга ему определяла относительно вопросов, которые подобная книга предполагает указать. Видя, что на каждом листе, согласно имевшемуся у данного автора опыту, указанные три кости могут варьироваться 56 способами и обсуждая это обстоятельство, я решил найти, как при помощи общего правила подобная вещь может быть определена и не только по отношению к указанным трем костям, но и для любого другого числа костей. Я всю ночь так усердно обдумывал этот вопрос, что на следующий день, который был первым днем поста, нашел, что подобные порядки или правила образуются из необычных видов прогрессий».

Подсчет был произведен следующим образом. Одна кость может выпасть шестью способами: 1 + 1+ 1 + 1 + + 1 + 1 = 6. Две кости могут выпасть 21 способом (Тар­талья здесь рассматривает количество выпадений без повторений). 21 получается как сумма шести чисел, где каждое число есть сумма соответствующего числа чле­нов предыдущего ряда. Количество различных выпаде­ний для трех костей получается аналогичным путем. Итак:

Глава заканчивается следующими словами: «При желании объяснить подробно в письменном виде проис-

хождение всех вышеуказанных 6 членов прогрессии по­требуется составить целую книгу. Но действуя таким по­рядком, ты сможешь узнать, сколькими способами 10 000 костей смогут варьировать при их бросании».

Нетрудно видеть, что это фактически суммы следую­щего вида:

• С2 + СЇ + С* + С* + С* + С‘=6 = С,
• СЇ + С^ + СІ + С* +С^ + С*=21=С?;

• СІ + СІ + СІ + СІ+СІ + С? =56=С|;

В случае k костей окончательное число равно сумме шести первых членов разностного ряда (k—1)-го поряд­ка, или шестому члену разностного ряда 6-го порядка, который равен

В § 20 «Ошибка брата Луки из Борго» Тарталья останавливается на задаче о разделении ставки. Он при­водит текст задачи и решение Пачоли с его правилом деления ставки пропорционально числу уже выигранных партий.

Тарталья по этому поводу замечает: «Это его прави­ло мне не кажется ни красивым, ни хорошим, потому, что если бы случайно одна из этих сторон имела 10, а другая вообще не имела никакого очка, то, действуя по такому правилу, получилось бы, что одна сторона, име­ющая указанные 10 очков, должна была бы взять все, а другая не получила бы ничего, что было бы совершенно лишено смысла».

Далее он пишет: «Разрешение такого вопроса явля­ется скорее делом юриспруденции, чем разума, так что при любом способе решения этой задачи здесь найдутся поводы для споров, но тем не менее наименее спорным, как мне кажется, будет следующее». После этого при­водится решение двух задач.

1. 1. Играя до 60 очков, одна сторона набрала 10 очков, а другая 0; как разделить ставку, если каждая сторона ставит по 22 дуката.

2 Л. Е. Майстров

— ------------- от 22 дукатов это будет — = 3 — дуката. Од-

60        6                                                              6              3

2               2

на сторона должна получить 22 + 3— = 25— дукатов, а

3              3

другая 18—-дукатов.

О

2. При тех же условиях одна сторона набрала 50 очков, а другая 30.

Решение:

22            1

— = 7 —. Одна сторона получит 3           3

разделена в отношении 2:1.

Заканчивает этот параграф Тарталья следующими словами: «Решение Пачоли является предметом с небольшим смыслом и с достаточным поводом для спо­ров».

В отличие от Пачоли, который предлагает делить ставку пропорционально выигранным партиям, Тарталья считал, что отклонение от половины ставки должно быть пропорционально разности выигранных партий. При этом одна сторона получала половину ставки плюс еще некоторую сумму, вычисленную по указанному принци­пу, а другая сторона — половину ставки за вычетом этой же суммы. Оба эти решения неверны, так как справед­ливое разделение ставки является разделением ее про­порционально вероятности выигрыша всей ставки при продолжении игры.

Через два года после работы Тарталья, в 1558 г., по­явилась небольшая статья Певероне «Два коротких и легких трактата, первый — по арифметике, второй — по геометрии».

В первой части Певероне рассматривает проблему о разделении ставки. Он решает следующую задачу: А и В играют до 10 партий. А выиграл 7, а В—9 партий. Как разделить ставку? Он считает, что ставка должна быть разделена в отношении 1 :6. Певероне был близок к правильному ответу, который дает здесь 1 : 7.

^[1]"--'^т-^е- (?)+(!)+

В другой работе, «Практика общей арифметики», из­данной в 1539 г., Кардано обоснованно возражал Пачоли по поводу его решения задачи о справедливом разде­лении ставок. Он указывал, что Пачоли, деля ставку пропорционально числу уже выигранных партий, никак не принимает в расчет то число партий, которое еще не-