ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Элементы теории вероятностей у Галилея

Наиболее полное решение задачи о числе всех возмож­ных исходов при бросании трех игральных костей дал Г. Галилей в работе «О выходе очков при игре в кости». Время написания этой работы неизвестно. Впервые она была опубликована в 1718 г. Прием, который предложил Галилей в этой работе, довольно легко можно распро­странить и на большее число костей.

Галилей рассматривает следующий вопрос. Одновре­менно бросают три игральные кости, при этом фиксиру­ется сумма появившихся очков. В этом случае «хотя 9 и 12 получаются в результате стольких же комбинаций, как 10 и 11, и вследствие этого должны были бы приз­наться равноценными, мы видим тем не менее, что в ре­зультате продолжительного наблюдения игроки все же считают более выигрышными 10 и 11, чем 9 и 12. Совер­шенно очевидно, что 9 и 10 (мы говорим о них, имея в виду также 12 и 11) получаются из того же числа ком­бинаций: 9 из 1.2.6—1.3 5—1.4.4—2.2.5—2.3.4—3.3.3, т. е. из шести троек, а 10 из 1.3.6—1.4.5—2.2.6—2.3.5—2.4.4— 3.3.4 и ни при каких других сочетаниях, кроме этих шести» (27, стр. 293]. Почему же 10 более предпочтитель­нее чем 9? Этот вопрос по всей вероятности перед Гали­леем был кем-то поставлен, так как он пишет: «Чтобы вы­полнить данное мне поручение, стоившее мне таких тру­дов, изложу мои соображения в надежде не только разре­шить указанное недоразумение, но и указать путь к точ­нейшему изложению оснований, которые позволят осве­тить все особенности игры» [27, стр. 293].

Количество всех выпадений он находит наиболее про­стым способом: для двух костей это будет 6*6=36, для трех — 36*6=216.

После подробного обсуждения всех возможных ва­риантов Галилей приходит к трем основным положени­ям: «1. Тройка или, другими словами,— числа, получаю­щиеся при выходе трех костей, с тремя одинаковыми оч­ками, не могут получиться иначе, как при одном броса­нии. 2. Тройки, образующиеся из двух одинаковых и третьего отличного от них, могут получиться тремя спо­собами. 3. Те же, которые получаются из трех различных очков, могут получаться шестью способами. Из этих по­ложений мы легко выводим, какими способами или, луч­ше сказать, при каких выходах трех костей могут полу­чаться все числа» [27, стр. 295].

Работа заканчивается следующей таблицей:

Верхняя строка, содержащая числа 10, 9 и т. д., ука­зывает сумму выпавших очков на трех костях. Первый столбец под числом 10 указывает, какими путями может получиться 10 на трех костях (6.3.1; 6.2.2 и т. д.). Сле­дующий столбец — сколькими способами получается 10: если три числа на костях разные, то имеем 6 способов; если два числа одинаковы, то имеем 3 способа, и если все три числа одинаковы, то имеем 1 способ. Число 27, внизу, является общим количеством способов, которыми можно получить 10. Аналогично составлены и остальные столбцы. В самом левом столбце подсчитано общее ко­личество различных исходов — их 108. При рассмотрении суммы больше 10 получается еще 108 исходов. Следова­тельно, всего исходов будет 216, и перед нами, по суще­ству, половина таблицы.

Об этом Галилей пишет: «Точно так же получится и для второй половины чисел,—для чисел 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 и 18, а все вместе даст сумму возможных комби­наций при бросании трех костей, равную 216» [27, стр. 296].

Задача, имеющая многовековую историю, Галилеем решена с исчерпывающей полнотой.

Нам хотелось бы сделать одно замечание. Вероят­ность выпадения 10 очков при бросании трех игральных 27                                                          25

костей равна —=0,125; а 9---- =0,116. Их разность

будет 0,125—0,116=0,009. Такую маленькую разность в практической игре заметить нельзя, хотя бы уже по­тому, что для этого необходимо .сделать очень много бросков одними и теми же костями при одних и тех же условиях, да и кость должна быть идеально правильной. Так что осылка Галилея на то, что эту разность замети­ли игроки, является данью традиционному утверждению, которое существует и до теперешнего времени. Задачи такого типа — это задачи теоретические, и Галилей ре­шал теоретическую задачу. Другое дело, что в азартных играх такие теоретические выводы в какой-то мере мож­но использовать.

В [27, стр. 231—284] наряду с другими работами по­мещена переписка Галилея. В частности, там имеется переписка с Назолини, а также письмо Бенедетто Ка- стелли. В этих письмах обсуждалась, например, такая за­дача. Действительная цена лошади 100 крон; один чело­век оценил ее в 10 крон, другой — в 1000. Кто из них сде­лал более неправильную оценку? Галилей считал, что обе оценки одинаково ошибочны, так как отношение 1000: : 100 и 100: 10 одно и то же. Священник Назолини счи­тал, что высшая оценка более неправильная, так как разность 1000—100 больше, чем 100—10. Из письма Кастелли следует, что первоначально Галлилей придер­живался того же мнения, что и Назолини, а затем изме­нил его.

После изобретения телескопа в астрономии все шире стали проводить наблюдения при помощи различных установок и все актуальней становился вопрос об оцен­ке ошибок наблюдения. Одним из первых эту проблему в своих работа* доставил Галилей. И хотя он не дал количественного или аналитического решения вопроса, многие высказанные им положения оказали большое

влияние как на разработку вопроса об оценке ошибок наблюдения, так и на выработку основных понятий тео­рии вероятностей. Наиболее подробно эти вопросы Га­лилей излагает в «Диалогах о двух главнейших систе­мах мира», которые впервые были опубликованы в 1632 г.

В беседе третьего дня этой книги обсуждается вопрос о том, где находится новая звезда 1572 г.— ниже Луны, выше Луны или на сфере 'неподвижных звезд.

Кратко история этого вопроса такова. 11 ноября 1572 г. в Дании Тихо Браге (1546—1601) заметил яркую звезду в созвездии Кассиопеи. Новая звезда сверкала с такой же яркостью, как Венера, и была видна даже днем. Это удивительное явление взволновало весь мир. Одни считали, что новая звезда принадлежит к подлунному миру переменных земных элементов, другие — что это комета, .сконденсированная из горячих паров. Некоторые относили ее к миру звезд. Последнее противоречило мне­нию о том, что в мире звезд все остается неизменным на вечные времена. Тихо Браге пришел к выводу, что она относится к миру звезд и что вопреки распространенно­му мнению, в эфирном мире (в мире звезд) также проис­ходят изменения. Эти выводы он опубликовал в книге «De Nova Ctella» (1573).

Вскоре после своего появления блеск новой звезды на­чал уменьшаться, и в 1574 г. она совсем исчезла [1]. Но споры о ней не прекращались еще долгое время.

В 1628 г. вышла книга Киарамонти «О трех новых звездах, появившихся в годы 1572, 1600, 1604», в кото­рой автор отстаивает мнение, что расстояние до звезды 1572 г. меньше, чем расстояние до Луны. Галилей в сво­их «Диалогах» вступает по этому вопросу в дискуссию.

Прежде всего Галилей делает замечание о том, что если бы новая звезда находилась среди неподвижных звезд, то ее высоты, измеренные на разных широтах, от­личались бы друг от друга точно на столько же, на сколько в этих точках отличаются друг от друга высоты полюса. Но если новая звезда находилась бы на близ­ком расстоянии от Земли, то ее высота при переходе к большим широтам росла бы быстрее, чем высота полюса. Из разности прироста этих высот, которую Галилей

называет разницей параллакса или просто параллак­сом, легко вычислить расстояние от звезды до центра Земли.

Киарамонти из 13 наблюдений новой звезды разными астрономами составляет по своему усмотрению 12 пар наблюдений. На основании параллаксов в этих парах он вычисляет расстояние до звезды, которое получается равным от V48 радиуса до 32 радиусов Земли, что мень­ше, чем расстояние до Луны. Из этого он делает вывод, что истинное расстояние до новой звезды меньше, чем расстояние до Луны.

Большинство пар наблюдений (а их всего можно со­ставить С18= 78) дают расстояния большие, чем расстоя­ния до Луны, но Киарамонти считает, что наблюдения, помещающие звезду так далеко, ошибочны.

В ходе дискуссии с Киарамонти Галилей приходит к ряду важных принципиальных положений. Он отмечает, что все 12 пар наблюдений, которые учитывает Киара­монти, дают разные расстояния. Это зависит «не от не­достатков правил вычислений, но от ошибок, сделанных при определении углов и расстояний» [28, стр. 212]. Да­лее Галилей пишет, что при наблюдениях всегда проис­ходят ошибки: «В каждой комбинации наблюдений бу­дет какая-нибудь ошибка; я думаю, что это совершен­но неизбежно... Даже при определении одной только вы­соты полюса посредством одного и того же инструмента в одном и том же месте и одним и тем же наблюдателем, которое может быть повторено тысячу раз, всегда полу­чается отклонение» [28, стр. 214].

Итак, Галилей приходит к выводу, что случайные ошибки при инструментальных наблюдениях неизбежны. Он повторяет эту мысль неоднократно. Затем он ставит вопрос о том, как исправить данные наблюдений, чтобы получить достоверные результаты. Другими словами: как учесть случайные ошибки? •

По мнению Галилея, ввиду того что чаще допускают­ся ошибки меньшие, чем большие, необходимо и исправ­ления вносить скорее меньшие, чем большие. Галилей не­однократно повторяет мысль о том, что вероятность ма­лых отклонений больше, чем вероятность больших откло­нений. В дальнейшем этот вопрос обсуждался многими математиками.

Далее Галилей считает, что необходимо отбросить все наблюдения, которые дают невозможные результаты, т. е. отбросить те наблюдения, которые дают результаты, да­леко отстоящие от большинства других результатов.

Затем обсуждается вопрос о том, какого знака могут встречаться ошибки. «Могут ли астрономы при наблюде­нии посредством своих инструментов и определении, на­пример, высоты звезды над горизонтом отклоняться от истины как в большую, так и в меньшую сторону, т. е. ошибочно считать ее то выше, чем в действительности, то ниже? Или же ошибка непременно должна быть только одного рода, иными словами, может ли погрешность при ошибке выражаться только в избытке и никогда в недо­статке или же всегда в недостатке и никогда в избытке?» На эти вопросы Галилей дает определенный ответ: «Мож­но одинаково легко ошибаться как тем, так и другим об­разом» [28, стр. 215], т. е. вероятности этих ошибок оди­наковы. Галилей имеет в виду, хотя это и не совсем от­четливо высказано, что закон распределения ошибок симметричен.

После этого Галилей говорит о широко распростра­ненном ошибочном мнении, когда считают, что по вели­чине ошибки, которая обнаруживается после получения результата наблюдения и соответствующих выкладок, можно судить об ошибках инструмента, на котором про­изводятся наблюдения и, наоборот,— по ошибкам инст­рументов можно судить о величине окончательных по­грешностей. Опровергая это мнение, Галлилей пишет: «Может оказаться (и это частенько случается), что на­блюдение, которое даст нам звезду, например, на уда­лении Сатурна, прибавлением или отнятием одной толь­ко минуты высоты, определенной инструментом, относит ее на бесконечное расстояние-... и то, что я говорю об од­ной минуте, может случиться также при исправлении на половину, на шестую минуты и даже меньше» [28, стр. 216]. После этого следует вывод: «Величину ошибок, так сказать, инструментальных, следует оценивать не по результату вычисления, а по количеству тех градусов, и минут, которые отсчитываются на инструменте» £28, стр. 216].

Галилей говорит о том, что вокруг истинного резуль­тата должно группироваться наибольшее число резуль­татов измерений. Касаясь вопроса о расстоянии до но­вой звезды, он пишет: «Среди возможных мест истинное местонахождение, надо думать, будет то, вокруг которого группируется наибольшее число расстояний» [28, стр. 216].

Заканчивая обсуждение вопроса о расстоянии до но­вой звезды, Галилей пишет: «Совершенно очевидно, что значительно меньшие поправки требуется внести в .на­блюдения, дающие для звезды бесконечную высоту, для помещения звезды на небесном своде, чем в подлунной области. Таким образом, все эти изыскания говорят в пользу мнения тех, кто помещает звезду среди непо­движных звезд» [28, стр. 227].

Справедливость этого вывода следует из того, что большинство наблюдений относят звезду на бесконеч­ную высоту, и для того чтобы ее переместить на небес­ный свод, нужны значительно меньшие исправления в результате наблюдения, чем для отнесения ее на любую другую .высоту; а меньшие ошибки, требующие меньшие исправления, более вероятны, чем большие ошибки.

Окончательный вывод Галилея совершенно справед­лив: «Вы можете понять..., насколько более вероятным представляется, что звезда находилась на расстоянии са­мых далеких неподвижных звезд» [28, стр. 227].

Как мы видим, Галилей пришел к выводу, что ошиб­ки при измерениях неизбежны, закон распределения слу­чайных ошибок симметричен, вероятность ошибки уве­личивается с уменьшением ошибки, около истинного ре­зультата скапливается наибольшее количество результа­тов наблюдения; ошибку, полученную при наблюдениях, никоим образом нельзя сравнивать с окончательными ошибками, которые возникают после расчета с исполь­зованием результатов наблюдений. В этих выводах Га­лилей вскрыл целый ряд характерных особенностей нормального закона распределения вероятностей — в дальнейшем одного из центральных законов теории ве­роятностей (по этому вопросу см. также [29]).

Насколько глубоко эти соображения Галилея отра­жали существо вопроса, следует хотя бы ;из того, что зна­чительно позже, в 1765 г., Ламберт в работе «К вопросу о применении математики», в главе «Теория надежности наблюдений и опытов», приходит к аналогичным выво­дам. Указывавшее различие между систематическими и случайными ошибками, Ламберт говорит, что случайные
ошибки неизбежны, что одинаковые отклонения возмож­ны в обе стороны от середины; что меньшие ошибки встречаются чаще, чем большие. Относительно кривой вероятности (которую он называет возможностью), он пишет, что она симметрична в обе стороны и ее наиболь­шая ордината лежит на оси симметрии; кривая имеет две точки перегиба, а затем асимптотически приближа­ется к оси абсцисс (см. [30]).

• 6. Основные моменты развития комбинаторики

До начала применения анализа бесконечно малых ком­бинаторика являлась основным аппаратом в теории ве­роятностей. С ее помощью решались почти все задачи того времени. Поэтому развитие комбинаторику также сыграло свою роль в истории теории вероятностей, и осо­бенно в ее первый период.

Уже в школе пифагорейцев изучались треугольные числа, тесно связанные с понятием комбинаторики. Это 1; 3—1 + 2;            6—1+2+3;     10— 1 + 2 + 3+4; и вообще

п(я+1)

—г— =1+2 + 3 + ...+/t. Как видно, треугольные числа яв­

/я+1\

Действительно,! ₂ ) = '

. В первые века нашей эры рассматривались

более сложные числа — четырехгранные, которые пред­ставляют числа сочетаний по 3.

В Индии примерно за два века до нашей эры умели составлять так называемый арифметический треуголь­ник Паскаля и знали закон образования его элементов; в частности, было известно, что

'+(Т) ⁺ (*)

Бхаскара II (1114 г.—позже 1178 г.) в сочинении «Венец науки» (ок. 1150 г.) излагает приемы вычислений перестановок и сочетаний. Ему была известна общая

Индийский математик Нарайана (XIV в.) при под­счете стада коров, происходящего от одной коровы за

26 лет, пришел, по существу, к операции нахождений чис­ла сочетаний с повторениями из п элементов по k.

Комбинаторика использовалась, а возможно, и воз­никла, в Индии в связи с подсчетом различных комбина­ций из долгих и кратких слогов в п сложной стопе.

Таблица биномиальных коэффициентов до восьмой степени имеется у китайского математика Чжу Ши-цзе (1303 г.). Возможно, в те времена была известна и об­щая формула для С_п . Имеются сведения, что такие

таблицы были известны в Китае в XII в. Общая теорема о разложении бинома в случае натурального показателя впервые встречается у Джемшида ал-Каши, но, по-ви­димому, она была известна еще Омару Хайяму (XI в.).

Систематическое исследование по вопросам комбина­торики содержится в рукописи Леви бен Герсона (XIII в.). Он получил рекуррентную формулу для вычи­сления числа размещения из п объектов по р (Л£) и, в

частности, получил также формулу для числа перестано­вок из п объектов. Он сформулировал правила, которые эквивалентны следующим формулам:

Но рукопись Леви бен Герсона, по всей вероятности, не была известна его современникам, поэтому позже все эти результаты были переоткрыты.

М. Штифель (1487—1567 гг.) в своей книге «Курс арифметики» (1544 г.) составил таблицу коэффициен­тов для членов разложений (а+Ь)², (а + Ь)³  (а + Ь)¹⁷.

Эти коэффициенты следующие:

1 2 1 для (а + *>)*,

13 3 1 для (а + Ь)⁸,

1 4 6 4 1 для (а + Ь)* и т. д. до 17-й степени.

В этой же работе Штифель сопоставляет ряды чисел арифметической и геометрической прогрессии.

В 1634 г. Эригон во втором томе «Курса математи­ки», который называется «(Практическая арифметика», правильно определяет число сочетаний из п элемен­тов по т.

К верному тшределению приходит и А. Таке в своей «Теории и практике арифметики» (1656 г.), в которой

имеется небольшая глава, посвященная сочетаниям И

перестановкам.

В этот период появляется еще много других работ, в которых в той или иной мере разрабатываются вопро­сы комбинаторики.

Существенный вклад в развитие комбинаторики внес Г. Лейбниц. В 1666 г. была опубликована его книга «Рассуждение о комбинаторном искусстве» {32, сир. 27— 102] (в литературе эта работа часто называется «Ars com- binatoria»). В ней Лейбниц существенно разработал ком­бинаторику— в первую очередь для целей логики, кото­рая была тесно связана у него с построением «всеобщей характеристики».

Кроме того, он рассматривает сочетания, переста­новки, как линейные, так и круговые, а также много дру­гих вопросов. Он фактически пользуется следующими формулами:

©-(V)+(ti‘)

В его книге имеется таблица, являющаяся по сути арифметическим треугольником Паскаля. Лейбниц от­мечает следующие свойства, вытекающие из этой табли­цы:

(2)⁼⁰’^{есля п}<* (2)^=1; („-О ~^п; (2) = (,.-*)

и некоторые другие. Далее он использует (без доказа­тельства) свойство

(l) ⁺ (sO ⁺ ••• ⁺{п)^=Г~^и

В одной из задач он находит по данному числу эле­ментов количество перестановок и приводит таблицу ко­личества перестановок до 24. В частности, у него запи­сано, что число перестановок из 24 равно 6 204 484 017 332 394 339 360 000, т. е. этому равно 24!

Лейбниц отмечает следующие свойства перестановок:

• Количество перестановок всегда число четное.
• По количеству перестановок из предшествующего числа элементов и по данному числу элементов можно

вычислить число перестановок для данного числа эле­ментов. і

3. Если число перестановок последовательно разде­лить на члены натурального ряда от 1 до числа элемен­тов включительно, то получится гармоническая прогрес­сия.

Например, 120 делим поочередно на 1, 2, 3, 4, 5 и получаем члены гармонической прогрессии 120, 60, 40, 30, 24.

4. 2Р_п (Я    1) Ри—і — Рп ~\г Рга—1-

Действительно: 2Р„ — (я— l)P_n-i =2я!— (я—1)(я —1)1 = = 2 (я— 1)! я — (я— 1)(я — 1)! = (я — 1)! [2я — (я — 1)] = = (я — 1)! (я + 1) = (я — 1)! я + (я — 1)! = я! + (я — 1)! = — Р п Р п—1*

5. Рп • Рп' (я — 1)! = Рп+1 — Рп-

Действительно: Р„  Р„: (я — 1) =       = я • я!; Р„₊₁ —

—Рп == (я + 1)! —я! = я! (я 1) —я! = я! (я +1—1) = я • я Лейбниц находит число круговых перестановок:

Лейбниц неоднократно возвращался к комбинатор­ным задачам и в других работах. Он занимался подсче­тами различных исходов при бросании игральных ко­стей. В частности, он получает, что для т костей количе­ство исходов, в которых определенная грань встречается

Результат Лейбница для количе­ства исходов (без повторений) при различном числе костей можно записать так:

В работе Лейбница «Рассуждение о комбинаторном искусстве» были рассмотрены и собраны воедцно все ранее известные сведения, относящиеся к комбинатори­ке. Комбинаторика в этом труде получила свое дальней­шее развитие. Лейбниц пришел к новым видам комбина­торных задач, в которых необходимо подсчитаь сочета­ния и размещения с неограниченными повторениями.

Как мы видим, комбинаторика, явившаяся до определенного времени основным аппаратом решения вероятностных задач, разрабатывалась многими мате­матиками. Следует отметить, что и в настоящее время комбинаторные методы имеют существенное значение в приложениях теории вероятностей^[2].

В заключении этой главы приведем очень интересное высказывание М. В. Остроградского:

«Теорию вероятностей должно отнести к наукам но­вого времени, ибо настоящее ее начало не выходит даль­ше половины XVII столетия. Правда, некоторые предме­ты, относящиеся к этой науке, были известны во време­на весьма отдаленные и постоянно делались расчеты, ос­нованные на продолжительности средней жизни, извест­ны были морские страхования, знали число случайностей в азартных играх, но только в самых простых, найдены были величины ставок или закладов безобидных для иг­роков, но подобные выводы не были подчинены никаким правилам. Однако ж теорию вероятностей считают нау­кой нового времени и ее начало относят к половине сем­надцатого столетия, ибо прежде этой эпохи вопросы о вероятностях не были подчинены математическому ана­лизу и не имелось никаких точных общих правил для’ решения их» [35, стр. 120}.

[1] По этому вопросу см. подробнее [67]-

^[2] Подробнее об истории комбинаторики и о работах Лейбница по комбинаторике см. [31], (33].