ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Первые задачи

Одной из первых задач, которую следует отнести к тео­рии вероятностей, является подсчет числа различных возможных исходов при бросании нескольких играль­ных костей. Первые известные подсчеты при бросании трех игральных костей относятся к X—XI вв. В средние века (еще до XV в.) встречались поэмы, в которых каж­дому исходу, при бросании трех игральных костей, соответствовал определенный стих. Таких стихов было 56. Действительно, 56 — это число всех возможных исхо­дов при бросании, не учитывая повторений. Например, две двойки и одна тройка дают только одну возмож­ность, независимо от того, в какой последовательности они могут появиться.

Самая ранняя известная попытка подсчитать число возможных исходов при бросании трех игральных ко­стей, включая и перестановки, встречается в поэме, на­писанной на латинском языке, «De Vetula». Одно время автором этой поэмы считали Овидия, поэтому она была даже включена в некоторые средневековые издания его поэм. После длительных опоров об авторе этой поэмы, пришли к заключению, что им является Ричард де Фор- ниваль (1200—1250 гг.), канцлер кафедрального собора в Амьене. Эта поэма содержит главу, посвященную спор­ту и играм. Интересен следующий отрывок: «Если три числа одинаковы, то имеется 6 возможностей; если два одинаковы, а третье от них отличается, имеется 30 слу­чаев, потому что пара чисел может быть выбрана 6 спо­собами, а третье число пятью; а если все три разные, то имеется 20 способов, потому что 30 умножить на 4 есть

¹ Подробнее о роли азартных игр в теории вероятностей см. [201.

120, а каждая возможность возрастает в 6 раз. Имеется 56 возможностей. Но если все три одинаковы, имеется только один способ для каждого числа. Если два одина­ковы, а один отличается, имеется три способа, а если все разные, то имеется 6 способов» [13, стр. 13—14].

В этом отрывке произведен такой подсчет. Если все три числа разные, то для того, чтобы указать количество возможных исходов, необходимо 30 возможных исходов без перестановок, при двух равных числах, умножить на 4, так как два числа уже входят в эту тройку. Но теперь мы получаем 120 возможных исходов с перестановками. В каждой тройке чисел можно произвести 6 перестано­вок. Следовательно, без перестановок будет 120:6=20 троек при различных числах. Таким образом, 56= = 6+30+20 — это уже встречавшееся ранее число всех возможных исходов, без перестановок, при бросании трех игральных костей-

Из приведенного текста следует, что общее число исходов, с повторениями, при бросании трех игральных костей будет: 6-1+30-3+20-6=216, хотя прямо это чис­ло в поэме и не указано. Любопытно, что наиболее про­стой способ нахождения этого числа — умножением всех возможных исходов при бросании двух костей (36) на 6 — ускользает от автора поэмы. Несмотря на то, что в этой поэме количество исходов было подсчитано пра­вильно, еще долгое время в задачах, связанных с пе­ресчетом и указанием всех возможных исходов при бро­сании костей, часто допускались ошибки.

В 1307—1321 гг. была написана «Божественная ко­медия» Данте. VI часть «Чистилища» начинается сти­хами:

Когда кончается игра в три кости,

То проигравший снова их берет И мечет их один в унылой злости;

Другого провожает весь народ;

• Кто спереди зайдет, кто сзади тронет,

Кто сбоку за себя словцо ввернет.

А тот идет и только ухо клонит;

Подаст кому,— идти уже вольней,

И так он понемногу всех разгонит.

Таков был я в густой толпе теней,

Чье множество казалось превелико,

И, обещая, управлялся с ней [21, стр. 40].

В 1477 г. Бенвенуто д’Имола издал в Венеции «Бо­жественную комедию» со своими комментариями. О са­мом Бенвенуто д’Имола мы читаем у А. К. Дживелего- ва: «Видным истолкователем «Комедии», который... объяснял ее публично на латинском языке, был Бенве­нуто из Имолы, читавший в Болонье много лет подряд курс лекций о творчестве Данте» [22, стр. 383,].

В комментарии к приведенному выше отрывку из поэмы Данте Бенвенуто д’Имола писал: «Относительно бросаний следует знать, что случается. Кости суть кубы и для каждой грани возможно очутиться сверху. 3 явля­ется наименьшим числом, которое может выпасть и оно может выпасть только одним способом, а именно, когда на каждой кости выпадает туз; 4 при трех костях может выпасть только одним способом, а именно, на одной ко­сти 2 очка, а на двух других по тузу- И так как эти чис­ла могут выпасть только одним способом, то, чтобы избе­жать беспокойства и не ждать слишком долго, их в иг­ре не считают, то же самое относится к 17 и 18; другие числа между этими могут появляться разными способа­ми». Этот комментарий часто приводится в различных работах по истории математики (см., например, [13]).

Бенвенуто допускает ошибку, считая, что сумма 4 при бросании трех игральных костей может выпасть как и сумма 3, всего лишь одним способом. Действительно 3 получается только одним путем: 1. 1. 1. Четыре же мо­жет появиться тремя способами: 2. 1. 1; 1. 2. 1; 1. 1- 2. Это же относится к 17 и 18. Бенвенуто не различал вы­падения костей с повторениями, а поэтому не смог бы пересчитать и количество всевозможных исходов при бросании игральных костей.

Несмотря на незначительность этих комментариев для теории вероятностей, им часто традиционно припи­сывают большее значение, чем они заслуживают. (На­пример, см. [23. стр. 421]).

Более специфической является задача о справедли­вом разделении ставки между двумя игроками, если иг­ра прервана до выигрыша одним из игроков определен­ного числа партий или очков. Эта задача встречается у Луки Пачоли (ок. 1445 г,—ок. 1514 г.), но она была известна и ранее. Осноеной труд Пачоли «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональ­ности» окончен в 1487 г. и издан в Венеции в 1494 г. на итальянском языке. Эта книга являлась энциклопеди­ей математических знаний своего времени. В разделе «необычайных» задач Пачоли поместил следующие за­дачи.

1. Компания играет в мяч до 60 очков и делает ставку в 22 дуката. В связи с некоторыми обстоятель­ствами игра не может быть закончена, причем одна сторона в этот момент имеет 50, другая — 30 очков. Спрашивается, какую часть общей ставки должна полу­чить каждая сторона.
2. Трое соревнуются в стрельбе из арбалета. Кто достигнет 6 первых мест, тот выигрывает. Ставка 10 ду­катов. Когда первый получил 4 лучших попадания, вто­рой 3, а третий 2, они не хотят продолжать и решают разделить приз справедливо. Спрашивается, какой должна быть доля каждого.

Для первой задачи Пачоли проводит следующий расчет 5 3               8              8              5

— + — = —;— —соответствует 22 дукатам, тогда — 11             11 11 И        11

• 3 4

будет соответствовать 13—дуката, а------------------ 8— дуката.

• 11 4

Ставка, по Пачоли, должна быть разделена пропорционально набранным очкам. Другими словами, если два игрока А и В играют между собой и к моменту прекращения А я В вы­играли соответственно р и <7 партий, то ставка должна быть разделена в отношении р: q.