ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Бюффон

В XVIII в. естествоиспытатели делают попытки применять теорию вероятностей для доказательства тех или иных положений. Одним из первых в этом ^[1] оінопіении был французский ученый Ж. Л. Бюффон (1707—1788 гг.). Его основной труд «Естественная история», оказавший большое влияние на естествоис­пытателей, поражает своей грандиозностью: 44 боль­ших тома, из которых 36 написаны полностью им самим.

Бюффон использует элементы теории вероятностей для обоснования своей гипотезы происхождения планет. Согласно этой гипотезе *, все шесть известных к тому времени планет (Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпи­тер, Сатурн) образовались в результате столкновения Солнца с кометой. Бюффон отмечает, что эти планеты обладают рядом общих свойств, и далее перечисляет эти свойства. «Первое из них есть общее направление всех шести Планет, движущихся от запада к востоку: по сему одному обстоятельству можно держать 64 про­тив 1, что Планеты не имели бы движения в одну сто­рону, если бы не одна и та же причина привела их в движение: содержание сие удобно можно произвести из правил исчисления случайностей» [63, стр. 131}.

Действительно, если считать, что движение любой планеты вокруг Солнца в одном или другом направле­нии равновероятно, т. е. вероятность движения в опре­деленном направлении равна У₂, то вероятность того, что 6 планет случайно будут обращаться вокруг Солн­ца в одном направлении, равна (1/2) ⁶= 1/64.

Далее Бюффон продолжает: «Вторым сходством, что наклонение плоскостей не превосходит 7 степеней с половиною, сия вероятность несказанно умножится: ибо, сравнивая пространства, выходит 24 против 1, что­бы две Планеты находились в плоскостях, больше между собою отстоящих, и, следовательно, 24⁵ или 7 692 624 можно держать против 1, что не случаем ка­ким все шесть Планет таким образом расположены и заключены в пространстве на 7 степеней с половиною простирающемся, или чтоб тоже сказать инако; такова ¹ есть вероятность, что планеты в движении своем имеют нечто общее, давшее им сие положение» [63, стр. 131]. 7 степеней — это 7°; 7,5° — это 1/24 от 180° (рис. 6). Следовательно, вероятность того, что две случайно выб­ранные плоскости будут пересекаться под углом не более 7,5°, равна 1/24. А вероятность того, что еще 4 случайно взятые плоскости также будут с первой плоскостью иметь угол не более 7,5°, равна (1 /24)⁵= 1/7692624.

Делая из этих замечаний вывод, что в происхож­дении планет была общая причина, Бюффон стремится доказать, что такой причиной могло быть только столк­новение Солнца с кометой.

В своих работах Бюффон применяет следующее рас­суждение. Подсчитывается вероятность какого-нибудь объективно существующего явления (например, веро­ятность движения всех планет в одном направлении), если эта вероятность мала, то утверждается, что это явление не случайно, а закономерно; необходимо ис­кать эту закономерность.

К такому рассуждению прибегали естествоиспыта­тели и значительно позже. Приведем один пример. Г. Р. Кирхгоф (1824—1887 гг.) исследовал спектр же­леза, состоящий из 60 светлых линий. Он обнаружил, что каждая из этих линий спектра железа совпадает с какой-нибудь темной линией солнечного спектра. Кирхгоф поставил вопрос: возможно ли, чтобы эти совпадения вызывались случайностью? Он установил, что нельзя обнаружить различия между линиями, если расстояние между ними менее 1/2 мм. На той шкале, на которой он наблюдал спектры, расстояние между двумя соседними линиями солнечного спектра было равно 2 мм (рис. 7). Таким образом, если бы 60 линий спектра железа не были связаны с темными линиями солнечного спектра, то вероятность того, что каждая из них будет ближе, чем на 1/2 мм к какой-нибудь ли­нии солнечного спектра, очевидно, была бы равна (1/2)⁶⁰. После этого Кирхгоф пишет, что совпадение линий спектра железа и линий спектра Солнца долж­но быть обусловлено причиной, которая должна исчер­пывающе объяснить этот факт.

А. Пуанкаре считал такое рассуждение вполне пра­вомерным. Он писал относительно этого: «Сколько бы камней ни было разбросано на горе, они все, наконец, скатятся в долину; если мы найдем один из них внизу, это будет банальным фактом, который ничего не ука­жет; из предыдущей истории камня мы не можем узнать, в каком месте горы он находился до падения.

Но, встретив случайно камень вблизи вершины, мы мо­жем утверждать, что он всегда находился там, так как, если бы он только попал на склон, то немедленно ска­тился бы до самого дна; мы сделаем это заключение с тем большей вероятностью, чем случай более исклю­чительный и чем больше имеется шансов ему не прои­зойти» [64, стр. 14}.

С именем Бюффона связана известная задача - «задача Бюффона» — о бросании иглы (1777 г.).

Задача Бюффона. Какова вероятность того, что игла, имеющая длину /, брошенная на горизонтальную плоскость, расчерченную параллельными прямыми, от­стоящими на расстоянии а друг от друга, пересечет одну из этих прямых?

Если /<о, то искомая вероятность р =2 1/ла*.

Многими исследователями, в том числе и Бюффо- ном, эта задача использовалась для эксперименталь­ного определения я. Произведя определенное количе­ство бросков иглы (п) и зафиксировав количество ее пересечений с параллельными линиями (т), примем частоту т/п за вероятность р и из равенства р—21/па вычислим я.

Таким путем Вольф при 5000 бросаниях нашел я=3,1596. В 1855 г. А. Смит провел 3204 опытов и по­лучил я=3,1553. В 1901 г. Лацарини провел 3408 ана­логичных опытов и получил для я шесть точных знаков.

Бюффон выступал также за введение нравственного (морального) ожидания наряду с математическим. В сво­ей работе «Опыт моральной арифметики» он пишет:

'* Вывод см., например, в [6, стр. 104—106] и [38, стр. 35].

«Скупой похож на математика; тот и другой ценят деньги по внутреннему их достоинству; рассудительный же чело­век не разбирает, какова их условная ценность, а видит только выгоды, которые может извлечь из них. Он рас­суждает основательнее скупого и чувствует лучше мате­матика. Таллер, отложенный бедным для внесения за­конной повинности, и таллер, дополняющий мешки ро­стовщика, в глазах скупого и математика имеют одина­ковую ценность: первый присвоит себе каждый из них с равным наслаждением, второй будет считать их двумя равными единицами; между тем человек рассудитель­ный оценит в золотую монету таллер бедного и в грош таллер ростовщика».

Бюффон полагает, что существуют различные обсто­ятельства, когда следует учитывать нравственное ожи­дание. Он рассматривает следующий пример. Два че­ловека, имеющие равные состояния по 100 таллеров, играют в кости на половину своего состояния, т. е. на 50 таллеров. Выигравший увеличит свое состояние на 1/3, так как будет иметь 150 таллеров, проигравший уменьшит свое состояние в два раза, так как у него останется 50 таллеров. Из этого Бюффон делает вывод, что игра невыгодна для игроков по своей сущности.

Бюффон считает, что мерой нравственной выгоды является отношение рассматриваемой суммы ко всему капиталу. Пусть А — весь капитал, а — ожидаемое приращение капитала. Нравственная выгода при по­тере а будет а/Л, а в случае приобретения —. Раз-

„                    а а                                           а*

ность будет  ------------------ = —— ------- ■

^J     А   А + а А(А+а)

Бюффон занимался различными вопросами, связан­ными с теорией вероятностей. Он указывал, что в воп­росах практического характера события, вероятности которых близки к 1, нужно считать достоверными, а события, вероятности которых близки к 0,— невозмож­ными. Он, например, говорил, что вероятности порядка 0,0001 следует уже рассматривать как вероятности не­возможных событий, так как каждый здоровый чело­век 56 лет уверен, что проживет еще 24 часа, хотя в соответствии со статистическими данными вероятность 56-летнему умереть в течение суток равна 0,0001. Д. Бернулли в письме от 19.III 1762 г. указывает

Бюффону, что в статистических данных здоровые не отделены от больных, и поэтому вероятность здорово­му 56-летнему умереть в течение суток будет меньше

1. Бюффон соглашается, что, возможно, эту веро­ятность нужно уменьшить, но общий вывод от этого не изменится.

Бюффон также много занимался таблицами смерт­ности, охватывавшими ,15 приходов, которые составил Дюпре де Сент-Мор. Эти подробные таблицы, на кото­рых можно основать «вероятности о долготе жизни че­ловеческой», приведены в его работе [150, стр. 153]. На основании этих таблиц он вычисляет «вероятности про­должения жизни» для каждого возраста, понимая под этим понятием срок, вероятность прожить который для данного возраста равна 1/2. Например, рядом с 40 го­дами в таблицах стоит цифра 22 года и 1 месяц; это означает, что вероятность 40-летнему прожить еще 22 года и 1 месяц равна 1/2, и так для каждого возраста. «Знание вероятностей продолжения жизни есть вещь весьма важная в истории естественной человека» [150, стр. 2090- Нужно отметить, что Бюффон часто опе­рирует не с вероятностями, а с отношением вероятно­стей. Например, в таблице указано, что количество но­ворожденных — 23 994; умерших в течение первого года — 6 454; из этого делается заключение: «Можно с вероятностью утверждать и ставить 17 540 против 6454 или, говоря сократительным образом, около 2³/₄ против

• что младенец новородившийся проживет один год» [150, стр. 217]. Действительно: 17540=23 994—6454—^ко­личество доживших до 2 лет. Следовательно, вероятность умереть на первом году жизни равна /7 = 6454/23 994; вероятность дожить до второго года q = 1 — р = =17 540/23994. Разделив q на р, мы получим число, ука­зываемое Бюффоном: qlp—Yl 540/23 994:6454/23 994= -2»/₄-

Таблица с аналогичными данными рассчитана для разных сроков жизни. Например: «Можно ставить 15162 против 8832 или около 3/4 против 1, что новоро­дившийся младенец проживет 2 года..., 23030 против 964 или 24 против 1, что не проживет 78 лет» [150, стр. 217, 219], и т. п. Таблицы эти рассчитаны для каж­дого, возраста и занимают более 100 страниц. Иногда в таблицах содержатся утверждения, которые похожи на различные задачи. Например: «Можно ставить 11 против 4, что новородившийся младенец проживет один год, а не доживет до 47 лет» или: «Ежели отец имеет уже 40 лет, можно ставить 3 против 2, что сын его, будучи тогда одного года, переживет его» [150, стр. 221, 228} и т. п.

Известно также, что Бюффон для подтверждения теоремы Я- Бернулли произвел 4040 бросаний монеты, причем герб вьгпал 1992 раза, а решетка 2048.

На примере Бюффона мы видим, что естествоиспы­татели XVIII в. начали применять вероятностные рас­суждения в своих исследованиях. Но не все ученые одо­брительно воспринимали теорию вероятностей, несмотря на ее несомненные успехи.

^[1] См. также [62].