Расчет максимальных температур
Если известна математическая зависимость температуры от времени - функция T(t то условием достижения максимальной температуры является равенство нулю ее первой производной: dT/dt = 0. Чтобы получить выражение для расчета максимальной температуры термического цикла, необходимо выполнить следующие действия:
1) продифференцировать функцию T(t) и получить выражение для ее первой производной по времени dT/dt]
2) приравнять производную нулю и решить уравнение dT/dt = = 0, т. е. получить выражение для времени достижения максимальной температуры tm]
3) подставить полученное выражение для tm в исходную зависимость T(t) и получить математическое выражение для максимальной температуры термического цикла: Tm ~
Наиболее простые выражения для максимальных температур термических циклов получаются при использовании моделей бы - стродвижущихся источников. Так, для быстродвижущегося точечного источника на поверхности полубесконечного тела термический цикл описывается выражением
|
г 4 at |
|
(7.1) |
q/v ( ~2 '
Т(Г’0 = Тн + 2кк(еХР
При дифференцировании выражения (7.1) используем правило {uv)' = uv + uv' и получаем
|
8T(r, t) qlv |
|
r 4 at |
|
r 4at |
|
exp |
|
8t |
|
2nkt |
|
4ar |
|
/ |
|
(7.2) |
|
qlv Inkt1 |
|
r 4at |
|
-1 + - |
|
exp |
|
і л / ‘ qlv + — exp |
|
,2 Ї 4 at |
|
2nXt |
Приравнивая производную нулю, учитываем, что нулю может быть равна только последняя часть выражения (7.2) - заключенная в скобки разность. Таким образом, время достижения максимальной температуры
4 а
Подставляя выражение для tm в исходную зависимость (7.1) вместо переменной времени t и учитывая, что а = Х/ср, получаем следующее выражение для максимальной температуры термического цикла в полу бесконечном теле:
|
г24аЛ 4 аг1 |
|
2q/v |
|
(7.3) |
|
2 4 |
|
песрг |
|
гг / Ті (q/z))4a Tm(r) = TH+------------------------ - у-ехр 2 ккг |
В выражениях (7.1) и (7.3) Тн - начальная температура изделия,
или температура подогрева; г = Jy2 +z2 - расстояние от рассматриваемой точки до оси шва. Таким образом, максимальное приращение температуры в точках массивного тела пропорционально погонной энергии сварки qlv и обратно пропорционально квадрату расстояния до оси шва. Отсутствие коэффициента теплопроводности А. в выражении (7.3) означает, что это свойство материала не влияет на максимальные температуры термических циклов.
Проведя аналогичные выкладки с использованием выражения (6.41), получим следующую формулу для вычисления максимальной температуры при действии быстродвижущегося линейного источника теплоты в бесконечной пластине с теплоотдачей
|
■qlv |
|
Ь/_ 2 а |
|
1- |
|
(7.4) |
|
2Ьсру |
|
Тт(У)-Тн + |
Из выражения (7.4) следует, что в пластине без теплоотдачи с поверхности (b = 0) распределение максимальных приращений температуры имеет гиперболический характер.
Пример 7.1. Определить максимальную температуру нагрева на расстоянии у = 4 см от оси шва при механизированной аргонодуговой сварке с полным проплавлением листов алюминиевого сплава АМгб толщиной 6 мм. Режим сварки: ток / = 400 А, напряжение дуги U = 16 В, скорость сварки v = 18 м/ч = 0,5 см/с, эффективный КПД дуги г| = 0,5. Теплофизические коэффициенты: X = 2,7 Вт/(см • К), ср = 2,7 Дж/(см3 • К).
Решение. Используем схему быстродвижущегося линейного источника теплоты в пластине без теплоотдачи (6 = 0). Начальную температуру листов принимаем равной комнатной температуре (Гн = 293 К). Определяем эффективную мощность источника и погонную энергию сварки:
q = л UI = 0,5 ■ 16 ■ 400 = 3200 Вт; q/v = 3200/0,5 = 6400 Дж/см.
Для расчета максимальной температуры используем выражение (7.4) при
Ь = 0:
|
|
|
•q/v |
|
тт(у) = тИ + |
293 + —-------------- = 532 К.
|
Ibcpy |
2-0,6-2,7-4
Итак, максимальная температура на расстоянии 4 см от оси шва составит 532 К (259 °С).
