ТЕОРИЯ сварочных процессов

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Сложный процесс изменения температуры точек тела с коор­динатами jc, у, z во времени t описывается дифференциальным уравнением теплопроводности. Для вывода этого уравнения необ­ходимо рассмотреть баланс теплоты в некотором элементарном объеме тела с учетом тепловых потоков через поверхности, огра­ничивающие этот элементарный объем.

Рассмотрим пример линейного распространения теплоты в стержне (рис. 5.6) постоянного сечения F. Пусть в некоторый мо­мент времени t распределение температур вдоль стержня описыва­ется функцией Г(х, /). Согласно закону Фурье удельный тепловой поток в каждом сечении стержня равен

Я2х=~Ь^г - (5-12)

дх

Приращение удельного теплового потока на участке стержня длиной dx составит

Это означает, что слева через сече­ние 1-І, где градиент температуры не­сколько выше, входит больше теплоты, чем выходит через сечение II—II, где градиент температуры меньше. За вре­мя Л в элементарном объеме Fdx нака­пливается количество теплоты

dQx $2 (x+dx)^dt

= ~d4lxFdt -

x + dx

jj 42(x + dx)

-Y

Q2x

dx

Рис. 5.6. Накопление теп­лоты в элементарном объ­еме Fdx при линейном распространении теплоты

Однако через боковую поверхность участка стержня за время dt в окружающее пространство отдается часть теплоты

dQp=‘i2pPdxdt’ (515)

где q2p = а(Г-Тс) - удельный тепловой поток с поверхности

стержня (см. разд. 5.3); р - периметр сечения стержня.

Суммарное количество теплоты, которое накапливается в рас­сматриваемом элементарном объеме за время dt, определяется те­пловым балансом:

dQi=dQx~dQP - (516)

Теплота dQz повышает температуру элементарного объема Fdx с теплоемкостью ср на dT т. е.

dQz = cpFdxdT. (5.17)

дТ

Учитывая, что приращение температуры dT = —dt, подстав­ляем в уравнение теплового баланса (5.16) выражения (5.14),

(5.13) , (5.15) и (5.17):

Разделив обе части выражения (5.18) на Fdxdt, окончательно получим дифференциальное уравнение теплопроводности для стержня:

дТ д(.дТЛ ар, ,

Если рассматривать элементарный объем в пластине, то кроме теплового потока в направлении оси Ох следует учесть влияние теплового потока в направлении оси Оу. Тогда, проведя аналогич­ные выкладки, получим дифференциальное уравнение теплопро­водности для пластины толщиной 8:

В общем случае теплофизические свойства материалов не явля­ются постоянными, а зависят от структуры материала, температуры и других факторов. Кроме того, теплопроводящие среды могут иметь анизотропию свойств, состоять из нескольких материалов с различными свойствами; при нагреве или охлаждении материалы могут испытывать структурные или фазовые превращения, сопро­вождаемые соответствующими тепловыми эффектами (вследствие выделения или поглощения скрытой теплоты превращения), и т. п. В случае массивного тела при отсутствии теплообмена с окружаю­щей средой дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид

дТ) д Хх— + — дх) ду

, arN

Л* ~

dz I dz.

где Хх(х, у, z, 7), Ху(х, у, z, Т), Х2(х, у, z, Г) - функции, описываю­щие распределение теплопроводности материала по направлениям осей декартовой системы координат; ср = ср(х, у, z, Г) - функция, описывающая распределение объемной теплоемкости материала; <7з(х, у, z, t) - функция, описывающая распределение удельной мощности объемных источников (стоков) теплоты.