Социально-экономическая статистика

Средние величины

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в социально-экономических исследованиях, является средняя величина, представляющая собой обобщенную количествен­ную характеристику признака в статистической совокупности в кон­кретных условиях места и времени. Показатель в форме средней величины выражает типичные черты однотипных явлений и дает их обобщающую характеристику по одному из варьирующих призна­ков. Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности могут колебаться под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные.

Сущность средней заключается в том, что в ней взаимопогаша - ются отклонения значений признака отдельных единиц совокупно­сти, обусловленные деятельностью случайных факторов, и учитыва­ются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстра­гироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам.

Типичность средней непосредственно связана с однородностью статистической совокупности. Средняя величина только тогда будет отражать типичный уровень признака, когда она рассчитана по ка­чественно однородной совокупности.

Метод средних используется в сочетании с методом группиро­вок: если совокупность неоднородна, то общие средние должны быть заменены или дополнены групповыми средними, т. е. средними, рас­считанными по качественно однородным группам.

В статистической практике чаще всего используются следующие виды средних величин:

• средняя арифметическая;

• средняя гармоническая;

• средняя геометрическая;

• средняя квадратическая, кубическая и т. п.

Перечисленные средние объединяются в общей формуле средней

степенной (при различной величине jc):

где — средняя величина исследуемого явления;

X, — І-и вариант осредняемого признака (/ = 1, л);

fj — вес /-го варианта; к — показатель степени.

Помимо степенных средних в статистической практике использу­ются также средние структурные, среди которых наиболее распростра­нены мода и медиана. При осреднении уровней динамических рядов применяются различные виды средней хронологической.

Наиболее распространенным видом средних величин является сред­няя арифметическая, которая, как и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной.

Средняя арифметическая простая (невзвешенная) используется в случаях, когда для каждого значения признака (х) имеет место одина­ковая частота (/J), т. е. одинаковое количество единиц совокупности. Формула простой средней выглядит следующим образом:

Х = (^хі)'-п >

где А', — значение признака; п — число единиц.

Следует подчеркнуть, что использовать среднюю арифметичес­кую невзвешенную можно только тогда, когда точно установлено отсутствие весов или их равенство.

Средняя арифметическая взвешенная применяется в том случае, когда число единиц (частота) хотя бы одного значения признака отличается от других его значений.

В отдельных случаях веса могут быть представлены не абсолют­ными величинами, а относительными (в процентах или долях еди­ницы). С учетом несложного преобразования предыдущей формулы получим:

fi

X =

I f, ■

При расчете средней по интервальному вариационному ряду для

выполнения необходимых вычислений используют центры интер­валов. При этом величины открытых интервалов (первого и после­днего) условно приравниваются к величинам, примыкающих к ним интервалов (второго и предпоследнего).

Свойства средней арифметической. Средняя арифметическая об­ладает некоторыми математическими свойствами, более полно рас­крывающими ее сущность и в ряде случаев используемыми при ее расчетах. К ним относятся следующие свойства.

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от сред­ней арифметической равны нулю:

ХС*/“*)'.//=а

Математическое доказательство данного свойства сводится к сле­дующему:

Х<>, -x)f, =Х*< f =luxifi =й

2. Если все осредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это же число:

3>,±лк Ху /; Д ■->./; _-±Л 1/i X/i X./i

3. Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то средняя также соответственно увеличится или умень­шится в А раз:

X(v >)-./; о;л)ххі /і,

—----------- —---- —-- ----- —х. УІ.

х/' х./;

4. Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не изменится'.

Ххг(/ : Л)^(1:Л)Х*, f, Ха-Л) (1 :Л)Х/

Исходя из данного свойства можно заключить, что в случае равенства всех весов между собой расчеты по средней арифметичес­кой взвешенной и средней арифметической простой приведут к од­ному и тому же результату.

5. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведе­ний отдельных вариантов на соответствующие им частоты.

■

Доказательство:

*£./; =Х*' fi-ХК'- y fif = 'f ■

6. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений призна­ка от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их от­клонений от любой другой произвольной величины С.

ХС*,-cf -.fi =X(-V< - x-cf - J] =£[(*, - x)±(x-C)] 2-f =

=x[(*- - x?fi +2(*/ ]■/ =

=X(-v; --Ї)2 •/; +2 (S-C)X(,, - x} f, +K-V,-cf • /, =

=Ifo -xf ■ fi 2(x~C)0+Y(x-Cf ■ /:,

Следовательно, сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от произвольной величины С больше суммы квадратов их отклонений от своей средней на величину:

^(x-cf-fi или (х-С)2-^./; .

На использовании этого свойства базируется расчет централь­ных моментов, представляющих собой характеристики вариацион­ного ряда при С = х :

.. Sfc-f//.

X/, •

где ^ — центральный момент k-ro порядка;

к — порядок момента (центральный момент второго порядка пред­ставляет собой дисперсию).

Рассмотренные выше свойства средней арифметической дают воз­можность вывести следующие упрощенные формулы ее расчета:

где а — постоянная величина (условный ноль);

- и.

б) — I/f - ^ где b — постоянная величина.

Например, имеются три группы студентов разного роста.

Тогда средний рост студента будет равен:

1) по формуле (а) — условный ноль равен 150:

(160-150).3 + (170-150).12 + (180-150).5 +]50 =2j + J5() =

3+12 + 5

2) по формуле (б) — условный ноль равен 150, b = 10:

_(160- 150): 10■ 3 + (170- 150): 10 12 + (180-150): 10■ 5 | |<ц}

3 + 12 + 5

Методология расчета средней арифметической, средней геомет­рической, средней квадратической и средней гармонической приво­дится в следующей таблице.

В этих формулах xi — значения осредняемого признака; j) — соответствующие им частоты.

Что касается средней хронологической, то она рассчитывается в том случае, если имеются данные на определенные даты (обычно на начало месяца, квартала, года). Простая средняя хронологическая определяется по формуле

— + х2+... + хп,+ —

_ 2 2 " 1 2 xch.

п-1

Эта формула применяется в случае наличия одинаковых интер­валов между данными. Если интервалы не равны, то используется взвешенная средняя хронологическая:

- X*, fi

х=-=^=-- ,

If

где — средняя /-го интервала;

f — величина /-го интервала.

При расчете средних величин необходимо принимать во внима­ние правило мажорантности средних величин. Оно заключается в том, что существуют следующие обязательные соотношения между средними величинами:

xqll>x>xg>xh.

Это правило дает возможность контролировать расчеты средних величин. Например, имеются следующие данные.

Рассчитаем все виды средних величин для данной совокупности. Прежде всего, закроем открытые интервалы: первый интервал равен второму (т. е. 10 — 6 = 4). Это значит, что первый интервал

имеет границы от 2 до 6. Последний интервал равен предпоследне­му (т. е. 50 — 30 = 20), т. е. последний интервал имеет границы от 50 до 70. Затем определим центральные значения всех интервалов, т. е. значения л:, (графа 3).

Далее рассчитаем необходимые данные для определения средних величин (графы 4 — 8). На основании этих данных определяем все виды средних (отметим, что п — объем совокупности — равен 50):

1) x=Y, xJ, In = 1210/50 = 24,2 га;

2) V =yl'E(xi2fi)/n = >/41 576/50 = ^831,52 = 28,84 га ;

3) xh=nl'£fi/xi =50/3,57 = 14,00 га;

3) logig =(£fj log*,)/и = 65,8816/50 = 1,31763 га;

отсюда xg = 20,83 га.

Проверка: xqu>x>xg>xh

28,84 > 24,2 > 20,83 > 14,0.

Для иллюстрации расчета средней хронологической возьмем сле­дующие данные о численности работников сельскохозяйственного предприятия и ее изменении в течение года.

Поскольку интервалы не равны, расчет средней хронологичес­кой проводится по взвешенной формуле

Ух,-Л 242 + 530 + 433,5 + 417,0 1622,5 Xch = =-- =------- =135,2

ХЛ 12 12

На практике иногда применяются так называемые структурные средние — мода и медиана.

Модой называется значение признака, которым обладает наиболь­шее число единиц совокупности (т. е. значение, которое наиболее ча­сто встречается). Медиана представляет собой значение признака, ко­торое делит изучаемую совокупность на две равные части — 50% единиц имеют значения признака меньше медианы, 50% единиц — больше медианы. К медиане примыкают аналогичные показатели — квартили, квинтили, десили, персентили. Квартили делят совокуп­ность на четыре равные части по 25%; квинтили делят совокупность на пять равных частей по 20%; десили делят совокупность на десять равных частей по 10%; персентили — на 100 равных частей по 1% каждая.

При определении моды и медианы дискретного (прерывного) при­знака их значения определяются либо визуальным путем для моды (выбирается значение признака, имеющее наибольшую частоту), либо отысканием значения признака, который имеет центральный член совокупности. Например, имеются следующие данные о численности работников сельскохозяйственных предприятий.

В этом случае мода равна 20 (с частотой 32), а медиана 12 (так как номера 50 и 51 совокупности имеют значение признака, равное 12). Соответственно первая квартиль равна 10 (это значение имеют

номера 25 и 26); четвертая квинтиль равна 20 (это значение имеют

номера 80 и 81); третья десиль равна 10 (поскольку номера 15 и 16 совокупности равны 10); 73-я персентиль равна 20 (так как но­мера 73 и 74 равны 20).

Если изучаемый признак является непрерывным, то расчет моды ведется по формуле

м0 =Х0 +J-T-. !то ~Jr~[--------------- :--- V

(/то ~Jто-1 )+(/„,о “ /то+ )

где х(1 — нижняя граница модального интервала;

d — величина модального интервала (х, — х{));

fmo> fmo -1 ’ fmo+1 — соответственно частоты модального, предмодаль - ного и послемодального интервалов.

Что касается медианы, квартилей, квинтилей, десилей и пер - сентилей, то они определяются по однородным формулам следую­щего вида:

,, m'Lf-'Lf-1

хл +а ——--- —------

fi

где jcq — нижняя граница интервала, в котором нахо. .ся определя­емый показатель;

d — величина этого интервала (х, - х());

/ — частота этого интервала;

т — доля единиц совокупности, отделяемая искомым показателем (0,5 для медианы; 0,4 для второй квантили; 0,8 для восьмой десили и т. п.);

Y. fj — общее число единиц совокупности;

Y. fj- — накопленные частоты всех интервалов, предыдущих по от­ношению к данному интервалу.

Например, имеются следующие данные об урожайности зерно­вых (д/га).

В этом случае:

1) Л/ =18+(20-18}7- 25[~2,2---- г = 18,2667 ц/га;

’ ° V ’ (25-23>+(25-12)

2) Ме =18 + (20 -18} Ш0 ^ ~ 45 =18,4 ц/га;

„ 100 0,25-22 ,

J) первая квартиль =16 +(J8-16J------------- —------- = 16,26 ц/га;

4) третья квартиль =18 + (20 -18} —^ ^——=19,2 ц/га;

5) седьмая десиль = 20 (общая точка двух интервалов);

6) 43-й персентиль =16 +(l8 — 1 б}———=17,83 ц/га.

Экономический смысл полученных результатов заключается в следующем:

1) наибольшая часть уборочных площадей имеет урожайность 19,27 ц/га;

2) половина посевных площадей имеет урожайность свыше 18,4 ц/га, а другая половина — меньше 18,4 ц/га;

3) 25% посевных площадей имеют урожайность ниже 16,26 ц/га; и 75% посевных площадей — свыше 16,26 ц/га;

4) 60% площадей имеют урожайность менее 19,2 ц/га и 40% площадей — свыше 19,2 ц/га;

5) 70% площадей имеют урожайность менее 20 ц/га и 30% пло­щадей — свыше 20 ц/га;

6) 43% площадей имеют урожайность менее 17,83 ц/га и 57% площадей — свыше 17,83 ц/га.

В заключение необходимо отметить, что если средняя арифме­тическая совпадает по величине с модой и медианой, то такое рас­пределение называется идеальным. В экономике такое распределе­ние встречается крайне редко.