Социально-экономическая статистика

Показатели вариации

Средние величины не дают исчерпывающей характеристики ста­тистической совокупности. Разные совокупности могут иметь оди­наковые средние. Поэтому необходимо дополнительно измерить степень колеблемости признака. Колеблемость, многообразие, изме­няемость величины признака у единиц совокупности называются ва­риацией.

Измерение вариации в статистике имеет важное значение, по­скольку дает возможность оценить степень воздействия на данный признак других варьирующих признаков, установить, например, какие факторы и в какой степени влияют на доходы населения, урожайность пшеницы и т. п. Определение вариации необходимо при организации выборочного наблюдения, построении статисти­ческих моделей, разработке материалов опросов и во многих дру­гих случаях.

Вариация существует в пространстве и во времени. Под вариаци­ей в пространстве понимается колеблемость значений признака по отдельным территориям. Например, плотность населения по регио­нам России в 1998 г. колебалась от 0,02 чел. на Таймыре до 326 чел. в Московской области.

Объективно существует также вариация во времени. Под ней под­разумевают изменение значений признака в различные периоды (или моменты) времени. Так, со временем изменяются урожайность сель­скохозяйственных культур, поголовье скота и т. д.

По степени вариации можно судить о многих сторонах процесса развития изучаемых явлений, в частности об однородности сово­купности, устойчивости индивидуальных значений признака, ти­пично средней, о взаимосвязи между признаками одного и того же явления или между признаками разных явлений. Статистические по­казатели, характеризующие вариацию, широко применяются в прак­тике, например для контроля за ходом производственных процессов, устойчивости урожайности сельскохозяйственных культур тех или иных сортов или одного и того же сорта в определенных почвенно­
климатических условиях. На основе показателей вариации в стати­стике разрабатываются другие показатели — тесноты связи между явлениями и их признаками, оценки точности выборочного на­блюдения.

Показатели вариации делятся на абсолютные и относительные. К абсолютным относятся размах вариации, среднее линейное откло­нение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Относи­тельные показатели вычисляются как отношение абсолютных пока­зателей вариаций к средней арифметической (или медиане). Относительными показателями являются коэффициенты осцилля­ции, вариации, относительное линейное отклонение.

Размах вариации (R) показывает, насколько велико различие меж­ду единицами совокупности, имеющими минимальное и максималь­ное значения признака. Его рассчитывают как разность между наи­большим (Агтах) и наименьшим (у*Гтт) значениями варьирующего признака, т. е. R = Хтлх - Xmin

Однако данный показатель имеет существенный недостаток. Его величина всецело зависит от крайних значений признака, он не учитывает всех изменений варьирующего признака в пределах сово­купности. Поэтому в изучении вариации нельзя ограничиться опре­делением одного лишь ее размаха.

Недостатком размаха вариации является и то, что он зависит от аномальных явлений. Поэтому следует очистить совокупность от аномальных наблюдений, прежде чем определить величину размаха вариации.

Другим показателем вариации служит среднее линейное отклоне­ние (}). Оно вычисляется как средняя арифметическая из абсолют­ных значений отклонений jc( от х (взвешенная или простая в зависи­мости от исходных условий) по следующим формулам:

У, |.yf - —х

1Х =—------ (простое среднее линейное отклонение),

п

1. x =—yv (взвешенное среднее линейное отклонение).

/ J І

Поскольку сумма отклонений значений признака от средней ве­личины равна нулю, необходимо все отклонения брать по модулю, на что указывают вертикальные линии в числителе формул.

Среднее линейное отклонение дает обобщенную характеристику степени колеблемости признаков совокупности. Однако чаще всего в статистической практике используют дисперсию (а2) и среднее квадратическое отклонение (о).

Данные показатели нашли также свое широкое применение в международной практике учета и статистического анализа, в част­ности в системе национального счетоводства.

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений ин­дивидуальных значений признака от их средней величины и вычис­ляется по формулам простой и взвешенной дисперсий (в зависимо­сти от исходных данных):

У(х-хУ a2 —L. (простая дисперсия),

П

У(х --*)•/ о2= - - Л--—- (взвешенная дисперсия).

/ Ji

Дисперсия есть средняя величина квадратов отклонений. Если извлечь из дисперсии корень второй степени, то получится среднее квадратическое отклонение (а):

oJZh-y

а= izfc-*)•//

1 I/, '

Среднее квадратическое отклонение — это обобщающая харак­теристика размеров вариации признака в совокупности. Оно выра­жается в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, рублях, процентах и т. д.).

Расчет дисперсии и среднего квадратического отклонения может быть упрощен следующим образом:

п п п п п

=72-х2.

Это означает, что дисперсия признака равна разности между сред­ней из квадратов признака и квадратом его средней величины.

Между средним линейным и средним квадратическим отклоне­ниями существует следующее примерное соотношение:} = 0,8 • ст, если фактическое распределение близко к нормальному.

Среднеквадратическое отклонение (а) всегда больше среднего линейного отклонения (£).

Среднеквадратическое отклонение играет важную роль в анали­зе рядов распределения. В условиях нормального распределения су­ществует следующая зависимость между величиной среднего квад­ратического отклонения и количеством наблюдений:

• в пределах х± 1а располагается 0,683, или 68,3% количества наблюдений;

• в пределах х ± 2о — 0,954, или 95,4% количества наблюдений;

• в пределах х ± За — 0,997, или 99,7% количества наблюдений.

В действительности на практике почти не встречаются отклонения,

которые превышают ± Зс. Отклонение За может считаться максималь­но возможным. Это положение называют правилом трех сигм.

При расчете относительных показателей вариации базой для срав­нения служит средняя арифметическая. Эти показатели вычисляют­ся как отношение размаха среднелинейного отклонения или средне­квадратического отклонения к средней арифметической. Чаще всего они выражаются в процентах или относительных величинах и опре­деляют не только сравнительную оценку вариации, но и дают ха­рактеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 0,3, или 30% (для распределений, близких к нормальному). Различают сле­дующие относительные показатели вариации (V):

коэффициент осцилляции (VR)

Коси =4-100%;

линейный коэффициент вариации (Vd):

к;шнаар=4юо%;

х

коэффициент вариации Квар: квар=|іоо%.

Например, имеются следующие данные об урожайности и по­севных площадях зерновых культур.

Урожайность,

и/га

Посевные

площади,

га

XJ

Xtf

Xtf

—jd

xj—J •//

10—12

1

11

77

847

6,12

42,84

12—14

26

13

338

4394

4,12

107,12

14—16

34

15

510

7650

2,12

72,08

16—18

72

17

1224

29 808

0,12

8,64

18—20

22

19

418

7942

1,88

41,36

20—22

20

21

420

8820

3,88

77,60

22—24

19

23

437

10 051

5,88

111,72

Итого

200

3424

60 512

461,36

Рассчитаем относительные и абсолютные показатели вариации:

1) х= ^ J ~J = 3424:200 = 17,12 ;

и

2) Л =*,-*. =24- 10= 14; К = 14 ; 17,12 = 0,8177;

7 jc шах nun ’ осц * ’ ’

- УЬ

3) 'і.-1 =461,36:200 = 2,3068; Клинвар = 2,3068:17,12= 0,1347;

/ . //

4) о,2 = Ї2 - (х)2 = 60512 :200 -17,122 = 302,56 - 293,09 = 9,45 ;

5) ах = V<М5 = 3,082; Кмр = 3,082:17,12 = 0,18 .

Это означает, что данная совокупность является однородной. Следует подчеркнуть, что коэффициент осцилляции по своей вели­чине может быть больше единицы. Что касается линейного коэф­фициента вариации и коэффициента вариации, то они всегда мень­ше единицы.

Помимо количественных признаков могут быть альтернативные (признаки, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие). Примером таких признаков являются наличие бракованной продукции, ученая степень у преподавателя вуза, пол и национальность населения. Вариация альтернативного признака количественно проявляется в значении «ноль» у единиц, которые этим признаком не обладают, или 1 у тех, которые данный признак имеют.

Пусть р — доля единиц в совокупности, обладающих данным признаком; q — доля единиц, не обладающих данным признаком, причем р + q= 1. Альтернативный признак принимает всего два зна­чения — 0 и 1 с весами соответственно q и р. Исчислим среднее значение альтернативного признака по формуле средней арифмети­ческой;

_ p+Qq х - -=р.

Р + Я

Дисперсия альтернативного признака определяется по формуле

2 (l-pf Р + (0-pfq д2р + р2д

Р ”, ~ Рч*

Р + Я Р + Я

Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна про­изведению доли на дополняющее эту долю до единицы число. Ко­рень квадратный из этого показателя, т. е. Jpq, соответствует сред­неквадратическому отклонению альтернативного признака. Предельное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25 при puq, равных 0,5.

Показатели вариации альтернативных признаков широко исполь­зуются в статистике, в частности при проектировании выборочного наблюдения, обработке данных социологических обследований, ста­тистическом контроле качества продукции.

Например, из 80 сельхозпредприятий 24 имеют собственные мо­локоперерабатывающие заводы. В этом случае дисперсия и средне­квадратическое отклонение рассчитываются следующим образом:

р = 24: 80 = 0,3; q— (80 - 24): 80 = 0,7;

а2 = м = о, з • 0,7 = 0,21; о* = Д2І = 0,452.

Если изучаемая совокупность состоит из нескольких групп, об­разованных на основе какого-либо признака, то помимо показате­лей общей вариации (общая дисперсия) определяют также вариа­цию признака под влиянием группировочного фактора (межгрупповая дисперсия о2) и вариацию признака под влиянием всех остальных факторов (внутригрупповые дисперсии а2).

Общая дисперсия ах2 измеряет вариацию признака во всей сово­купности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию:

о? =

Межгрупповая дисперсия (62х) характеризует различие в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-факто­ра, положенного в основание группировки. Она рассчитывается по формуле:

Показатели вариации

где xt и и, соответственно групповые средние и частоты по отдель­ным группам;

б2х— межгрупповая дисперсия (дельта квадрат).

Внутригрупповая дисперсия (5,2) отражает случайную вариацию, происходящую под влиянием остальных факторов и независящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она исчисляется следующим образом:

5?

£(*,-3?,)7,

X/* '

где ft — внутригрупповые частоты.

Существует закон, связывающий три вида дисперсии. Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгруппо - вой дисперсий:

Показатели вариации

Средняя из внутригрупповых дисперсий ( о? ) определяется по формуле

Показатели вариации

Закон сложения дисперсий широко применяется при исчисле­нии показателей тесноты связи, в дисперсионном анализе, при оценке точности типической выборки и в ряде других случаев.

Доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии носит название эмпирического коэффициента детерминации (л2 — эта квадрат):

Показатели вариации

Этот коэффициент показывает долю, обусловленную вариацией группировочного признака, в общей вариации изучаемого призна­
ка. Корень квадратный из эмпирического коэффициента детерми­нации носит название эмпирического корреляционного отношения (ті):

Показатели вариации

Оно характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака. Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах 0— 1. Если її = 0, то результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние про­чих факторных признаков равно нулю. Промежуточные значения оцениваются в зависимости от их близости к предельным значениям.

Социально-экономическая статистика

Глоссарий

Баланс народного хозяйства (balance of economy national) — вза­имосвязанная система балансовых таблиц, которую составляло ЦСУ СССР вплоть до конца 80-х годов XX столетия. БНХ харак­теризовал процесс воспроизводства совокупного общественного продукта …

Статистические показатели условий жизни, труда и отдыха

Наряду с показателями материального благосостояния жиз­ненный уровень населения характеризуют показатели, отражаю­щие общую ситуацию, обусловливающую уровень жизни. К ним относятся показатели: • состояния окружающей среды; • криминогенной обстановки; • условий труда; …

Баланс денежных доходов и расходов населения

Главным источником статистической информации о финан­совой ситуации домашних хозяйств является баланс денежных доходов и расходов населения, составляемый Госкомстатом Рос­сии ежеквартально и в целом за год. Он позволяет охарактеризо­вать кругооборот денежных …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.