СЧЁТ И ЧИСЛО

КАК КОРОТКО ЗАПИСЫВАЮТ И НАЗЫВАЮТ «АСТРОНОМИЧЕСКИЕ» ЧИСЛА

Читатели, наверное, обратили внимание на любопыт­ную особенность встретившихся в этой книжке громад­ных («астрономических») чисел; всё это — числа «круглые»; они оканчиваются большим числом нулей. Это — не случайное совпадение и не специально подо­бранные примеры. Всякое очень большое число, получен­ное в результате счёта или измерения, неизбежно оказы­вается «круглым». Выясним, почему это так.

Когда мы говорим, «у меня на руке пять пальцев», то это значит, что их точно пять, а не шесть и не три. Точно так же, когда кто-нибудь говорит, что в деревне, где он родился, было сорок семь дворов, то это значит, что дворов было ровно сорок семь. Если же мы говорим, например, что в городе Щербакове было во время пере­писи 1939 года 55 500 жителей, то тут слова «пятьдесят пять тысяч пятьсот» имеют несколько иной смысл. Во-пер­вых, в течение дня переписи некоторые люди приезжали в Щербаков, другие уезжали из него; во-вторых, как бы тщательно ни производилась перепись, некоторые люди могли быть записаны дважды, а иные — вовсе пропу­щены. При счёте жителей города ошибка в пару десятков не имеет существенного значения и не считается грехом.

Поэтому нули на конце числа 55 500 — количества жителей города Щербакова — обозначают не отсутствие, а наше незнание числа десятков и числа простых единиц.

Точно так же, когда мы говорим, что число всех жи­телей земного шара равно 2 100 000 000 (два миллиарда сто миллионов), то это число не будет точным. В разных странах переписи бывают в разное время, и согласовать их очень трудно; есть такие страны», население которых до сих пор как следует не учтено. Возможно, что насе­ление земного шара равно не 2 100 ООО ООО, а 2 090 ООО ООО или 2 137 000 000. В числе, выражающем население зем­ного шара, мы знаем точно только миллиарды и сотни миллионов. Сколько там десятков и единиц миллионов, а тем более сколько единиц меньших разрядов, — мы не знаем. Нули показывают не отсутствие, а наше незнание этих разрядов. «Круглота» числа здесь только кажу­щаяся.

То же самое получится при счёте молекул в литре воздуха, при счёте звёзд на небе, даже при счёте де­ревьев в лесу. Любое пересчитывание очень большого числа предметов всегда оказывается приблизительным. А раз мы знаем только несколько наибольших разрядов в числе, а более мелких разрядов точно учесть не мо­жем, то мы и пишем в конце нули, получая «круглые» числа.

Что сказано про счёт, то можно повторить и про из­мерение или взвешивание. Если мы - на торговых весах взвешиваем груз в несколько килограммов, то ошибка в несколько граммов или даже десятков граммов почти неизбежна. Измеряя длину комнаты, мы учитываем мет­ры, иногда — сантиметры, но не обращаем внимания на миллиметры« (да и при желании мы не сумели бы их учесть). Всякий измерительный прибор обладает неко­торой степенью чувствительности, и в результате изме­рения всегда получается приближённое значение изме­ряемой величины.

В числе 55 500 мы считали, что десятки тысяч, тысячи и сотни нам точно известны. Эти цифры, в отличие от нулей на конце, называют верными цифрами при­ближённого числа. В числе 55 500 три верные цифры. В числе жителей земного шара (2 100 000 000) только две верные цифры.

Не нужно думать, что нуль не может быть верной цифрой. Как пример очень большого числа, мы приво­дили на странице 28 массу Земли, равную.

6 000 000 000 000 000 000 000 тоннам.

В этом числе астрономы ручаются за правильность пер­вых двух цифр, т. е. за шесть секстиллионов и за отсутст­вие сотен квинтиллионов. Значит, верными цифрами бу­дут здесь шестёрка и первый нуль. Остальные нули пока­зывают наше незнание соответствующих разрядов (о том, как в самой записи отличить «верные» нули от «невер­ных», будет сказано немного дальше).

В большинстве технических измерений удаётся опре­делить 2 или 3 верные цифры. В более ответственных случаях удаётся определить 4 или 5 верных цифр. Самые точные физические измерения дают 6 или 7, очень ред­ко — 8 верных цифр.

Какой отсюда можно сделать вывод? Тот, что во всех числах, которые даются нам наукой и жизнью, бывает от двух до пяти (редко — больше) первых верных цифр, остальные же цифры на конце — нули.

Но всякое число, оканчивающееся нулями, можно за­писать в виде произведения небольшого числа на «еди­ницу с нулями». Например, число 509 ООО ООО (поверх­ность земного шара в квадратных километрах) можно записать так:

509X1 ООО ООО.

Число, выражающее массу Земли (в тоннах),

6 ООО ООО ООО ООО ООО ООО ООО

Можно записать так:

80X100 000 000 000 000 000 000;

Здесь при шестёрке оставлен нуль, который, как мы уже говорили, является верной цифрой, а ко второму множи­телю отнесены «сомнительные» нули.

При такой записи первый множитель будет обычно иметь 2 или 3, реже 4 или 5, и только в исключительных случаях 6, 7 или 8 цифр. Такое число легко и записать коротко, и назвать. Значит, остаётся только придумать способ коротко записывать и называть числа, кото­рые составляют второй множитель, т. е. те числа, кото­рые изображаются в виде «единицы с нулями».

Для сокращённой записи таких чисел пользуются обозначением «показателя степени». Что же это за обозначение?

Чтобы к нему подойти, рассмотрим перемножение нескольких одинаковых чисел друг на друга.

Произведение двух одинаковых множителей—иными словами, произведение числа самого на себя—называется

Второй степенью или квадратом этого числа. Например, 64 есть произведение 8 на 8; поэтому число 64 называют квадратом (второй степенью) восьми; 100 есть произведение 10ХЮ; поэтому число сто есть квадрат де­сяти. Название «квадрат» для произведения двух одина­ковых множителей принято потому, что площадь квад­ратного участка рав­няется длине сторо­ны участка, умно­женной сама на себя (рис. 9).

Произведение трёх одинаковых множи­телей называется третьей сте­пенью или к у - б о м данного числа. Например, 1000 есть куб десяти, потому что

О / г з ч 5сн 10X10X10=1000.

Рис - 9. Квадралг со стороной в 5 единиц

Содержит 5 X 5 = 25 клегок. Вместо произведе­

Ния 10ХЮ принято писать 102; маленькая двойка, написанная справа выше десяти, показывает, что десять повторяется, как множи­тель, два раза.

Точно так же произведение 10Х10ХЮ записывают короче так: 103; маленькая тройка, написанная выше и правее десяти, показывает, что десять повторяется, как множитель, три раза.

Всякое число, например, 10, можно повторять, как множитель, не только два или три, но и любое число раз. Число 10 000, например, равно ЮХЮХ10X10. Здесь имеется четыре одинаковых множителя. Это произведе­ние 10X10X10X10 называют четвёртой степе­нью десяти и записывают сокращённо так: 10%

Таким же образом поступают и дальше. Произведение нескольких одинаковых множителей, т. е. произведение некоторого числа самого на себя несколько раз, назы­вается степенью этого числа; само число—о снова­нием степени, а то число, которое показывает,
сколько раз основание повторяется множителем, назы­вается показателем степени. В нашем примере, 104=10 ООО, число 10 — основание, число 4 — показатель степени, а число 10 000 — степень. Показатель степени пишется всегда мелким шрифтом правее и немного выше основания.

Различные степени десяти очень легко вычислить, потому что каждое умножение на 10 можно получить приписыванием нуля. Вот первые пять степеней десяти:

10— 101 (10 —один множитель) 100= 102 (10 Х^ Ю — два одинаковых множителя) 1 000= Ю3 (ЮХЮХ 10 —три одинаковых множителя) 10000= 104 (ЮХЮХЮХ 10-четыре одинаковых мно­жителя)

100 000= 105 (10Х ЮХ ЮХ ЮХ Ю-пять одинаковых

Множителей).

Ясно, что любая степень десяти запишется в виде «единицы с нулями», причём число нулей будет всегда равно показателю степени. Если, наоборот, Жданное число записано в виде единицы с нулями, то его можно сейчас же записать в виде, степени десяти: для этого достаточно пересчитать нули. Например, 1 000 000=106 (6 нулей); 10 000 000 000=1010 (10 нулей).

Теперь любое «астрономическое» число нетрудно за­писать коротко, выделив к тому же его верные цифры. Вот несколько примеров (сравните с ними примеры на странице 28):

Поверхность земного шара равна 509Х106 квадратных километров.

Расстояние от Земли до Солнца равно 1495X105 ки­лометров.

Население земного шара—21ХЮ8 человек.

Расстояние до ближайшей звезды — 403ХЮ11 кило­метров.

Число молекул в литре воздуха — 27X1021 молекул.

Масса Земли— 60X1020 тонн. (Пишут 60X1020, а не 6X1021, потому что за первый после шестёрки нуль аст­рономы ручаются, этот нуль — верная цифра).

Чаще вместо знака умножения — косого креста (X) — применяется точка (•); тогда приведённые только что числа записываются так:

509-10б, 1495-105, 21 - 10е, 403-1011, 27-Ю21, 60- 1020.

Читаются эти числа так:

509- 106—«пятьсот девять на десять в шестой» (под­разумевается — в шестой степени);

1495 • 105 — «тысяча четыреста девяносто пять на десять в пятой»;

21 • 108 — «двадцать один на десять в восьмой» и так далее.

Введение показателя степени позволяет, как мы ви­дим, коротко назвать и записать любое число, как бы велико оно ни было.

Напишем, например, с помощью показателя степени, до каких чисел умели считать наши предки.

Пещерные жители считали до 2.

Люди конца каменного века — до 102 — 103.

Древние египтяне, древние греки, славяне до изо­бретения письменности — до 104.

^Вавилоняне — до 1 959 552 • 108 (это — наибольшее число, которое исследователи нашли на вавилонских па­мятниках).

«Великое словенское число», о котором говорилось на стр. 16, даёт гораздо большие числа: 1 легион = 1012, 1 леодр=1024, 1 ворон=1048, а 1 колода=1049.

В индийских памятниках трёхтысячелетнего возраста упоминаются числа до 105. Две тысячи лет тому назад индусы знали числа до 1017. В более поздних легендах упоминаются ещё большие числа. Так, в одном из сказа­ний о божественном Будде говорится, что он знал назва­ния всех чисел до 1054.

Архимед в своём «Псаммите»дал способ, с помощью которого можно назвать любое число. В качестве при­мера он рассмотрел названия чисел вплоть до

Jq80 ооо ооо ооо ооо ооо

Чтобы только записать это число в виде единицы с ну­лями, понадобилось бы громадное количество книг. Назвать его в нашей системе счисления (с помощью числительных латинского языка) без помощи показателя степени — невозможно. А записанное с помощью показа­теля оно занимает всего треть строчки! И словами это число прочитается так: «десять в степени восемьдесят квадриллионов».

Итак, наша система записи чисел с использованием обозначения показателя степени позволяет ясно и на­глядно записывать и коротко называть все числа, с ко­Торыми имеет дело современная наука. Большего от си­Стемы счисления и требовать нельзя. Поэтому в измене­Нии или улучшении этой системы нет надобности.