ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

РАСПРОСТРАНЕНИЕ В СВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Рассмотрим распространение гауссова пучка вида (4.7.1) вдоль положи­тельного направления оси г при отсутствии какой бы то ни было ограничи­вающей апертуры в направлении х или у (т. е. в свободном пространстве). Из соотношения (4.7.4) сА = 1)=1иБ = г получаем:

Q = qi + z. (4.7.11)

Полагая, что при zx = 0 R = со, можно записать:

A/qi) = ~jfr/nw2), (4.7.12)

Где w0 — размер пятна при гх = 0. Запишем теперь соотношение (4.7.11) в

Виде (1/(7)= 1 /(<?! +гЛ подставим 1/q из (4.7.8) и 1 /qx из (4.7.12), а затем

Выделим действительную и мнимую части полученного соотношения. После некоторых несложных алгебраических преобразований получим выражения для размера пятна w и радиуса кривизны R волнового фронта в виде:

2"

Xz

W2(z) = wf

Oj

(4.7.136)

Используя соотношения (4.7.3) и (4.7.12), можно также записать:

(4.7.14)

Комплексный множитель в первой скобке выражения (4.7.14) может быть теперь выражен в виде амплитудного и фазового сомножителей. Используя также соотношение (4.7.8) для (1 /#), получим выражение для напряженно­сти поля в виде:

IVn X2 + и2 х2 + и2

И(х, у,z) =— exp-------- т^-ехр-jk - * ехр;ф, (4.7.15а)

2

R

/ ~ Л

Кг

Пи;;

Выражение (4.7.15а), вместе с выражениями для w(z), R(z) и ф(г), задаваема ми соотношениями (4.7.13) и (4.7.156), полностью решают рассматривав мую задачу. Из соотношений (4.7.13) и (4.7.156) видно, что величины w> ft и ф (и, следовательно, распределение напряженности электрического поля) зависят только от параметра w0 (при заданных А, и г). Это легко понять, если обратить внимание на то, что если величина w0 определена, то тем самым задано распределение напряженности электрического поля в плоскости гх = 0. Действительно, известна амплитуда напряженности, поскольку ее распреде­ление задается гауссовой функцией с размером пятна w0, и ее фаза, посколь­ку предполагается, что R = оо при 2 = 0. Если известно распределение напря­женности электрического поля в плоскости гх = 0, то и соответствующее рас­пределение при г > 0 однозначно определено и может быть рассчитано, например с помощью интеграла Френеля-Кирхгофа (4.6.8). Снова исполь­зуя соотношение (4.7.11), можно показать, что выражения (4.7.13) справед­ливы также и при отрицательных значениях г9 т. е. при распространении вперед не только от плоскости гх = 0. Отметим, что если ввести параметр

2R=nw$/X9 (4.7.16)

Где величину 2r называют длиной Рэлея (смысл этого параметра будет обсуж­даться ниже), то выражения (4.7.13) и (4.7.156) могут быть представлены в более наглядном виде, а именно:

U>2(2)=w2[l+(z/zK)2], (4.7.17а)

Д(2) = 2[1+(2д/2)2], (4.7.176)

Ф(г) = tan-1 (г/2д). (4.7.17в)

Выражения (4.7.15а) и (4.7.17) представляют собой конечную цель прово­димых расчетов. Видно, что функция и(х9 у9 г) является произведением амплитудного, (w0/w) • ехр-[(х2 + у2)/и>29 и фазовых — поперечного, ехр - - jk[(x2 + y2)/2R]9 и продольного, ехр £ф, — сомножителей. Физический смысл этих сомножителей обсудим более детально в последующих разделах.

А б

Амплитудный сомножитель в (4.7.15а) показывает, что пучок по мере распространения (как при г > О, так и при г < 0) сохраняет свою гауссову форму, но размер его пятна изменяется в соответствии с соотношением (4.7.17а). Таким образом, величина ю2(г) может быть записана в виде суммы ц>о и (Х2/пю0)2 — слагаемого, обусловленного дифракцией. Зависимость нор­мированного размера пятна и>/и>0 от нормированной координаты г/2д при г > 0 показана сплошной линией на рис. 4.16а. При г < 0 размер пятна мож­но легко получить из этого же графика, поскольку ю(г) — четная функция 2, т. е. симметрична относительно оси ординат. Таким образом, размер пятна минимален при 2 = 0 (поэтому эта координата называется перетяжкой пуч­ка); при 2 = 2п имеем ю - [2ю0. Таким образом, длина Рэлея — это расстоя­ние от перетяжки пучка до того места на его оси, где пятно увеличивается в^2 раз. При 2 —^ оо (т. е. при 2 2К) можно записать:

IV « и)02/2ц = 'К2/пи>0. (4.7.18)

Зависимость (4.7.18) также представлена на рис. 4.17а (пунктирная линия). При больших 2 величина IV возрастает линейно с г; следовательно, можно определить расходимость пучка за счет дифракции как отношение 0а = IV/2. Получаем

0а = Х/пи! 0. (4.7.19)

Физическую причину присутствия множителя и>0/и> в амплитудном со­множителе выражения (4.7.15а) легко понять, если обратить внимание на то, что поскольку потери в среде считаются пренебрежимо малыми, то пол­ная мощность излучения в любой плоскости 2 должна быть одной и той же. Это означает, что интеграл Д| и 2с1хс1у не должен зависеть от 2. Присутствие множителя и>0/и>(2) обеспечивает выполнение этого условия. Действитель­но, используя (4.7.15а), можно записать:

+00 +00

Дойр (1хс1у = (и)1 /2) |ехр(-^2)с^ |ехр(-т12)с/т], (4.7.20)

—00 —00

Где = &х/ и>иг = [2у/и). Видно, что ^и2с1хс1у не зависит от 2.

Обратимся теперь к поперечному фазовому сомножителю (4.7.15а). В со­ответствии с описанием, приведенным в разделе 4.7.1, он показывает, что при распространении в области 2 > 0 пучок имеет приблизительно сфериче­ский волновой фронт с радиусом кривизны Я. Зависимость нормированного радиуса кривизны Я/2 я от нормированной координаты 2/2п при 2 > 0 изобра­жена на рис. 4.166. При 2 < 0 радиус кривизны легко определить из этого же рисунка, поскольку Щ2) — нечетная функция г, т. е. антисимметрична отно­сительно оси ординат. Видно, что # —» оо при 2 = 0и принимает минимальное

Рис. 4.17 Профиль пучка (сплошные линии) и поверхности одинаковой фазы (пунктирные линии) для гауссовой моды низшего порядка (Т2£М00)

/ /

I I —кг1 Г I I

1 I I

!

Значение при г = гк. При г^> гв имеем Я « г, а линия И = г показана пункти­ром на рис. 4.166. Таким образом, волновой фронт является плоским при г = 0, а на больших расстояниях от перетяжки радиус его кривизны возрас тает линейно с 2, как у сферической волны.

Наконец, рассмотрим продольный фазовый сомножитель в выражении (4.7.15а). Используя (4.6.4) и (4.7.156), видим, что помимо фазы - кг плоской волны гауссов пучок имеет дополнительный вклад ф(г), изменяющийся от -(л/2) до (л/2) при распространении пучка из области г —гЕ в область г

Результаты, приведенные на рис. 4.16, объединены на рис. 4.17, где сплошными линиями показаны размеры пятна 2и>(г) (профиль пучка), а пунк­тирными — волновые фронты (поверхности одинаковой фазы). Поперечное сечение пучка имеет минимальные размеры в виде перетяжки при 2 = 0; со­ответствующий размер пятна ю0 обычно называют размером пятна в пере­тяжке пучка. Отметим, в соответствии с используемым соглашением о зна­ке кривизны волнового фронта, что поскольку Я > 0 при г > 0 и Я < 0 при

2 < 0, то центр кривизны находится слева от волнового фронта при г > 0 и справа от него при г < 0.