ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

МОДА НИЗШЕГО ПОРЯДКА

Рассмотрим некоторую обобщенную оптическую систему, характеризуе­мую соответствующей ABCD-матрицей (см. рис. 4.14). Зададимся вопросом, существует ли такое решение уравнения (4.6.9), которое сохраняет свой функ­циональный вид по мере распространения волны в пространстве? Другими словами, существует ли собственное решение уравнения (4.6.9)? Ответ легко получить, если предположить, что в плоскости zl = 0 нет ограничивающей апертуры, так что двойное интегрирование в (4.6.9) можно проводить в пре­делах от - go до +оо как для х, так и для у координат. В этом случае путем прямой подстановки в уравнение (4.6.9) можно показать, что функция

И(х, у, г) ос exp - jk[(x2 + y2)/2q], (4.7.1)

Aqx +В Cqx + D

<7 =

X2 Л-у2 2q

Ё ос ехр - jk

(4.7.5)

Z +

Рассмотрим сферическую волну с центром в точке с координатами х1=у1 = = гх = 0. Напряженность электрического поля этой волны в точке Р(х, у9 г) может быть выражена в виде Ё ос [exp - jkR] / R, где R — радиус кривизны ее волнового фронта. В параксиальном приближении, следуя той же аргумен­тации, что и при выводе соотношения (4.6.6), запишем:

X2 +у2

2R

R = 2 - ь

Поле сферической волны преобразуется при этом к виду:

Ё ОС exp - jk

Х2+у2

2R

2-У

~ _j_ j.2

Е(х, у, 2) ОС ехр-------- х exp - jk

Wz

X2 4-у2 2R

2 +

Сравнение выражений (4.7.7) и (4.7.5) показывает, что гауссов пучок мож­но рассматривать как сферическую волну с комплексным радиусом кривизны волнового фронта, равным q. Для того чтобы выяснить физический смысл это­го комплексного параметра пучка, выделим действительную и мнимую части величины l/q, т. е. запишем:

1 _ 1 . X

(4.7.8)

Q R ^nw2* Подстановка выражения (4.7.8) в (4.7.5) дает:

Где q = д(г) — некоторый комплексный параметр (часто называемый ком­плексным параметром гауссового пучка), является собственным решением уравнения (4.6.9). Действительно, если записать

И(х1,у1,г1)кехр-Щ(х?+у*)/2д1], (4.7.2)

То из (4.6.9) после длительных, но простых вычислений получим, что

^ - у2 _4_ 1#2

 

(4.7.3)

 

Где параметр q связан с параметром qx простым соотношением:

 

МОДА НИЗШЕГО ПОРЯДКА

(4.7.4)

 

Соотношение (4.7.4), называемое законом АВСИраспространения гауссовых пучков, является очень важным. Оно имеет очевидное сходство с соотношени­ем (4.2.19), которое показывает, каким образом радиус кривизны фронта сфе­рической волны трансформируется при ее прохождении через оптическую сис­тему. Вернемся к дальнейшему обсуждению этого соотношения в разделе 4.7.3.

Обратимся теперь к физической интерпретации гауссова решения в виде (4.7.1). Для этого воспользуемся формулами (4.7.1) и (4.6.4), записав:

 

МОДА НИЗШЕГО ПОРЯДКА
МОДА НИЗШЕГО ПОРЯДКА

(4.7.6)

 

МОДА НИЗШЕГО ПОРЯДКА

(4.7.7)

 

МОДА НИЗШЕГО ПОРЯДКА
МОДА НИЗШЕГО ПОРЯДКА

(4.7.9)

 

МОДА НИЗШЕГО ПОРЯДКА

МОДА НИЗШЕГО ПОРЯДКАПрофиль напряженности электрического поля для гауссовых мод: а) низшего порядка; б) первого порядка.

Теперь можно обсудить физический смысл параметров ю и Л, входящих в формулу (4.7.8).

Для того чтобы понять смысл параметра ю, рассмотрим представленную на рис. 4.15а зависимость амплитудного множителя в правой части соотноше­ния (4.7.9), т. е. и0 = ехр-[(х2 + у2)/и>2, от величины г/ю, где г = [х2 + у2]1/2 — радиальная координата точки внутри пучка. Видно, что амплитудный множи­тель достигает максимального значения при г = 0, а при г = ю имеем и0 = 1/е. Таким образом, величина ю характеризует размеры пучка в поперечном на­правлении; ее называют размером пятна (при данной координате г). Отметим, что поскольку интенсивность излучения определяется величиной I ссЕ2, то получаем выражение I = /тахехр ~[2(х2 + у2)/ю2]. Если определить размер пятна профиля интенсивности ю1 как величину I = /тах/е, то получим, что ' юг = и>/у/2. Обычно, когда говорят о размере пятна, то чаще имеют в виду размер пятна профиля напряженности электрического поля ю, чем размер пятна профиля интенсивности.

Отметим, что на расстоянии от оси пучка, равном одному размеру пятна профиля напряженности поля, интенсивность / уменьшается в 1/е2раз по сравнению с ее величиной в максимуме.

Для того чтобы выяснить смысл входящего в формулу (4.7.8) параметра Л» обратимся к фазовому множителю в соотношении (4.7.9). Сравнение с соотно­шением (4.7.7), которое относится к сферической волне, показывает, что эти два выражения идентичны. Это позволяет отождествить Л в формуле (4.7.8) с радиусом кривизны волнового фронта гауссова пучка. Для того чтобы увй" деть это еще более отчетливо, рассмотрим поверхность равных фаз в гауссовом пучке, пересекающую ось г в данной точке г'. Тогда координаты х, у, г точек

На этой поверхности должны удовлетворять равенству кг + к(х2 + у2)/211 = кг что дает:

Х2 л-у2

подпись: х2 л-у2Г = г'

2R

подпись: 2r(4.7.10)

Таким образом, соотношение (4.7.10) показывает, что поверхность равных фаз является параболоидом вращения вокруг оси г. Далее, можно показать, что радиус кривизны этого параболоида в точке х = у = 0, т. е. на оси пучка, просто равен R. Это достаточно ясно объясняет, почему в приближении пара­ксиальных волн фазовые множители сферической волны, (4.7.7), и гауссова пучка, (4.7.9), одинаковы.

ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

Лазерная резка и гравировка в Киеве

Гравировка по металлу проводится на профессиональном оборудовании. Гравировка с высокой детализацией применяется для оформления подарков, памятных вещей.

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ И ВРЕМЕННАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ ТЕПЛОВЫХ ИСТОЧНИКОВ СВЕТА

В данном разделе приводится краткое описание когерентных свойств света, который излучается обычной лампой (лампой накаливания или га­зонаполненной лампой). Поскольку свет в этом случае обусловлен спон­танным излучением многих атомов, по существу …

УРАВНЕНИЕ ИОНИЗАЦИОННОГО БАЛАНСА

В результате соударений частиц с электронами в объеме электрического разряда происходит постоянное образование электронов и ионов. Ударная ио­низация осуществляется присутствующими в разряде горячими электронами, т. е. теми, энергия которых больше …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.