ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

ОПИСАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ВОЛНОВОЙ ОПТИКИ

До сих пор рассуждения проводились в приближении геометрической оптики. Для того чтобы получить более реалистичное описание мод в неус­тойчивом резонаторе, необходимо применять методы волновой оптики, т. е. использовать интегральное уравнение (5.2.5), которое выводится из уравне­ния дифракции Гюйгенса-Френеля (5.2.1). При этом для неустойчивых ре­зонаторов важным обстоятельством является ограниченность размера апер­туры зеркала на выходе, поскольку излучение должно выходить из резонато­ра вокруг этого зеркала. Следовательно, функция распространения К, которую следует подставить в (5.2.5), в принципе может быть получена точно таким же
методом, который был применен в разделе 5.5.2 для устойчивого резонато­ра. После этого интегральное уравнение может быть решено с помощью ите­рационной процедуры, аналогичной процедуре Фокса-Ли, которая была рас­смотрена все в том же разделе 5.5.2. Детально обсуждать эти расчеты здесь не будем, а ограничимся только перечислением нескольких существенных результатов и комментариями к ним.

Первый важный результат заключается в следующем: описание с приме­нением методов волновой оптики показывает, что собственные решения уравнения (5.2.5), т. е. такие профили напряженности электрического поля, которые воспроизводят себя после одного обхода резонатора, действитель­но существуют и в неустойчивых резонаторах. Для того чтобы продемонст­рировать это немного более подробно, ограничимся рассмотрением одно­стороннего неустойчивого конфокального резонатора и определим эквива­лентное число Френеля как Иед =[(М-1)/2](а|/ІА) для положительного типа и = [(М + 1)/2](а| /Ьк) для отрицательного типа, где 2а2 — диаметр

Зеркала на выходе. Характерный пример рассчитанного радиального профи­ля интенсивности, который воспроизводится после одного обхода, показан на рис. 5.19. Расчет относится к конфокальному резонатору положительно­го типа с М = 2,5 и Мед = 0,6, а профиль интенсивности, соответствует полю распространяющегося вправо пучка внутри резонатора непосредственно пе­ред зеркалом 2 (рис. 5.18б). Профиль интенсивности на рис. 5.19 показан в зависимости от поперечной координаты х (или у)9 нормированной на радиус ах зеркала 1. При этом предполагается, что выход излучения в одном на­правлении обеспечивается выполнением соотношения а1 = 2,5а2. Следова­тельно, вертикальные линии на рисунке, проведенные при (х/ах) = ±0,4, по­казывают края зеркала 2 на выходе.

Исходя из рис. 5.19 можно отметить особый смысл изображенного на нем самовоспроизводящегося при одном обходе неустойчивого резонатора про­филя интенсивности. Распространяющаяся влево сферическая волна, фак­тически отраженная от зеркала 2 (см. рис. 5.186), образована только теми участками показанного на рис. 5.19 профиля интенсивности, координаты которых удовлетворяют условию -0,4 ^ (х/ах) ^ 0,4. Действительно, осталь­ная часть падающего на зеркало 2 излучения проходит вокруг него, образуя пучок на выходе из резонатора. Излучение, оставшееся в резонаторе, в ре­зультате совместного влияния сферической расходимости и дифракции пуч­ка после одного обхода резонатора снова будет иметь полный профиль интен­сивности, показанный на рис. 5.19. Амплитуда профиля пучка после одного обхода будет меньше исходной из-за потери той части излучения, что вышла из резонатора мимо зеркала 2. Следует также отметить, что профиль на рис. 5.19 заметно отличается от профиля для волны с предполагавшейся по­стоянной при описании в рамках геометрической оптики амплитудой; это различие обусловлено дифракцией волны в резонаторе, и прежде всего — на краях зеркала 2. Действительно, из рис. 5.19 видно, что если рассматривать координату х как расстояние по радиусу от центра зеркала 2, то в попереч­ном сечении пучка можно отметить наличие нескольких колец, возникаю­щих в результате дифракции на краях зеркала. Несмотря на существенное

Характерный пример рассчитанного методами волновой оптики поперечного профиля интенсивности в моде неустойчивого резонатора (из [12], с разрешения)

Рис. 5.20

Поперечные профили интенсивности трех мод низшего порядка в планарном неустойчивом резонаторе с М = 2,5 и Аґ„ = 0,6 (из Г10], с разрешения)

Различие профилей интенсивности, предсказанных в приближениях волно­вой или геометрической оптики, изменения фазы оказываются на удивле­ние одинаковыми при обоих способах описания. Действительно, волновой фронт близок к сферическому, с радиусом кривизны, практически равным величине, полученной в приближении геометрической оптики (т. е. в рас­сматриваемом случае, непосредственно перед зеркалом 2, этот фронт явля­ется плоским).

Вторым существенным результатом описания неустойчивых резонато­ров с использованием методов волновой оптики является то, что для них, так же как и для устойчивых резонаторов, существуют отличающиеся друг от друга поперечные моды, т. е. специфические самовоспроизводящиеся про­странственные распределения напряженности электрического поля. Обыч­но эти моды отличаются расположением и интенсивностью дифракционных колец. Пример трех таких мод в конфокальном неустойчивом резонаторе положительного типа показан на рис. 5.20. В отличие от устойчивых резона­торов, в данном случае невозможно провести четкое различие, исходя из вида этих распределений, между модой низшего и модами более высоких порядков. Отметим, что мода, обозначенная на рисунке как I = 0, соответст­вует распределению амплитуды напряженности поля, более сконцентриро­ванному вокруг оси пучка. Таким образом, в данном случае эта мода имеет наименьшие потери, т. е. является «основной» модой.

Третий характерный результат можно найти, если варьировать эквива­лентное число Френеля, т. е. как-то изменять величины параметров М, а2 или Ь. Фактически при каждом целом значении эквивалентного числа Фре­неля модой низшего порядка, т. е. модой с наименьшими потерями, становят­ся различные определенные моды резонатора. Это утверждение можно понять с помощью рис. 5.21, на котором приведена зависимость модуля собственного значения а отЫед для трех мод, показанных на рис. 5.20. Действительно,

Заметим, что поскольку у = 1 — |а|2, мода с / = 1 становится модой низшего порядка, когда Ыед принимает значения больше 1 (и меньше 2). Причина этого заключается в том, что по мере увеличения Ыед, начиная, например, с = 0,6

На рис. 5.20, пучок моды с / = 1 сжимается к оси, а моды с / = 0 — расширяет­ся, так что при Ыед = 1 эти две моды меняются местами с точки зрения вели­чины потерь. Из рис. 5.21 видно также, что при каждом полу целом значе­нии Ыед разница величин потерь для моды низшего порядка и для других мод весьма значительна. Может показаться, что такие значительные различия в потерях для поперечных мод могут быть получены только при этих услови­ях. Однако отметим, что при тех условиях, когда кривые потерь для двух мод пересекаются, (т. е. при целых значениях Ыед на рис. 5.21), распределе­ния интенсивностей в этих двух модах становятся идентичными. Таким об­разом, например, при Ыед = 1 существует большая разница в величине по­терь для моды с / = 2 и мод с/ = 0и/=1, которые с точки зрения поперечного профиля пучка можно рассматривать как эффективно являющиеся одной и той же модой.[27] В заключение отметим, что для неустойчивых резонаторов всегда характерны значительные различия в потерях для поперечных мод, которые, пожалуй, наиболее сильны при полу целых значениях Мед.

Можно также указать на то, что из расчета с использованием методов волновой оптики при полуцелых значениях Иед величина потерь для моды

Низшего порядка получается значительно меньше той, которую можно пред­сказать на основе геометрической оптики. Это хорошо видно из рис. 5.22, на котором показаны потери у за счет выхода излучения из неустойчивого резо­натора в зависимости от коэффициента увеличения за обход М. Сплошными линиями на рисунке (которые соответствуют последовательным полуцелым значениям Иед) показаны зависимости, полученные с помощью волновой оп­тики, а пунктирная линия соответствует выражению (5.6.5), полученному из соображений геометрической оптики. Видно, что в любом случае потери для моды низшего порядка меньше величины, предсказываемой с использо­ванием геометрической оптики. Этот результат обусловлен тем фактом, что интенсивность в моде низшего порядка концентрируется вблизи оси пучка (см. рис. 5.20), а не равномерно распределена по его поперечному сечению, как это предполагается в рамках геометрической оптики.