ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЙ ЭЛЕКТРО­ПРИВОД

УСТАНОВИВШИЕСЯ РЕЖИМЫ АСИНХРОННЫХ ЭЛЕКТРОПРИВОДОВ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ УПРАВЛЕНИИ

2.1. ОСОБЕННОСТИ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ОТ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ

Установившийся режим составляет, как правило, значитель­ную долю в общем времени работы электрического двигателя. При традиционном рассмотрении установившийся режим является ста­тическим и характеризуется постоянством электромагнитного мо­мента двигателя и его скорости, т. е. dM/dt=0 и dQ/dt=0.

При параметрическом управлении асинхронным электроприво­дом от полупроводниковых преобразователей осуществляется дискретное воздействие на электропривод, приводящее к тому, что в течение периода переменного коммутируемого напряжения про­исходит последовательное изменение схем включения асинхронной машины и структуры управляемого объекта. Поэтому установив­шийся режим сопровождается электромагнитными переходными процессами, связанными с переключением вентилей, что приводит к изменению электромагнитного момента, а следовательно, и к по­явлению производной скорости во времени, т. е. при рассмотрении установившегося режима можно говорить лишь о постоянстве среднего момента Мср и средней скорости двигателя, так как мо­мент двигателя помимо средней (постоянной) составляющей со­держит еще и установившуюся периодическую (переменную, пульсирующую) составляющую, частота и амплитуда которой за­висит от типа полупроводникового преобразователя, способа управления им и места его включения. Таким образом, в рассмат­риваемом случае имеет место установившийся динамический ре­жим [29] с ненулевыми производными момента и скорости во времени, который часто называют квазистатическим, или квази - установившимся.

При исследовании таких режимов необходимо решать диффе­ренциальные уравнения асинхронной машины, которые при изме - 24 няющейся скорости электропривода являются нелинейными и не имеют аналитического решения. Учитывая это, будем считать, что в установившемся режиме скорость электропривода постоянна (Q=const, dQ/dt=0), так как переменная составляющая момента из-за большой частоты пульсаций практически не может вызвать сколько-нибудь заметных колебаний скорости в квазистатическом режиме, когда момент нагрузки уравновешивается средним мо­ментом двигателя.

Однако даже при £2=const возникают значительные трудно­сти при аналитическом решении традиционными методами систем линейных дифференциальных уравнений, описывающих устано­вившийся режим асинхронного двигателя. При использовании классического метода эти трудности связаны с необходимостью отыскания постоянных интегрирования из системы алгебраиче­ских уравнений высокого порядка. При операторном методе реше­ние становится чрезвычайно громоздким из-за сложности опре­деления начальных условий на расчетном интервале времени и необходимости стыковки решения систем дифференциальных уравнений, соответствующих различным схемам включения асин­хронной машины.

В последние годы для расчета установившихся режимов асин­хронных электроприводов при использовании различных схем преобразователей для фазового управления в статоре стал приме­няться метод переменных состояний, основанный на решении с по­мощью ЦВМ системы матричных линейных дифференциальных уравнений. Этот метод для схемы ЗТТ был предложен в [30], а для схемы ITT — в [31]. В дальнейшем он был использован и в других работах при анализе схем ЗТТ, ITT, ЗТД для фазового управления в статоре [32—37]. В этих исследованиях решение при Q=const доведено до получения закономерностей изменения мгновенных значений токов, напряжений, моментов и построения зависимости Mcp=f(t).

Метод переменных состояний при анализе установившихся ре­жимов может быть распространен на все способы параметриче­ского управления асинхронным двигателем (в частности, при управлении в статоре — на схему 2ТТ для Ф'У, на схемы широт­но-импульсных преобразователей и схемы, обеспечивающие ре­жим динамического торможения, а также на все схемы преобра­зователей, предназначенных для управления в роторных цепях, и системы комбинированного управления). Это позволяет создать единую теорию расчета квазистатических режимов асинхронных полупроводниковых электроприводов при различных методах па­раметрического управления и определить показатели и характе­ристики установившегося режима работы электропривода, в част­ности рассчитать законы изменения мгновенных значений момен­та, фазных напряжений и токов статора и ротора; рассчитать средний момент двигателя, частоту и амплитуду пульсаций момен­та; произвести при необходимости гармонический анализ токов и напряжений двигателя; определить величину действующего тока;

оценить неравномерность загрузки отдельных фаз двигателя (если она имеет место), рассчитать энергетические показатели электро­привода (КПД, коэффициент мощности, дополнительные потери в обмотках двигателя при питании несинусоидальным током) и т. д. Использование единой теории и общих расчетных методов для различных систем параметрического управления в статорных и роторных цепях позволяет обоснованно произвести их сравни­тельную оценку и определить наиболее рациональные схемы пре­образователей.

Рассмотрим особенности расчета установившихся режимов на основе метода переменных состояний. Для их описания использу­ются дифференциальные уравнения обобщенной двухфазной ма­шины переменного тока [38—40], полученные при общепринятых допущениях (не учитываются насыщение, потери в стали, высшие гармоники магнитного поля; воздушный зазор принимается рав­номерны^ напряжение питания является симметричной системой синусоидальных напряжений). Предполагается также, что пара­метры роторной цепи приведены к статорному контуру.

При рассмотрении работы асинхронного двигателя совместно с полупроводниковым преобразователем будем считать, что вен­тильные элементы (диоды, тиристоры, транзисторы) имеют идеа­лизированные характеристики и используется так называемое симметричное управление преобразователями, когда значения а (у) для тиристоров (транзисторов), включенных в разные фазы, равны между собой. Обычно дифференциальные уравнения асин­хронного двигателя записывают в относительных единицах, ис­пользуя в качестве базовых следующие величины: 1) для напря­жения U6=Um<i> n, где Um ф n — амплитуда номинального фазного напряжения статорных цепей; 2) для тока /б=/тф^, где /тфл? — амплитуда номинального фазного тока статора; 3) для активных, индуктивных И ПОЛНЫХ сопротивлений Zb=Utlh 4) для скорости Q6=fi0, где £2о=2я/о — угловая частота напряжения питающей сети; 5) для времени ^б=1/^б=1/^о; 6) для потокосцеплений W6==U6t6—U6/^6', 7) для индуктивностей £б=^б//б==£/б/&о/б= =Ze/^б; 9) для активной, реактивной, полной мощностей Рб= =£1Лг=3£/флг/флг=3/2£/б/б, где Sin — номинальная полная мощ­ность двигателя, иФы и Iфы— номинальные действующие фазные напряжения и ток статора; 9) для моментов Мб=РбРп/&б— =3/2Ч/‘б/брп; 10) для моментов инерции Іб=Мбібрп=РбРп2/&б3. В дальнейшем в гл. 2—4 будем применять при описании асин­хронной машины принятые относительные единицы, оговаривая переход к абсолютным единицам или к относительным единицам при других базовых величинах. Введем специальные буквенные обозначения для относительных значений времени, скорости и мо­мента: 't=t/t6=tQo, o)—Q/Q,6=Q/Q0, т=М/Мь, а остальные от - носительные единицы будем обозначать так же, как и абсолют­ные.

Исходные уравнения, записанные через проекции обобщенных векторов на ортогональные оси и, и, вращающиеся с произвольной

Uus — Rjus ~Ь D'Pи

uvs ~ *As + DWVS - f - сок^Ы5; Wur'-= ^2кг + DWur — (coK — CO) Wvr uvr~ ^2ivr 4~ DWvr -f - (coK — to) Wur,

«Л*;

где сок — угловая скорость координатных осей; D — символ диффе­ренцирования по времени; Uus, uvs (uUr, War) — проекции на оси W, v обобщенного вектора напряжения статора (ротора); ius, ivs (iur, /иг) — проекции на оси и, и обобщенного вектора тока статора (ро­тора) ; Ч^, 'Ft,* (4V, ^иг) — проекции на оси и, v обобщенного вектора потокосцепления статора (ротора); /?і(і? г)—активные сопротивления статорных (роторных) цепей.

Пространственные обобщенные векторы могут быть записаны в комплексной форме в системе координат и, v, если известны их проекции на эти оси, следующим образом:

x=xu+jx v—xe’y‘t (2.2)

їм = W + xv> tgY = xjxu, (2.3)

где x — обобщенный пространственный вектор (Us, Ur, is, ir, Ws,

Jr).

Формулы прямого и обратного преобразования устанавливают связь между фазными величинами трехфазной асинхронной маши­ны и проекциями обобщенного вектора двухфазной машины [39]. Формулы прямого преобразования имеют следующий вид:

= 2/3 ] xas cos coK*c-f^s cos (сокт— 2*/3)-|-*M cos (сокт+ 2it/3) I; j xvs=—2/3 [ sin coKT 4- Xbs sin (coKT—2Tt/3)-j-^cs sin (cort+ 2it/3)]; |

*ur = 2/3 {Xar cos (coK — со) X - f xbr cos [(сок со) t 2*/3] +

-f xcr cos[(toK — со) T - f 2*/3]}; xvr = — 2/3 {xar sin (coK — CO) 14- xbr sin [(coK — со) X — 2*/3J +

+ Xcr sin[(coK — CO) T + 2it/3]},

где Xas, Xbs, Xcs (Xar, Xbr, Xcr) — фаЗНЬІЄ ЗНаЧЄНИЯ СТЭТОрНЫХ (pO-

торных) величин; xus, xvs (xur, xvr) — проекции обобщенных век­торов статора (ротора).

Фазные величины трехфазной асинхронной машины определя­ются по формулам обратного преобразования: для статора

•Xas = хus C0S юкт — Xvs Sin СОкт;

Xbs = Xus COS (coKx — 2it/3) — xvs sin (coKT — 2ti/3) ; XC8 = Xus COS (coKT-f 2-ге/З)— *us sin (coKT - f 2«/3);

для ротора

xcr— Xur C0S (®к — со) х — AV sin (0)К — со) х;

хьг = хиГ cos 1(сок — (о) х — 2тг/3| — x,,r sin [(сок — со) х — 2n/3J;

ЛсГ = лыГ cos[(сок — СО) X - f 2ії/3] — xvr sin [(сок — со) X -|- 2*/3].

Связь между потокссцеплепиями и токами выражается с помощью уравнений вида

где Ls=Li+^o—индуктивность фазы статора, учитывающая маг­нитную связь с другими фазами статора; Lr—L2--Lo — индуктив­ность фазы ротора, учитывающая ее магнитную связь с другими фазами ротора; L{L2)—индуктивность рассеяния фазы статора (ротора); Lo=3/2Mi2 — взаимная индуктивность между фазой статора (ротора) и всеми фазами ротора (статора); М2 — макси­мальная взаимная индуктивность между фазой статора и ротора.

Подставляя (2.7) и (2.1), получаем систему дифференциальных уравнений:

s I LsDius —j— L ()Dinr a>JLsivs coKL 0ivr, vs 4“ LsDLds. - f~ (iLsius - j-

иґ I LrDilir ] Li:Di[is (coK CO) Lriv,. (сок со) Lnivs, vr “b LrDivr ■— L0Divs - j - (сок — со) Lriur - f - (coK — со) L0ius.

Электромагнитный момент, развиваемый двигателем, быть определен из выражения

т — и ( Іиг Іvs iusivr) •

Исходная система (2.8), которая при co=const является ли­нейной, видоизменяется в зависимости от схемы включения ма­шины. Однако при общем рассмотрении она может быть записа­на в матричной форме

U= RI-f-LDI,

где U =||«us, uvs, uur, uvr\T — вектор напряжения асинхронной ма­шины; l = ||*ws, ivs, iur, ivr\T — вектор токов асинхронной машины; L, R — квадратные матрицы коэффициентов 4X4, зависящие от параметров машины, скорости двигателя, угловой скорости коор­динатных осей и схемы включения.

Фазные напряжения питающей сети описываются следующи­ми выражениями:

иА - cos т; ur — cos (х

ис = cos (т —{— З-к/З).

Введем в рассмотрение обобщенный вектор напряжения пита­ющей сети

U]y — UuN-{-jUvN, (2.12)

где ииn, uvn — проекции вектора uN на ортогональные оси и, v. Используя (2.3), (2.4), (2.11), получаем

Входным вектором системы является вектор uN, а его компо­ненты— это проекции uN на ортогональные оси, т. е. U^ = ||«uat,. uvN\T. Очевидно, существует связь между векторами U и Uas.

в общем случае, как показывает анализ, U является функцией U^ и координат вектора I:

U = NUjv+P£I+KI, (2.14)

где N — матрица коэффициентов размера 4X2; Р, К—матрицы

коэффициентов размера 4X4.

Вид этих матриц зависит от схемы включения машины. Под­ставляя (2.14) в (2.Т0)7^лучавм

NUn+PDI+K* = RI+LDI. (2.15)

Приведем уравнение состояния асинхронного двигателя (2.15) к нормальному виду:

D =—B-TI+B-WUiv, (2.16)

где матрица B=L—Р, F=R—К. Для того чтобы перейти к ре­шению однородного дифференциального, уравнения, введем обоб­щенный вектор состояния

компонентами которого являются проекции на ортогональные оси и и v обобщенных векторов тока статора, ротора и напряжения питающей сети.

Как следует из (2.13),

° _(! «,„) ц ни (218)

(1—(0К) О

Зависимость производной вектора Ujv от обобщенного вектора со­стояния V можно представить в следующем виде:

DUjv=OI+HUjv, (2.19)

где 0 — нулевая матрица размера 2X4.

С учетом (2.16) и (2.19) получаем

D=AV, (2.20)

—В-1? B-1N О Н

— характеристическая квадратная матрица коэффициентов раз­мером 6X6.

Решение однородного дифференциального матричного уравне­ния (2.20) можно записать в следующем виде:

V(x) = eAt V (0), (2.21)

где V (0) — начальный обобщенный вектор состояния системы; еКх — расширенная переходная матрица системы, так называе­мый матричный экспоненциал.

Матричный экспоненциал определяется как сумма ряда

eA' = E + Ax+<^i+(-^!l+...=|J<^i, (2.22)

1=0

где Е — единичная квадратная матрица размером 6X6.

Вычисление (2.22) производится на ЦВМ. Обычно для опре­деления еАт достаточно вычислять 8—10 членов ряда [30].

В установившихся режимах из-за периодичности процессов и симметричности компонент вектора V его составляющие, т. е. обобщенные векторы un, is, ir, обладают так называемой £-такт< ной симметрией [30, 37], т. е. годографы этих векторов, являю­щиеся за период коммутируемого переменного напряжения ти замкнутыми кривыми, состоят из g одинаковых тактов, длитель­ность каждого из них xT—xu/g. Такты можно совместить друг с другом поворотом на угол тu/g. Следовательно, существует такой расчетный интервал времени тр=тт, обычно меньший, чем период переменного напряжения т«, для которого выполняется следую­щее условие:

«А, (' + *р) = е‘(' "К> к (т),

|^ + 'р) = ^<|-‘к, ЧМ. | (2.23)

Условие периодичности может быть записано и для обобщен­ного вектора состояния

V (т-f-Tp) = TV (т), (2.24)

где Т — квадратная матрица размера 6X6.

Эта матрица может быть представлена с использованием квад­ратных подматриц 0 и S размера 2X2:

Значение Тр зависит от способа параметрического управления, типа полупроводникового преобразователя и места его включения (в статорные или роторные цепи).

На отрезке тр, отсчитываемом от времени т0 (принятого за на­чало расчетного интервала) до времени тк (тр=тк—то), содер­жится k интервалов времени, соответствующих различным схемам включения машины. Границами этих интервалов являются момен­ты времени то, ті, Т2, ...,тк. На /-м интервале ATj=T7-—т7-і решение для V (т) имеет вид

(2.27)

где А і — матрица коэффициентов, соответствующая схеме вклю­чения асинхронной машины на отрезке Лт?.

В силу непрерывности обобщенного вектора состояния систе­мы значение вектора V(tj) в конце интервала Дт3 является на­чальным значением для следующего Лт/+і интервала. С учетом этого можно записать функциональную зависимость между зна­чениями вектора V (т) в конце и начале расчетного периода тР:

/=і

Л (хгхі-

V^

i=k

где П — знак произведения.

Так как значения V(tK) и V(to) связаны соотношением (2.24), получаем

WV(t0)=0, (2.29)

где

W = Т — J] еК'1 Xi-x).

i=k

Из (2.29) может быть определен вектор начальных условий V (то) для расчетного интервала тр, а также, если это необходи­мо, и время то, принимаемое за начало отсчета. Мгновенные зна­чения вектора V(t) на интервале тР определяются с помощью

(2.27) , на остальных участках времени — с использованием (2.24).

Таким образом, при исследовании установившихся режимов
полупроводниковых асинхронных электроприводов с использова­нием метода переменных состояний необходимо определить:

1) целесообразную скорость вращения координатных осей сок;

2) расчетный интервал тр, удовлетворяющий условию (2.24), и То — время начала отсчета тр; 3) количество различных схем включения двигателя на отрезке тр и матрицы А} для этих схем;

4) длительность отдельных интервалов Ат/, в течение которых ре­ализуется та или иная схема включения машины; 5) вектор на­чальных условий V(to); 6) мгновенные значения вектора V(t) на расчетном интервале тр.

Как видно из описания алгоритма, расчет установившихся ре­жимов на основе метода переменных состояния выгодно отлича­ется от обычных численных методов решения на ЦВМ системы дифференциальных уравнений, так как позволяет сразу же полу­чить решение для установившегося режима при рассмотрении только отрезка времени тр, обычно меньшего, чем период перемен­ного напряжения. Эти особенности расчета существенно сокраща­ют машинное время.

Располагая мгновенными значениями вектора V(t), можно рассчитать показатели, характеризующие установившийся режим работы электропривода.

Проекции обобщенных векторов токов статора и ротора (iUs, ivs, iur» ivr) являются компонентами вектора V, закон изменения которого во времени известен.

Проекции обобщенных векторов ПОТОКОСЦЄПЛЄНИЙ (Wms, 'Fws, lFMr, Ч^г) определяются с помощью (2.7).

Проекции обобщенных векторов напряжений (uus, Uvs, Uur, uvr) при известных Ujv и I рассчитываются с использованием (2.14). Формулы обратного преобразования (2.5), (2.6) позволяют опре­делить фазные токи и напряжения.

Зная закон изменения мгновенных фазных значений статор­ных и роторных цепей, можно найти действующие значения токов и напряжений в отдельных фазах и произвести гармонический анализ этих функций. Если при работе вентильного преобразова­теля трехфазная система напряжений и токов, питающих двига­тель, несимметрична^ то необходимо рассчитывать гармонические доставляющие к а ж доїї~<фНЗБГГгГ ]зат|!М^^ и ч -

ных составляющих для гармоник одного номерга;—определять со­ставляющие прямой и обратной последовательностей.

Если токи, протекающие по обмоткам статора (ротора), раз­личны, то определяется их действующее значение для каждой фа­зы статора (ротора).

Закон изменения электромагнитного момента во времени т= = /(т) определяется по (2.9). Средний момент (постоянная со­ставляющая)

Положительная и отрицательная амплитуды (+Лт, —Ат) пере­менной составляющей момента могут быть рассчитаны следую­щим образом:

+А т=ттах—тсР; (2.32)

—Am=mmin—mcp, (2.33)

где пітах{іПтіп)—максимальное (минимальное) значение момен­та на отрезке тР.

Из-за периодичности процессов в установившемся режиме удовлетворяется условие т(т+тР) =т(т), т. е. периодом функ­ции т(т) является тР. Отсюда следует, что частота пульсирующей составляющей момента

/п = (2.34)

тр

Для обобщенной характеристики пульсирующего момента можно ввести в качестве показателя q наибольшее значение инте­грала переменной составляющей момента:

и *

J (т — тср) di

где т' и т — моменты времени, соответствующие условию т(т') = пг(т") =imcp. Значения т' и т выбираются таким образом, чтобы значение q было максимальным.

Используя общие методы определения активной (Р), реактив­ной (Q) и полной мощности (5) в трехфазных цепях переменного тока при управлении от вентильных преобразователей [41], мож­но получить выражения для коэффициента мощности kM и коэф­фициента полезного действия т] при синусоидальном напряжении питающей сети:

•Sj.— 2/3 (las "f - Ics)’>

PX=V2/3 (Ilas cos cpla 4- /l6s cos <p1/; + /lcs cos <plc);

^ ^ і I las coS Via Ч~ I lbs cos fib Ч~ Iics cos Yl с.

Si ~ ^(4+4+4)

r, = A=_ ^ (2.38)

Pi /2 (/,

as

cos yia + Ilbs COS <p1& + /lcsCOS <flc)

где Pi и Si — активная и полная мощность, потребляемая из сети переменного тока трехфазной нагрузкой: has {libs, hcs) —дейст­вующее значение первой гармоники тока фазы а (Ь, с) статора; фіа(фіь, фіс) — фазовый сдвиг первой гармоники статорного тока фазы а (Ь, с) по отношению к напряжению фазы Л (В, С) питаю­щей сети; Ias {lbs, hs)—действующее значение тока фазы а {Ь, с) статора; Р2 = тсРсо — механическая мощность на валу асинхрон­ного двигателя.

где kK=Iis/Is — коэффициент искажения.

Для оценки нагрева обмоток двигателя высшими гармоника­ми тока при несинусоидальном питании целесообразно ввести так называемые коэффициенты перегрузки по току статора knа—

===Ias/Ilas, knlb == Ibs/Ilbs, knlc—I c, s 11 cs И pOTOpa ^n2a==^ar/^lar, kn2b=z I br! Ibri ku2c== I cr 11cr, ГДЄ /аг» Лу(-Лаг> І br, Асг) ДЄИСТ-

вующие значения тока (первой гармоники тока) фаз ротора.

В симметричных режимах величины kn для отдельных фаз ста­тора (ротора) одинаковы, т. е. kni=Is/hs, >kn2 = 1гЦг-

Рассмотрим особенности исследования установившихся режи­мов полупроводниковых асинхронных электроприводов при ис­пользовании преобразователей различного типа.