ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ СВАРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
КОРРЕКТНОСТЬ ПО ШИРИНЕ ДЕТАЛИ
Сопоставим распределение напряжений в минимальном сечении по формуле (3.28) у очень острого эллиптического отверстия с р ^ 0 и распределение напряжений при 0 = 0 по формуле (3.60) для трещины такого же размера.
Для максимальных напряжений у эллиптического отверстия в бесконечной пластине были записаны формулы:
|
°x = p ■ A■ X3 +%■ (ф2-ф-3) + ф +1 ,
|
|
где |
(3.28)
(3.29)
Учтем, что координата Нейбера x соответствует координате у механики разрушения, а координата у по Нейберу соответствует координате (x + l) механики разрушения. Полудлина эллипса t соответствует размеру трещины l.
Перепишем формулы (3.28) и (3.29) с учетом этих обозначений и считая 0:
|
Р; X; ; Р |
|
Ф = У1 = 1 = A = |
|
X) + L. Г 2 X +1 Р) Р к Р |
|
X + 2. X |
|
ГР |
|
41 |
|
р; l; |
|
fp - 1)-(р-1) (^{р-1 |
|
Л3 г |
|
X+1 |
|
1 - ip-3 |
|
= p ■- |
|
X + 2 ■ X |
|
X + 2 ■ X |
или
|
X + 1 |
|
X+1 |
|
■ё- |
|
3!'+ |
|
= Р ■ |
|
Р) +р і) l |
|
I |
I
После исключения малых величин окончательно получим для сквозной трещины в бесконечной пластине:
X/1 +1
(3.88)
= Р ■
V(x /l)2 + 2 • (x /l)'
Из формулы (3.88) видно, что на очень малых расстояниях от вершины трещины, при х/l ^ 0, напряжения можно вычислить как
= Р ■
l
|
(3.89) |
2 ■ X'
Это выражение совпадает с формулой (3.63), полученной ранее из линейной механики трещин. Таким образом, на малых расстояниях от вершины трещины полученная по Нейберу формула
(3.88) соответствует линейной механике трещин.
|
Рис. 3.39 Распределение напряжений при у = 0 в бесконечной пластине у трещины и погрешность вычислений 8о |
Результаты вычислений напряжений по формуле (3.89) показаны на левом графике рис. 3.39 прерывистой наклонной прямой линией. Результаты, полученные по формуле (3.88), показаны сплошной кривой линией, которая при малых x/l совпадает с прерывистой прямой, а при больших x/l асимтотически приближается к горизонтальной прямой yy/p = 1,0.
Расстояние между этими линиями представляет собой погрешность вычислений напряжений при использовании формул линейной механики разрушения. Ее можно определить по формуле
x /1 +1_________ I_ l
P V(x/l)2 + 2• (x/1) P V2■x _ (x/1 +1)-V2
|
_ 1. |
5a _-
|
l 2 • x |
yjx /1 + 2
|
Если это уравнение решить относительно x/l, получим -8ct)2 |
|
-2 - бст + бст2. (3.90) |
|
Численные результаты вычисления погрешности 8ст показаны кривой линией на правом графике рис. 3.39. Зона этой погрешности — на левом графике областью с вертикальной штриховкой. Знак «минус» означает, что погрешность при определении напряжений по линейной механике приводит к заниженным результатам. Вертикальная линия (x/l)max ориентировочно ограничивает область графика, правее которой погрешность считается недопустимо большой. Если задаваться рядом допустимых погрешностей от 1 до 20%, то по формуле (3.90) можно определить максимальные значения |
|
x) = (1 l /max |
|
(1 + 5cj)2 |
|
--1 |
|
-1 |
|
Таблица 3.2 Допускаемая погрешность вычислений 5а и максимально допустимые xll
|
отношения (x/l)max, до которых решение считается корректным. Такие значения правой границы области корректных решений представлены в табл. 3.2.
Левая граница области корректных вычислений на рис. 3.39 связана либо с появлением пластических деформаций, либо с заметным радиусом закругления вершины дефекта.
Выше — формула (3.72) — было показано, что размер пластической зоны составляет
2
Ki
2гт =-
2п
Естественно, что формулы линейной механики трещин для расчета напряжений пригодны только за пределами пластической зоны. Поэтому при расчетах напряжений отношение x/l должно быть больше, чем 2гт/1:
s2 , / 2
|
Ki |
x > 2Гт
|
р2 |
l п. ц2.1
Эта левая граница при ^ = 1 и стт/р = 4 также показана вертикальной линией на левом графике рис. 3.39. В области левее этой границы формулы линейной механики завышают реальные напряжения, поэтому погрешность обозначена знаком «плюс» и ее область покрыта горизонтальной штриховкой.
Если (x/l)max окажется меньше (x/l)min, то в образце или конструкции не будет ни одной точки минимального сечения, где напряжения с помощью KI вычисляются с заданной точностью. В этих условиях определение полей напряжений по линейной механике трещин невозможно, и говорят, что применение линейной механики разрушения некорректно. Оно будет корректным, если (x/l)max ^ (x/l)min. То есть
|
Kl От |
/ x) г. - —2
|
l /п |
(3.91)
n-r2 - l
или, условия корректности для бесконечной пластины выполняются, если:
l 1
(3.92)
>
(Ki/ О,,)2 Я - (x/l)max V
Подставив в эту формулу зависимость (x/l)max от погрешности 8ст из (3.90), можно получить выражение для расчета отношения [1/(^/стт)2] как функции от погрешности 8ст и жесткости напряженного состояния ^.
|
1/(К т/ат) |
|
1 |
|||||
|
1 1 |
|||||
|
> |
|||||
|
Л = |
1,0 |
||||
|
4 = 1 |
8 |
||||
|
л = |
"------- |
------ |
------ |
|
і/ 3.5 3.0 2.5 ■ 2.0 1.5 1,0 0,5 О |
|
О |
|
10 15 |
|
20 5о, % |
|
Рис. 3.40 Зависимость относительной длины корректной трещины от погрешности вычисления напряжений |
Вычисление этой зависимости с помощью MathCad показано на графике рис. 3.40, где построены три кривые: 1) для плоского напряженного состояния ^ =1 (очень тонкая пластина); 2) для плоской деформации ^ = 2,5 (пластина бесконечно толстая); 3) для обобщенной плоской деформации ^ = 1,8 (случай, обычно наблюдаемый при испытаниях образцов со сквозной трещиной).
В ГОСТе на механические испытания для определения характеристик вязкости разрушения (трещиностойкости) материалов указано, что размер трещины l и ширина минимального сечения образцов b - l должны быть больше, чем:
|
(3.93) |
b' lb2.5-rЬ
На рис. 3.40 это требование нанесено жирной горизонтальной прямой. Погрешности в точках пересечения кривых, вычисленных для разной жесткости напряженного состояния, с этой прямой приведены в табл. 3.3.
|
Таблица 3.3 Погрешности вычисления напряжений при I = 2,5 • (Яі/ат)2
|
Из таблицы видно, что если деталь удовлетворяет формуле (3.93), то при плоском напряженном состоянии погрешность вычисления напряжений в наиболее благоприятной точке минимального сечения составляет около 10%. Однако в реальных условиях испытаний на вязкость разрушения ^ = 1,8. Тогда эта погрешность не превышает 3%, что с инженерной точки зрения кажется вполне приемлемым.
Оценим допустимое для корректного применения линейной механики разрушения отношение радиуса пластической зоны гт к длине трещины при обобщенной плоской деформации. Для этого
формулу (3.72) нужно поделить на допустимую длину трещины по формуле (3.93):
|
|
Таким образом, корректное применение линейной механики разрушения возможно только в тех случаях, когда радиус пластической зоны не превышает 2% от длины трещины l или от размера минимального сечения.
