ОСНОВЫ СВАРКИ СУДОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ

МГНОВЕННЫЕ ИСТОЧНИКИ ТЕПЛОТЫ

Рассмотрим три основные схемы мгновенных источников теплоты: точечный, линейный, плоский в бесконечном теле.

Действие мгновенного точечного источника в бесконечном теле

Пусть в бесконечном теле (теле, не имеющем границ) в начальный момент времени t = 0 в объем dxdydz [см'] (точечный источник), нахо­дящийся в точке 0 системы координат XYZ, вводится конечное количе­ство теплоты Q [Дж] (рис. 13.4, а). Нас интересует изменение темпера­туры в любой точке пространства в последующие моменты времени Т(х, у, г, Г), где. г, у, z - координаты произвольно выбранной точки А.

Процесс распространения теплоты в теле должен подчиняться диф­ференциальному уравнению теплопроводности

— = tfV-7

Of

Начальные условия: в начальный момент времени t = 0 распределе­ние температуры в пространстве будет:

- в точке 0 согласно формуле (13.5)

740,0. 0,0) = О— ->х;

cpdxdydz

- в остальных точках пространства

ТЧ. т.у, г, 0) = 0.

Граничные условия отсутствуют, так как тело не имеет границ.

Решение этой задачи имеет вид

Т( R, г) = ^Ц-ехр ~ . ,.,

Ф(4я, д) : - 4а1- ( }

где R - пространственный радиус-вектор, характеризующий отстояние лю­бой точки тела (например, точки Л (.г, у, г)) от источника теплоты: R' = х2 + + у1 + г2.

Решение (13.22) получило название фундаментального решения общей теории теплопроводности. Анализ этого решения показывает, что процесс распространения теплоты является трехмерным, изотермические поверхно­сти представляют собой сферы с центром в точке 0.

Частный случай: действие мгновенного точечного источника на по­верхности полубесконечного тела.

В предположении, что граница X0Z полубесконечного тела (рис. 13А, б) является адиабатической, т, е, не пропускающей теплоту;

оТ

— = 0, - решение этой задачи оудет иметь вид

и/

j :ш І

I

где множитель 2 указывает на отсутствие патовины бесконечного тела при наличии адиабатической границы.

Действие мгновенного линейного источника в бесконечном теле

Пусть в начальный момент времени t = 0 в линейный элемент объе­ма, представляющий бесконечную призму с бесконечно малым сечени­ем dxdy [см2] и с осью, совпадающей с осью ОZ (линейный источник), вводится теплота с равномерной линейной интенсивностью Q, [Дж/см] (рис, 13,4, в).

Для решения этой задачи применим метод источников. Можно по­ложить, что мгновенный бесконечный линейный источник эквивален­тен бесконечному количеству мгновенных точечных источников интен­сивностью Q = Ot(t' [Дж], расположенных по оси ОZ от -=с до +qc. Элементарное повышение температуры от любого выделенного мгно­венного точечного источника можно определить по формуле (13.22). Просуммировав действие всех мгновенных точечных источников, по­лучим решение задачи

где R‘- пространственный радиус-вектор, характеризующий отстояние точки А от выделенного точечного источника с координатами (0, 0, z') R'2 = х2 + у2 + (z - z1)'2.

Определенный интеграл в выражении (13.24) подстановкой

г,2 (z-z'f

с = — сводится к известному интегралу

Aat ■ ґ '

После преобразований решение примет вид

где г - плоский радиус-вектор, характеризующий отстояние точки А от оси ОZ: г1 = Xі + г/2.

Анализируя решение (13.25), видим, что процесс распространения теплоты является двумерным (плоским), изотермические поверхности представляют собой цилиндры с осью ОZ.

Частный случай', действие мгновенного линейного источника в бес­конечной пластине.

Пусть в начальный момент времени t = 0 конечное количество теп­лоты Q [Дж] вводится в элементарный объем dxdys [см*] (линейный источник) (рис. 13.4, г).

Воспользуемся решением (13.25), в котором:

О

интенсивность линейного источника Qt

• учтем теплообмен поверхностей бесконечной пластины с окру­жающей средой [формула (13.19)].

Окончательно решение примет вид

где г' = Xі + у1.

Действие мгновенного плоского источника в бесконечном теле

Пусть в начальный момент времени t = 0 в плоский элемент объема, представляющий бесконечный в плоскости YQZслой толщиной dx [см] (плоский источник), вводится теплота с равномерной плоской интен­сивностью Q2 [Дж/см2 ] (рис. 13.4, д).

Применим метод источников. Можно положить, что мгновенный плоский источник эквивалентен бесконечному количеству мгновенных точечных источников интенсивностью Q=Ozd-'d:' [Дж], расположен­ных в плоскости YQZ. Элементарное повышение температуры от любо­го выделенного мгновенного точечного источника можно определить по формуле (13.22). Просуммировав действие всех мгновенных точеч­ных источников, получим решение задачи

где R'- пространственный радиус-вектор, характеризующий отстояние точки А от выделенного точечного источника с координатами (0, уz')

r'2 = Л-2+ (у _ у’уі + (г -г’у

Определенные интегралы в выражении (13.27) идентичны интегра­лу, рассмотренному в формуле (13.24).

После преобразований решение примет вид

где x - абсцисса, характеризующая отстояние точки А от плоскости Y0Z.

Анализируя решение (13.28), видим, что процесс распространения теп­лоты является одномерным (линейным), изотермические поверхности представляют собой плоскости, параллельные плоскости Y0Z.

Частный случай: действие мгновенного плоского источника в бес­конечном стержне.

Пусть в начальный момент времени конечное количество теплоты Q [Дж] вводится в элементарный объем dxF [см!] (плоский источник) (рис. 13.4, ё).

Воспользуемся решением (13.28), в котором:

• интенсивность плоского источника 0; = — [Дж/см2], где F - пло-

F

щадь поперечного сечения стержня, см2;

• учтем теплообмен поверхности стержня с окружающей средой [формула (13.21)].

Окончательное решение примет вид

В заключение следует отметить, что полученные решения (13.23),

(13.26) , (13.29) являются основой для получения решений, связанных с нагревом изделий в процессе сварки подвижными сосредоточенными источниками. В некоторых случаях, когда время действия сварочного источника теплоты незначительно, для инженерных оценок возникаю­щих при этом температурных полей эти решения можно использовать непосредственно, например: при точечной сварке, приварке шпилек, постановке коротких прихваток и в некоторых других случаях.