НЕВЕРОЯТНО - НЕ ФАКТ

ЗАКОН, НАЙДЕННЫЙ БЕРНУЛЛИ

Вероятность того, что при случайном броске монета ляжет гербом кверху равняется 7г. Значит, зная вероят­ность события, мы можем предсказать, что при стократ­ном бросании монеты герб появится 50 раз? Не обяза­тельно точно 50. Но что-нибудь около этого непре­менно.

Предсказания, использующие знание вероятности со­бытия, носят приблизительный характер, если число со­бытий невелико. Однако эти предсказания становятся гем точнее, чем длиннее серия событий.

Заслуга этого открытия принадлежит Якову Бернулли (1654—1705). Он был замечательным исследователем. Конечно, и Галилей, и Паскаль, и другие мыслители, ко­торые вводили вероятность как дробь, равную отноше­нию благоприятных случаев к общему числу возможных вариантов, превосходно понимали, что на опыте пред­сказания комбинаторных подсчетов осуществляются приблизительно. Им было ясно, что число бросков, при которых монета ляжет гербом кверху, не равно в точ­ности, а лишь близко к половине от общего числа брос­ков, а число бросков кубика, приводящих к шестерке сверху, не равно в точности, а лишь близко к Vo от общего числа бросков. Но насколько близко, сказать они не могли. На этот вопрос ответ дал Яков Бернулли. Открытый им закон, ко­торый мы называем «законом больших чисел», лежит в основе статистической физики; без этого закона не мо­гут обойтись статистики ни одной области знания.

Сущность этого закона весьма проста.

Положим, «честная» монета бросалась тысячу раз, потом еще тысячу раз, потом еще... И так много раз. Разумеется, герб редко появится ровно 500 раз. Будут серии, где отношение числа появляющихся гербов к 1000 будет совсем близко к ‘/г, и такие серии, где откло­нение будет довольно значительным. Каким закономер­ностям подчиняется это отклонение от теоретической вероятности? И — самое главное — как будет меняться отклонение от вычисленной вероятности с увеличением числа бросков?

Яков Бернулли строго доказал, что разности отноше­ния удачных бросков к общему числу бросков и теоре­тического числа вероятности (в нашем примере — от­клонения от 72) уменьшаются с возрастанием числа бро­сков, и эти отклонения могут быть сделаны меньше лю­бого малого, наперед заданного числа.

Отношение числа удачных бросков к общему числу бросков называют «частотой». Закон больших чисел можно сформулировать и так: по мере увеличения чис­ла опытов «частота» события сближается со значением вероятности.

Отклонения «частоты» от вероятности при большом числе бросков, измеряемом тысячами, становятся совсем незначительными. О результатах своих немудреных опытов по бросанию монеты поведали миру математики

XVIII века. В одном таком опыте герб выпал 2028 раз при общем числе бросков 4000; когда число бросков до­стигло 12 000, то оказалось, что герб появился 6019 раз; наконец, при числе бросков 24 000 герб выпал 12 012. Частоты при этом изменялись так: 0,507; 0,5016 и

0,5005.

Однако надо ясно представлять себе, что это сбли­жение «частоты» с вероятностью есть лишь общая тен­денция. Может случиться, что отклонения от вероятности для меньшего числа опытов окажутся такими же или даже меньшими, как и отклонения при большом числе опытов. Вообще же эти отклонения от предельных за­конов вероятности носят также статистический харак­тер.