НЕВЕРОЯТНО - НЕ ФАКТ

ВЕРОЯТНОСТЬ, КОТОРОЙ МОЖНО И ДОЛЖНО ПРЕНЕБРЕЧЬ

Любители парадоксов часто пытаются убедить чита­теля в противоречиях, которые якобы часто встречают­ся в проблемах вероятности.

Парадоксы возникают обычно в том случае, если игрой слов пытаются подменить практическую постанов­ку вопроса. Вот пример.

Капитан пожарной команды собирается провести учения. Разумеется, тревога должна быть неожиданной, и он решает выбрать день учений броском игральной кости: единица — понедельник, двойка — вторник...

шестерка — суббота (воскресенье у пожарной команды

выходной). Казалось бы, все ясно, и день тревоги будет выбран в соответствии с законами случая. Однако предположим, что проходит понедельник, вторник... на­конец, пятница, а тревоги нет. Значит, наверняка она будет в субботу. А такого положения допустить нельзя, ведь случайность изгнана. Значит, выбор дней тревоги с элементом случая надо ограничить пятницей. Но, вла­дея сим методом рассуждения и не дождавшись тревоги в четверг, пожарники будут твердо знать, что ее объ­явят в пятницу. И тогда дни учений надо ограничить четвергом. Но, не дождавшись тревоги в среду, пожар­ники будут твердо знать, что произойдет в четверг. Так­же отпадает и среда, и вторник...

Рассуждение это бессмысленно и вовсе не потому, что в понятии вероятности есть противоречия, а потому что полностью лишена содержания сама по­становка вопроса. Ясно, что в понедельник утром по­жарники могут ожидать проверки в любой из 6 дней, а во вторник в любой из 5, а в среду в любой из 4 и т. д. Парадокс, как всегда, результат игры слов и отрыва слов от действий.

Обращаясь к математику, прошу его написать под­ряд десять случайных цифр. Он, хитро улыбаясь, пишет подряд десять единиц, а я изображаю на своем лице недоумение. Математик снисходительно поясняет: «Я

десять раз подряд бросил монету. Она десять раз упа­ла цифрой кверху. Я обозначил единицей выпадение цифры, и вот вам результат моего опыта. Вы ведь не станете отрицать, что это явление случайное, и также ясно представляете себе, что подобное событие (то есть выпадение цифры 10 раз подряд) вполне возможно — его вероятность около одной тысячной? А с такой ве­роятностью следует считаться».

Все правильно. Только не следует делать из этого вывод, что в понятии «вероятность» заключены какие-то противоречия и неясности.

Прежде всего отдавайте, пожалуйста, себе ясный отчет, о чем идет речь — о вероятности серии событий (вероятность выпадения монеты десять раз кряду гер­бом кверху) или о вероятности одного случайного со­бытия.

О сериях событий разговор будет позже. А сейчас поговорим об одном событии. Мы ждем этого события.

Сейчас оно произойдет. Каков будет результат? Знаете вы это наперед?

— Я держу в руках камень. Сейчас разожму руки. Что будет?

— Смешной вопрос. Ответ очевиден заранее: камень упадет на землю.

— А теперь я подброшу вверх монету. Какой сто­роной она упадет на пол?

— Смешной вопрос. Ответ никому заранее неиз­вестен.

События, исход которых предсказать нельзя, мы на­зываем случайными. Падение камня на землю — собы­тие с достоверным результатом. Падение монеты на пол гербом вверх или вниз — событие со случайным ис­ходом.

Предсказать случайное событие мы не можем (эта фраза есть тавтология — «веревка есть веревие про­стое»), но можем знать заранее его вероятность.

— Какова вероятность, что эта монета упадет гер­бом кверху?

— Дайте сюда монету. Так. Она, кажется, правиль­ная, и если центр тяжести ее не смещен, то я не вижу причин, по которой герб был бы лучше цифры. Значит, вероятность, про которую вы спрашиваете, равна одной второй. Соображения симметрии приводят меня к тако­му заключению.

— Да, а если монета неправильная?

— Тогда величина вероятности для этой монеты мо­жет быть установлена только на опыте. Надо произ­вести много бросков и установить эмпирическое (опыт­ное) значение вероятности.

— Значит, к значению вероятности приходят двумя путями?

— Так точно. Либо симметрия события позволяет нам сделать предсказание вероятности его исхода, либо длительный опыт приводит нас к заключению о величи­не вероятности. Конечно, к соображениям симметрии надо относиться с осторожностью. Можно, скажем, по­торопиться и сделать заключение, что появление у мо­лодых родителей мальчика или девочки вполне экви­валентно выпаду герба или цифры у правильной моне­ты. Но, оказывается, дело обстоит не так, и вероятность появления на свет мальчика примерно на один процент выше. Длительное наблюдение позволяет установить та­кое значение вероятности и пользоваться им для пред­сказания грядущих событий. «Вот в этом и порочный круг, — может заявить любитель парадоксов. — Я определяю вероятность опытным путем, то есть анали­зом прошлого, и применяю ее к будущему. А откуда я знаю, что со временем эта вероятность не претерпит изменения?»

Но так можно сказать о любом событии. Откуда я знаю, что завтра взойдет солнце; откуда я знаю, что мой сосед по дому смертен; откуда я знаю, что на клене не вырастут яблоки? Возражать против научного ме­тода, исходя из подобных построений формальной ло­гики, совершенно бессмысленно. Человек не может жить, не приняв без доказательства целый ряд посылок, в том числе и уверенность, что действия законов при­роды в будущем неизменны.

Еще одна линия атаки на законы вероятности — это стирание грани между маловероятным и невозмож­ным. Несомненно, рассуждая формально, можно ска­зать, что и самые дикие события осуществимы. Легко рассчитать вероятность того, что воздух из комнаты, где вы сейчас трудитесь, выйдет во мгновение ока через открытое окно и работа останется недоделанной. Можно рассчитать вероятность того, что кот Васька отстукает на машинке, тыча в клавиши куда попало лапой, «Сказ­ку о царе Салтане». Нетрудно подсчитать вероятность появления одного лишь красного цвета в рулетке Мон­те-Карло в течение целого «рабочего дня» и красочно изобразить ужас и растерянность дирекции этого бого­угодного заведения... Все это можно; и действительно, вероятности будут отличны от нуля. Но отнести эти события на таком формальном основании к возмож­ным — значит играть словами.

События достаточно маловероятные не происходят. Этим законом мы можем и должны руководствоваться и в науке, и в житейской практике.

Какие вероятности практически равны нулю, можно всегда оценить. И эта оценка, разумеется, будет раз­ной, смотря о чем идет речь. Если о событии, касаю­щемся одного конкретного человека, скажем меня или вас, — это одно, если о событии, случившемся с абст­рактным землянином, — другое. И наконец, совсем иные оценки возникнут, когда от случайностей в мире людей мы перейдем к беспорядку в мире атомов.

Итак, прежде всего, как я оцениваю вероятності событий, которые касаются меня лично или вас, чита­тель? Точнее, какие вероятности событий мы с вамг считаем, не раздумывая, нереалистическими и не при­нимаем во внимание?

На этот вопрос отвечают обычно так: событие, ве роятность которого равна примерно одной миллионной считается практически несбыточным. Откуда мы взялі это число?

Количество дней, которое отпущено природой нал. грешным, равно примерно 25—30 тысячам. Следова­тельно, число простых жизненных фактов, которые мь повторно совершаем в своей жизни, измеряется мил

лионами. Значит, считаться с вероятностью одной мил­лионной — это вроде бы придавать значение каждому жесту, совершенному за время жизни.

Подойдем к этой же величине другим путем. Обыч­но человека, который не выходит из дому из-за боязни попасть в автомобильную катастрофу, считают не впол­не нормальным. Чему же равна грустная вероятность погибнуть в какой-либо день своей жизни под колеса­ми автомобиля, скажем, итальянцу, в стране которого проживает 50 миллионов человек, а прощается с жизнью из-за успехов автомобилизма около 10 тысяч человек за. год, то есть 25 человек в день? Оказывается, каждый итальянец, выходящий на улицу, имеет один шанс против 500 тысяч попасть сегодня под колеса. Мы видим, что итальянцы не считаются с вероятностями по­рядка одной миллионной.

Также поступают и жители других государств. Кста­ти, процент гибнущих в путевых катастрофах удиви­тельно одинаков по всем странам Европы и Америки.

А вот еще довод. В игорном доме в Монте-Карло ведется запись всех выходящих номеров. За время су­ществования этого богоугодного заведения ни разу не зафиксирована серия, состоящая более чем из 22 одно­цветных номеров кряду. Появление такой одноцветной серии имеет вероятность порядка десятимиллионных до­лей единицы. Значит, играя тысячу игр в день всю свою жизнь, вы можете не встретиться с таким поразитель­ным случаем.

Такая же примерно величина вероятности крупней­шего выигрыша и у держателей лотерейных билетов, то есть около одной миллионной. Хотя крупный выигрыш при этом и возможен, разумный человек не строит своих планов в расчете на него, как не страшится гибели в автомобильной катастрофе.

Мы вели разговор о вероятности как о руководстве к действию применительно к одному конкретному лицу, скажем, к моей личной судьбе. И другое дело, когда мы оцениваем вероятность происшествия применительно к абстрактным жителям.

Положим, я директор страховой компании. На ве­роятность своей гибели в автомобильной катастрофе я не обращаю внимания, но оценка вероятности такой смерти для некоего абстрактного гражданина моей страны меня волнует и лежит в основе моей деятель­ности, поскольку в стране проживает несколько мил­лионов человек.

Какую же вероятность должно иметь событие, что­бы мы откинули его' как невозможное, когда речь идет об абстрактном жителе Земли?

Эмиль Борель, французский математик, много сде­лавший для развития теории вероятностей, предлагает в качестве такой вероятности 10—15, то есть одну мил­лионную от одной миллиардной. Это число представ­ляется весьма разумным. А получается оно просто от уменьшения индивидуальной вероятности в число раз, равное населению земного шара.

Грубо оценив, что вероятность попасть под автомо­биль, выиграть пять тысяч в спортлото или дожить до ста двадцати лет лежит где-то далеко за пределами од­ной миллионной, вы будете смело ходить по улицам, откажетесь, имея лотерейный билет, от осмотра продаю­щейся дачи и не станете откладывать написание своих мемуаров до 2070 года. Таков вызод, который можно сделать, сталкиваясь с малыми вероятностями.

Но наш совет — не делать и обратного.

Не стоит всегда принимать во внимание и те вероят­ности, которые больше одной миллионной. Жизнь была бы очень утомительной.

По данным метеорологической статистики, солнеч­ное утро сменяется дождливым днем с вероятностью, лежащей в пределах 0,01—0,001. С этим считаться, во­обще говоря, надо. Но риск промокнуть не более дра­матичен, чем насморк, да дождь можно и переждать. С другой стороны, таскать с собой дождевой зонтик в хорошую погоду — значит неминуемо подвергнуться на­смешкам. Поэтому захватить зонтик стоит лишь тогда, когда по небу гуляют темные и подозрительные облака. Вероятно, так поступает большинство читателей. Раз­умеется, более серьезно стоит отнестись к вероятности дурной погоды при отправлении в далекую морскую прогулку на легком паруснике.

Таким образом, оценка вероятности события — вещь, несомненно, полезная и нужная. Следует старать­ся определить ее как можно более обстоятельно, ска­жем поинтересоваться прогнозом погоды, постучать по барометру и посмотреть, падает или повышается давле­ние. А окончательное решение принимать, соразмеряя вероятность неприятности с ценой риска. Задуматься о вероятности риска, приучить себя прикидывать величи­ну этой вероятности полезно для людей обеих крайно­стей — и тех, кто неоправданно рискует, и тех, кто не­оправданно осторожничает.

Привычка оценивать вероятности может оказаться полезной для обнаружения противоречий, ошибок и, мягко выражаясь, уклонений от истины.