НЕВЕРОЯТНО - НЕ ФАКТ

ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ

Однажды я медленно шёл по Парижу, разглядывал витрины магазинов и читал вывески. Цветастая надпись над входом грязновато-серого здания настой­чиво приглашала зайти и попытать счастья. Я удивил­ся, что игорный дом работает среди бела дня, — это не соответствовало сведениям, почерпнутым мною из клас­сической литературы — и... я зашел. Взору представи­лась поразительная картина: десятки людей стояли лицом к стене, и перед каждым находился цветной ящик. Подойдя ближе, я увидел, что они либо нажи­мали кнопку, либо дергали за ручку, будто заводя за­глохший лодочный мотор.

Через несколько минут я понял, в чем дело: люди играли с автоматами. Зрелище это неприятное, но ве­ликолепное поле для наблюдений психолога. Человек играет с судьбой. Один на один. Все побочные обстоя­тельства отсеяны. Нет ни соперничеств, ни личной не­приязни, ни необходимости скрывать свои чувства.

Есть автоматы, у которых вы можете выиграть только конфетку или сигареты, есть такие, которые играют на деньги, и, наконец, существует возможность наслаждаться игрой безгранично, вступив в единобор­ство с автоматом, выигрыш у которого дает лишь право дальнейшей игры. Бессмысленно, не правда ли? Но вот так оно есть. Эти автоматы вы можете найти в любом баре, в любом кафе любого города Америки и Запад­ной Европы.

В чем же состоит игра? В принципе она сводится к следующему. Выпускается на волю шарик, который под действием силы тяжести или щелчка пружины движется по доске, на которой установлены препят­ствия. От каждой преграды шарик может отскочить куда попало. Получив несколько десятков таких слу­чайных щелчков, шарик добирается до дна ящика и успокаивается в каком-то положении.

В зависимости от формы преград и от того, как они установлены, разные места дна ящика будут достижи­мы в различной степени. Определив из многочислен­ных опытов значения вероятностей окончания путеше­ствия шарика в том или ином конечном пункте, нетрудно построить правила игры, которые позволят автомату уверенно обыгпывать своего живого партнера.

В самой простой своей форме игровой автомат iv хож на так называемую доску Гальтона, которую ис­пользуют в лекционных демонстрациях.

Прошу взглянуть на рисунок. В воронку насыпают ся шарики. По очереди они мчатся вниз, отскакивакг то вправо то влево от препятствий и наконец достигаю' какой-то ячейки. В качестве препятствий можно брать шестиугольные бляшки или вбить в доску гвоздикк Для доски Гальтона разработана детальная теория Мы попытаемся обойтись без нее и предположить, чтс от каждого гвоздика шарик с равной вероятностьк может отскочить влево или вправо. Отклонение вправе

и Bjeeo будет происходить совершенно по тем же за­конам, что и появление в рулетке красного и черного. На одну комбинацию лллллл... или пппппп... приходит­ся множество комбинаций, состоящих из примерно рав­ного числа отклонений влево и вправо. Поэтому чаще всего шарик будет попадать в среднюю пробирку и реже всего в самые крайние.

Можно провести большое число опытов, и каждый раз шарики будут распределяться примерно одинаково. Если усреднить результаты, то получим гладкую сим - метричнуй колоколообразную кривую, которая назы­вается кривой Гаусса или кривой нормального распре­деления. Не кажется ли вам, читатель, странным, что какий-то кривой мы уделяем так много внимания. На небольшом клочке бумаги можно начертить сколь­ко угодно самых разнообразных кривых, и никому не придет в голову присваивать им имена или названия. А наша этой чести удостаивается. Почему? Не имеет ли она какой-то математический признак, раз она за­служила специальное название.

Несомненно. Сейчас мы поясним, в чем состоит ее математическая общность, только разрешите от реаль­ного опыта перейти к абстрактной схеме. И пожалуй­ста, имейте в виду, что так поступают всегда физики - теоретики, поэтому абстрагированием мы не нарушаем канонов науки.

Упрощение, которое мы введем, состоит в следую­щем: будем считать, что каждый столбик отличается от соседнего на единицу отклонений. Положим для конкретности, что доска состоит из 10 рядов препят­ствий. Будем считать, что шарик обязательно встре­чается с одним из препятствий каждого ряда и с рав­ной вероятностью отскакивает вправо или влево, при этом отклонения происходят всегда на один ин­тервал.

Тогда шарик, который попал в среднюю пробирку, отклонился 5 раз влево, 5 раз вправо. Следующая ячейка заполнена шариками, путь которых состоял из шести отклонений в одну сторону и четырех в другую. Далее идут пробирки, заполняющиеся шариками в соответствии с вариантами 7—3, 8—2, 9—1 и 10—0.

Вариант 5—5 осуществляется максимальным числом способов, 6—4 — уже несколько меньшим, 7—3 — еще меньшим...10—0 — самая редкая комбинация. Отсюда

ттштм строка

и характерный вид кривои, проходящей через вершины столбиков.

Высоты столбиков пропорциональны числу комби­наций, с помощью которых осуществляется тот или иной вариант. Об этом мы уже говорили (обратитесь, пожа­луйста, к стр. 17), рассматривая все возможные ва­рианты серии из 5 игр в рулетку.

Надо было бы для ясности выписать все комбинации для серии из 10 опытов. Пожалуй, мы пойдем на боль­шее. На этой странице изображен так называемый треугольник Паскаля, с помощью которого можно оп­ределять числа комбинаций для любых рядов испыта­ний. Для того чтобы продолжить этот треугольник хоть до бесконечности, нужно лишь время и умение скла­дывать. Даже таблицу умножения знать не обязатель­но, поскольку каждое число треугольника равно сумме
двух чисел, а именно соседних левого и правого верхней строки.

В результате этих нанпростейших арифметических операций мы получаем числа комбинаций левого и правого, красного и черного и вообще любых стати­стических «да» и «нет».

Как же пользоваться треугольником? Любая из его строк дает числа комбинаций для определенного числа элементов. На рисунке выделена пятая строка. Она от­вечает на все вопросы, касающиеся рядов из пяти испытаний. Числам 1, 5, 10, 10, 5, 1 (мы помним их) пропорциональны вероятности появления красного цве­та в пяти последовательных поворотах колеса рулетки 0 раз, 1 раз, 2 раза, 3 раза, 4 раза и 5 раз. Значение вероятностей мы получим, поделив каждое число тре­угольника Паскаля на общее число испытаний, кото­рое равно сумме чисел строки.

Возвращаясь к доске Гальтона мы можем сказать, что при десяти случайных встречах с препятствиями число шариков, которые попадут в крайние пробирки (все встречи привели к одним лишь левым или к од­ним лишь правым отклонениям), будет в среднем в 252 раза меньше числа шариков, попавших в средний приемник.

С гауссовой кривой приходится сталкиваться во всех областях знания. Универсальность ее объясняется очень просто: на нее укладываются вероятности откло­нений от среднего во всех случаях, если только откло­нения «вправо» и «влево» равновероятны. Если же от­клонения от среднего невелики, как это бывает очень часто, то подобное требование осуществляется всегда. Сейчас мы продолжим знакомство с этой замечатель­ной кривой, лежащей в основе любой статистики.