Механика трубопроводов и шлангов

Стационарное движение гибких стержней в вязкой среде

Во многих областях техники используют движущиеся гиб­кие стержни, находящиеся в вязкой среде (в воздухе или жидко­сти), что приводит к появлению аэродинамических сил сопро­тивления, направленных по касательной к осевой липни стерж­ня (рис. 15.1). В установившемся режиме форма стержня, име­ющего продольное движение, остается неизменной Такой ре­жим движения принято называть стационарным, а уравнения,, характеризующие форму стержня, эквивалентны уравнениям равновесия, поэтому они и рассматриваются в разделе статики.

К прикладным задачам, требующим решения уравнений рав­новесия при стационарном движении стержня, относятся задачи, связанные с работой ленточного радиатора, использующегося для отвода генла в работающих реакторах, смотки и намотки проводов и др. Ряд задач стационарного движения абсолютна

Шбкнх стержней (нитей) и методы их решения изложены в кни­ге [60], основное внимаиие уделено задачам стационарного дви­жения абсолютно гибких стержней в неподвижной среде (ско­рость потока равна нулю). В более общем случае возможно ста­ционарное движение стержня в движущейся среде, когда кроме касательных аэродинамических сил па стержень действуют и нормальные аэродинамические силы (рис. 15.2). Уравнения рав­новесия стержня с учетом продольного движения (скорости №о) практически совпадают с уравнениями равновесия трубопрово­дов, содержащих движущуюся жидкость, только в уравнениях второй главы следует принять Ро=0 и 0, что_дает ri = . Поэтому получаем следующее выражение для силы Q (в безраз­мерной форме записи):

—^£>) ^l"{-Q20^2"f'Q3it^3- (15.1)

В более подробной записи векторные уравнения стационар­ного движения гибкого стержня в вязкой среде имеют вид (в безразмерной форме)

-§^ + У+?о=0; (15.2)

J^L + (e, xQ,)=0; (15.3)'

De.

0; (15.4)

—+(/ц — 1) е ^21е2"Ь ^31^3 = Ф (15.5)

(15.6)

Да

Где y — безразмерная погонная сила тяжести: qa — полная аэ­родинамическая распределенная сила, зависящая от скорости потока г? о и скорости продольного движения стержня гсц. Вектор q0 удобно представить в виде

Ча = Ч« + Ч 1«1 [?П = ?»Ю. ?!-=?! (®и. '»о)]- (15-7)

Если скорость потока о0 = 0 (стационарное движение стерж­ня в вязкой покоящейся среде), то gn=0, т. е. остается только касательная сила аэродинамического сопротивления Цё.. Воз­можность представления аэродинамической силы qa в виде

(15.7) связана с тем, что можно считать силы, действующие на стержень, зависящими от относительной скорости потока:

Vot—Vq-^-Wq. (15.8)’

Выражения для аэродинамических сил с учетом продольного движения стержня. Получим выражения для компонент вектора в неподвижной системе координат, воспользовавшись соотноше­ниями (11.12)—(11.16).

В соответствии с формулами (11.3) — (11.4) для модульных значений аэродинамических сил имеем

К*)«;

При исследовании стационарного движения стержня исполь­зуются переменные Эйлера, поэтому скорость Wq в vi)T следует взять со знаком минус. Проекции dot на нормаль н касательную к осевой линии стержня равны:

Ый=®в, (®1=®Ь COS 9а), (15.9)

Т. е. сила лобового сопротивления от скорости w не зависит. і

У=cn? d(vn) (15.10)

Іде vn=vqsinrpa.

Так как рассматривается неподвижный элемент стержня (при замене w на —w), то угол ср равен ранее введенному углу

(рис. 11.2). Условия (11.12), (11.13) остаются без изменения,

Т. е.

Б»-ё,)=0; (15.11)

?„ [■»„ X е, ] = Чп [(•!)„ 4- ®i„) х 7,] = q„ [ї0 X 7,] = 0, (15.12)

Поэтому выражения для проекций qnxi на неподвижные оси пол­ностью совпадают с выражениями (11.20)—(11.22).

Из соотношений (11.14) — (11.16) определяются проекции Ях; на неподвижные оси, которые в данном случае зависят как от v0, так и от г%

Окончательно получаем следующие выражения для проекций

■Qnxi и qlXi:

Япхх —Ят Sin Та (COS Ct —Х COS <$а)

Яп г, = — qn) sin 9а COS Фа-Хг; (15.13)

Япхз —Ям sin <РС(sin а —x's. cos %);

?іл =(?>«*• cos2<fa — ql2Xi cos )у„

Cos!<ta — g12X2 cos % --qnx-i) y,; (16.14)

<?№ = COS2 4a — COS Cfr-f qnx'3) y,,

Где

/Зр dcnv о V$dcxv

Япо=—-г.----- ; Я^—7Гл----------- sign (cos cpfl); (15.15;

2Aj з ZA'K

Pdc v^Wq №$dcxw

?12=_ЙГ; 9“=^Sr:

Cos<p„=cos a. jcl+sin a-Xs, Yi = sipn(d0c°s—®'o)- (15.16)

Выражения для qx,• (15.14) содержат множитель

4gn(t>0 cos ф0—су0), позволяющий учесть изменение направления 7, в зависимости от изменения направления относительной ско* рости (vr-i) 1. Входящие в этот множитель v0 и ш0 удобнее при численном счете брать размерными.

Полная аэродинамическая сила, направленная по касатель­ной к осевой линии стержня,

Я=tain cos2 <Ра — Яхъ COS - j-qn) Yi. (15.17)

Полная аэродинамическая сила (с учетом продольного дви­жения стержня!

?о = ?* + (?111 C0S2yo-Ґ12 cos ffe + tfujYie!, (15.18) i. е. б форме (15.7) или через проекции в неподвижных осях:

Яа—ij - (15.19)

При ay0 = 0 получаем ранее выведенные соотношения (11.26) — (11.28). В частном случае движения стержня в вязкой покоящей­ся среде получаем (при £^=0)

Ча=Ч{- (15.20)

Стационарное движение абсолютно гибкого стержня. В этом частном случае уравнение равновесия стержня в потоке

Аэродинамические силы, входящие в (15.22) — (15.24), *1а. х1 ~<1пх1Ях[> где слагаемые силы находятся нз выражений (15.13)—(15.14).

Безразмерные множители, входящие в выражения для аэро­динамических сил для абсолютно гибкого стержня, находятся по формулам

§ 16. Численное решение уравнений стационарного движения абсолютно гибкого стержня

Аэродинамические силы обладают особенностью, которая поз­воляет получить алгоритм численного решения уравнений ста­ционарного движения, — они зависят только от производных искомых координат хі, т. е.

Яа=Яа(хи *2, Х2). (16.1)

Введем следующие обозначения:

Хі—Іїх, Х2 = и2у Хг=ііз=ґ—іі — иІ. (16.2)

Исключая из (10 1) х$, имеем

Яа=Яа{и 1» 11ъ). (16.3)

Подставив (16.2) в первые два уравнения системы (15.22), "(15.23), после преобразования получим

-- «і+0,^-+9«.=0; (№.4)

1=а (1(і-5)

Уравнения стационарного движения в проекциях на связан­ные оси имеют следующий вид:

—+?і=0;

<Зі^Г+?2=0. д3 = 0,

Где ф — угол между направлением касательной с и осью х\

— проекции распределенной аэродинамической силы и сил тя­жести на связанные оси. Умножая первое уравнение системы (16.6) на щ и вычитая из него уравнение (16.4), имеем

<2.('6.7)

Умножив то же уравнение на 112 и вычитая из него (16.5), получим

(21^=д1иг-9<ис,+ 1. (16.8)

Разделив уравнение (16.7) на (16.8), имеем

Йщ__ Чи Яах,

Йщ. ~Я “2 —Я ах* +1 ’

Из уравнений (16.8) и первого уравнения системы (16.6) следует, что

—Л-=----------------- 91-------- . (16.10)

Оъйиъ Яи2 — Чаха + 1

Интегрируя соотношение (16.10), получим

Ц=са*(-и*-£-н)- (161,)

Разделив соотношения (16.2) на (16.8), имеем

(Ь&ь «|“1 — + •’

АХ*}________________ «2____________

<3^2 01«2 —?«*, + 1

Из уравнений (16.2) и (16.8) можно получить следующие два уравнения:

—-—“1 „ ! (16.13)

Интегрирование уравнений (16.12) и (16.13) приводит к со­отношениям (с неизвестными верхними пределами)

С о, а,^+1 ■_

1 J дт— Чах»+1

} 9142— Чах, + 1 1

С <?11/” 1 —

Х,~ 1 --------------------- —I------- I - с-;

-J?1“2 — ?ог, + 1 1 °

, (^ц2 | _

— »«*, + • ь‘

Полеченные выражения (10.14) для координат точек осевой линии нити совместно с выражением (16.11) для силы натяже - 1 кия нити дают возможность (численным итерированием) по­лучить пространственную форму нити и силу натяжения для случая, когда проекции распределенной нагрузки заданы в за­висимости от щ и и2.

Выражения для дахг и Ці, записанные через введенные неиз­вестные, имеют вид

Яа-^=Чпч sin Ча (cos а — Hi COS Cf„)-| (?10 COS2 tfa — q,2 cos 'ia - f - qn) у, щ; I

(16.15)

?«,= — q„o sin % cos <?a''h + Wm cos2?,,—qa cos %+,?„) Y№;

(16.16)

Ча r.=q„0 sill Ґo (sin a — us cos 'fa) + (ql0 cos2 cp„ — qI2 cos qn) ytu3;

(16.17)

4i=(?io cos2 <fa — qn cos <p0 + Vu) YiB2. (16.18)

Где cos <fn = щ cos « + ti3 sin a.

Переменные U и «2 связаны дифференциальным уравнением

(15.9) , решение которого позволяет через квадратуры опреде­лить натяжение (16.11) и координаты (16.14) точек осевой ли- 1 кии (форму). Имеем следующие краевые условия (точка А, см. I рис. 15.2)

В=0; х1=х2=х3=0 е=1; Хх=Х1кі Хі=Х2к, Х3=Х3к.

Кроме того, при е=0 считаются известными ггі(О), «2(0).

В ЭТОМ случае произвольные постоянные Сз, С4, Cs И Сб равны і пулю. Численно решая уравнение (16.9), находим зависимость и от и2 [при данных значениях ы((0)], затем определяем инте­гралы (16.14). Находим численные значения параметров М|(0) «2(0), ПрИ КОТОрЫХ 6=1, Х<(1) —Хік.

Изложенный метод численного решения уравнений стацио­нарного движения нити в однородном потоке произвольного на­правления для частного случая аэродинамических сил был реа­лизован при решении задачи о форме баллистической антенны.