Механика трубопроводов и шлангов

Определение собственных чисел

Точный численный метод определения собственных значений.

Для определения собственных комплексных чисел воспользуемся системой уравнений (38.25) — (38.30) для стационарного пото­ка жидкости, полагая

И^( а1>+<й!))е“+,и’;

Д<? = (ду!,” +гДСо2>) <г(”+,р”;

ДМ= (ЛЛ, о1) + Щ!)) (39.1)

Дх=(Дк(|1)4-/Д42))

Е{°+т

После преобразований, полагая (?ц=Дд1=Ду=Д{А=ао = 0, и, разделяя действительные и мнимые части, получим следующие уравнения:

ЙДСЖ1) -/и — т т

—+ +

Ч~ Аг^о2* — я2 («2 — Р2) и[х) -{- л22а? гго2)=0;

ЛАС}™ (М2)

~ Ь ~------------- ЬА^^с —^и, ачо

— п2 (а2 — р2) |Д2) — 2пф$иа * = 0;

ЙАЛ5^>

- + ЛА^1) + ^л[-^—МлА^’ + ЛДОо”- 0; (39.3)

<гдЖ2) й^<2>

—------------ [-Д. ДЛй +Лл—-- ----- -АмА,:., -[-ЛеЛОо =0;

—|-АД1)-Л-1ЛЛ41)=0;

~ ■А-1ДЛ1ог>=0; -^-+Л,7Д1>-Л^)=П;

(39.5)

—5—ЬА^о - Л'о =0.

Йе

Систему уравнений (39.2)—(39.5) можно записать в виде

Г~~А(а, р)2=0, (39.6)

Где

2=2 (дй4, дор>, ш$ ш[2 й2 Т& ГД2));

Теме однородных уравнений относительно двенадцати неизвест­ных постоянных ск типа

£|*«Р(1,а,?)с,=0 (к=1,...,12), (39.8)

Определитель которой должен быть равен нулю, т. е.

D(, Яу, а, й)= 0. (39.9)

Метод определения собственных значений (частот) для некон­сервативных задач изложен в § 25. Значения а,- н |3,, при кото­рых определитель D обращается в нуль, дают собственное комп­лексное число

<*/+#/.

(Более подробно об определении X/ сказано в § 40, где решает­ся конкретный числовой пример.) В результате получаем зависи­мость at и Р/ от скорости w0 и силы Р0. Критические значения па­раметров потока w0* и Ро* соответствуют случаям, когда а} обра­щается в нуль. Как правило, наибольший практический интерес представляют именно критические скорости, для определения ко­торых следует положить а=0 и, задаваясь параметрами стацио­нарного потока жидкости (и>0, Ро), связанными уравнением Бер­нулли, искать (численным счетом) значения (3, при которых опре­делитель D (1,ьуо*, Ро 0, р) обращается в нуль.

Определение собственных функций. Для каждой пары чисел а/, р3 сис'темы (39.8) находим одиннадцать чисел ср в зависимо­сти от двенадцатого числа, которое считается равным единице. При однородных условиях (при е=0) остальные двенадцать компонент вектора С равны нулю. Для большей определенно­сти рассмотрим случай,^согда при е=0 имеет место жесткое за­крепление, т. е. i/il)=/^2)=vo1>=v^2)=0, что дает cI3=..;=j = с24=0. Поэтому система уравнений (39.8) для определения c[j) cSjl в этом конкретном случае имеет вид

2 */.0. «/. p;)ci"=0 (i= 1..... 12). (39.10)

Из (39.10) определяем

4»=a(pJ)cW (р = 1,... ,11); (39.11)

Считаем civ = 1. Определив ср в зависимости от а/, рг, из (39.7) находим собственные функции фи*1):

Rf>«^)-2^(e‘ Ь)С*} (к=1»...,24), (39.12)

В результате получаем для каждого комплексного собствен­ного значения комплексную собственную функцию:

ДОо^чУ’+ЧЙэ (к =1,2,3); ЛАГ#>=<р‘л + г<р“н!3 1р=7. 8,9);

(у=13, 14, 15); (т=19, 20, 21).

Для приближенных решений с использованием принципа воз­можных перемещений, соотношения (39.13) удобнее представить в виде векторных уравнений

£і =<рі - /фі

Компонентами вектора Z1 являются силы (д^сДь (Дф&РЬ и моменты (дЖск})ь а компонентами век гора Z^2. являются

Углы (чЙ})2 и перемещения (йо,?)ь (и[къ.

Приближенный метод определения собственных значений. Изложенный выше точный численный метод определения собст­венных значений требует сравнительно большого времени счета п мощной вычислительной техники, поэтому практический инте­рес представляют приближенные методы, которые могут быть реализованы более простыми ЭВМ.

Одним из таких приближенных методов является метод, ис­пользующий принцип возможных перемещений. Для приближен­ного решения в качестве координатных функций можно взять собственные функции свободных колебаний пространственно - криволинсйного трубопровода при т0=0, т. е. предварительно найти частоты и формы колебаний из системы уравнений [част­ный случай системы (38.25), (38.30) с исключенным ДМ]

0д^_дд(2=0; (39.18)

Дт? де,

Д(А?') - I-дл&«+Л.,,АхЛ,^ = 0; (39.19)

— + А, й*-Д1Г=0; (39.20)

Де

—+Л«-ЛЛ^=0. (39.21)

Система уравнений (39.18) — (39.20) учитывает начальное напряженное состояние (матрицы Ам и Ак), в том числе и напряженное состояние, вызванное давлением в жидкости. Для определения частот и форм колебаний можио воспользоваться методом начальных параметров или одним из вариантов метода прогонки [19]. Если трубопровод состоит из кусочно-прямолиней­ных участков, то более эффективным при определении частот и форм является метод конечных элементов [10]. При ш0=0 сис­тема (трубопровод) консервативна, поэтому решения можно ис­кать в виде

Д{2=Дф0е,‘Р'с, Дх= Дх^?-*, Дм—у0ег3т. (39.22)

Из (39.18) — (39.21) получаем систему уравнений:

+ Л, дд + Лэ Д* + = 0;

АШЬ _|_ л, д£ + (Д, +А „А-1) Д.¥0= 0;

Л-Ч. МС+АЛ^(): (39.23)

^-А0ч+АХ=0.

Решая систему (39.23), численно находим (3,-, при которых выполняются краевые условия при 8=1 (более подробно это сделано в гл. V) и соответствующие им собственные функции 9* 251 ф(Я, которые можно представить в векторной форме (собствен­ные векторы), соответствующие каждому из неизвестных

АО*" —3я, .~4‘ йл —(39.24)

Для приближенного определения собственных комплексных значенин_для системы (38.25) — (38.30) (при гтоФО, $п=Ад= = Ду=Ди=0) полагаем

А

/-1 ,1 Д^= 2 ЙЛ/>Л. Й = '^%пАЛ. (39.25)

/-1 Т"!

Где — неизвестные функции времени.

Ограничившись двучленным приближением из системы

(38.25) — (38.30), получаем (исключив Ак.)

1*=Ж1>Я,+«аГ'К,+АЛ,'Я>+АЗР}?>+

-Лгл~1'й2>/?-Ай1,/Ь1,-Д. й!)/Ьч=0; (39.26)

2,-^У5?+^7?,+^)/&+Лр/Й»+АлА-<а,>/5У+

+ Ал1Л-1?ад + А1?11>/Ь1, + АЙ2,Л‘!) = 0; (39.27)

+*ч/.2)+а. й‘I- а. й2,/;2) - -

-А->Й!)/Й)=0; (39.28)

1 >+?,2)/„2)+А.^11/!/1 I А,<?52)/»2> - Ы' У.1’ -

-А2й2,/12) = 0. (39.29)

Возможные вариации неизвестных берем равными

8Д0=2^'»8А(1«. 6ЛЖ = 2Йу)8А5/);

1 ' (39.30)

Й=УЙ»М1» й = УЙ»1мУ>.

/-1 >-1 В соответствии с принципом возможных перемещений умно­жаем скалярно уравнения (39.26) — (39.29) на вариации неиз­вестных векторов (39.30) так, чтобы соответствующие получаю­щимся слагаемым размерные величины имели размерность ра­боты и требуем, чтобы интегралы от получающихся при этом выражений были равны нулю, что приводит к следующим соот­ношениям:

8М,( I (ад4) * I ВЛ12) | (Ъм'Р) Л = 0; (39.31)

«4” ((1д,^,))йе+мР) ((1л1^2>)Л=0; (39.32)

Гл1" | йг + мР '|‘ (1„й2)) Г1в=0; (39.33)

Ел|:) ^ ( О^П * = 0. (39.34)

С о

В силу произвольности вариаций 8 4/° получаем систему урав-

« л. ^(1.2) /г(1,2)

Нении, содержащих восемь неизвестных функции /<г % /А1 7 /11,2) и /(и'2). Без учета инерции вращения шесть уравнений (39.32), (39.33) и (39.34) являются алгебраическими относитель­но неизвестных функций /<г’2 /(Л1,2), /11,2) и /к'2). Из алгебра­ических уравнений можно определить /Ь1,2), /Я’2) и /11,2) в зависимости пт /1ь2) и исключить эти функции из уравнений

(39.31) , т. е. получить два уравнения относительно двух неиз­вестных функций /ы ) и /(и2):

!>,, Л"+Л,2/12’ !- *,,/!/ ’+*, Л,2)+С, ,Л‘ ’ с12/<,2' = 0;

А21Л', + А227;12> + *2,Л1) + *22/?’ + са/о,>+^/«2, = 0 (39.35)

Или

#7«+я/,+^7«=0. (39. зб)

Соответствующее уравнению (39.36) характеристическое уравнение имеет вид

(к* || ДО-]-Бк+с\=0 (39.37)

Или

А4 -|- а2л3 -|- а2л2 а3Х -|_а4=и. (39.38)

Из (39.38) находим приближенное значение первых двух комплексных чисел в зависимости от параметров потока жидко­сти:

2=аи2 ± *3,_2. (39.39)

253

Для анализа з'стойчивости малых колебаний трубопровода, имеющего упруго закрепленный или свободный конец, можно воспользоваться критерием Гурвица

Критерий Гурвица позволяет установить и критические зна­чения параметров потока (численно) Ро* и ££>о* (без определе­ния корней уравнения (39.38), при которых один из определите­лей Гурвица обращается в нуль.

§ 40. Колебания прямолинейных трубопроводов

Уравнении малых колебаний прямолинейного трубопровода. Рассмотрим прямолинейный трубопровод. Уравнение малых колебании этого трубопрово­да (с учеТЛ’.т силы внешнего вязкого сопротивления) имеет вид

(40.1)

Стержень может быть растянут (или сжат) как внешними силами, не за­висящими от потока жидкости, так и силами, вызванными потоком жидкости на криволинейных участках или в местах, где поток жидкости изменяет на­правление движения В частности, на прямолинейный, при выходе потока под углом к оси трубопровод действ)ст сосредоточенная сила Ри проекция кото­рой на направление оси в равна

(?<,£> =(Р0 + Л, ш?) (1-а® а).

Осевые силы могут существенно изменить частотный спектр стержня, поэтому при определении частот трубопровода начальное напряженное сос­тояние, вызванное потоком жидкости, имеет большое значение. Если учиты­вать вязкость жидкости, то стержень дополнительно нагружается распреде­ленными осевыми силами трения /ц, которые приводят к" появлению стати­ческого осевого усилия (є), что необходимо учитывать в уравнениях малых колебаний.

Точный численный метод определения собственных значений краевой за­дачи. В соответствии с обіг 'М методом определения собственных комплексных значений, изложенным в $ Я9, ищем решение уравнения (40 1) в виде

(40.3)

Подставив это соотношение в уравнение (40 П. получим

Йил

^ + 2/2іїє>0 (а - г Щ ^ + ап (а + і?) — {Рц 4- п^^)] X

1&и

X + (« + *Р)2 а,,и = 0.

+ '2nw0a —~~f~ + ta<‘ь + <а2 — Я2)J Ц1 —

_М + 2иЯоа--ЮЙ,-(Ро-1-П1®?)]-^-=-0; (40.5)

—---------------------------- --------------------- 2/ZlZ0(lЯ -|- 2/ijZynU - г---- "Г «0ак2 т (а P“) г

Rfe4 ЙЕ rfe

-I - 2u? Ul - [£>”> - (Po ni«дl —<4U-6>

Введем новые неизвестные ; z-2 - u2; z3 uA; ^4 = %; 2,5 = tt1;

2*b = Kgl Z1 — иЪ z& ~ иъ которые позволяет получить систему из восьми линейных однородных уравнений первого порядка:

I + AZ - 0. (40.7)

0 —ап 0 Яis Cic Я 17 «18

0—1 О О 0—1

-10 о

«1й--- tQio — (ро + «15 - ^niw0a;

Яi„ = — 2nW$ an — а0а а - — Я2;

«18 — (А, ?-I 2uЯ); — [Q[J' —(Po+nieiJ)];

«25 27t1&y(l3; Я_>,j - 2»xWq л;

O-n — u0a -+ 2ap; ЯД — «0« + «2 ~ ?2-

Решение уравнения (40 7) золжно удовлетворять краевым условиям, на пример, при шарнирном закреплении (см рис 40 2, о) преем: 1) при е=0 z7=zЯ=0, г3=г4=0; 2) при е=1 z1=zB=0, г3=гА=0.

Для выполнения условии 2 необходимо, чтобы определитель D, содержа­щий элементы фундаментальной матрицы решений, был равен нулю, т. е.

Значения а,, р,-, при которых определитель обращается в нуль, дают соб - ствснные комплексные числа: >„=«,- +*|3{.