Механика трубопроводов и шлангов

Уравнения малых колебаний пространственных криволинейных трубопроводов

Из уравнений (37.12) — (37.15), (37.17) — (37.23) можно по­лучить уравнения малых колебаний трубопроводов, полагая: (?=(?о+Аф М=Л/о+Л17, х=хо+Ах, д=5о+Д5 и т. д., где Д@, ДЛ/, Дх, Д(/ — динамические составляющие соответствующих векторов; векторы фо, Мо, д0 имеют компоненты в базисе {ег}, равные статическим значениям (фю, Мг0). Компоненты вектора ■%о характеризуют осевую линию трубопровода и положение глав­ных осей в пространстве при равновесии трубопровода, нагру­женного стационарным потоком жидкости. Компоненты векто­ров V, © и й считаются малыми величинами, что позволяет при­нять а,«/~ ~...=0. Возможны два случая влияния потока

Жидкости при колебаниях трубопровода.

В первом случае поток жидкости при колебаниях остается стационарным по скорости, т. е. № (е, т) = йУо(е) (это возможно, только для несжимаемой жидкости), а изменение давления ДР(е, т)' (вызванное силами инерции при колебаниях) считает­ся малым, т. е. Р(е, т) — Рс(е) +ДР(е, т), где АР(ъ, т) — динами­ческая составляющая давления.

В этом случае можно считать (как и было сделано)

Р-Оо-МЗ - (38-1)

В результате получаем следующую систему векторных урав­нений малых колебаний трубопроводов со стационарным пото­ком идеальной жидкости (в связанной системе координат):

«г (е) + 2и, га (» х е,) -| а0 -1- Дх х +

X Л(3 -{- Д#; (38.2)

Х х^о — ^0 х ?1 = й^; (38.3)

ЛЛ? = ,44*: (38.4)

%- + Ч <« = Л(ёх—£10)==А*Д,—Д^з; (38.5)

~тг—**■ (38-8)

Уравнение (38.7) является дополнительным уравнением, по­лезным при преобразованиях. Уравнения (38.2) — (38.3) содер­жат вектор дф, зависящий от безразмерной силы АР, т. е. име­ется еще одно неизвестное.

Если краевые условия не связаны с силами ДФ/1*, то система уравнений (38.2) — (38.8) позволяет определить А’<р, а АР нахо­дится из уравнения (2^ 14):

«ЛЦ--(38.9)

Если же краевые условия зависят от ДС^1) (иапрнмер, для трубопровода со свободным концом), то уравнение (38.9) следу­ет рассматривать совместно с системой (38.2) — (38.8).

Во втором случае поток жидкости нестационарный В этом случае

•ге; (з, (г, т);

Р(е, г)=Я0(е)-1-/31(е, г) + ДР(е, т); (38.10)

Гдеш^е, т) и /?1 (е, х)—переменные во времени составляющие скорости потока и давления, определяемые при неподвижном трубопроводе; (?ц —дополнительное внутреннее усилие'в стерж­не, вызванное нестационарной частью потока.

Входящие в выражение для () слагаемые соответственно рав~

} - [р0 оо (О)] (38.1 п

5п=«цё,=[/>,(«. х)/2+-^-{2'т0{0)№1(0, т) + щ>?(0, х)]ё,-,

(38.12)

Др=ДУ|1) —ДР(е, т)/2ё,. (38.13)

Рассмотрим более подробно проекцию уравнения (37.2) на на­правления касательной:

Ду , / дт. дчю д{рРо . /Г1Г. ...

+ /_+■_ =----------------------- /,. (38.14)

То окончательно получаем

Тг1*+т,(*а ^ (38.16)

2 д1 ~ " I Ы 1 дх ) дз У

Для несжимаемой жидкости справедливо условие (37.4), т. е.

Ло(0)»_(0, t)=F2(s)^w{s, 0- (38.17)

Поэтому уравнение (38.16) преобразуется к виду

Т2 4- т2-—— -)—— (/Пг/ш2) =—— (38.18)

Оь а« у

При нестационарном движении жидкости скорость

■№=ЧЮ0 (5) -|- ЧЮХ (5, /), (38.19)

Поэтому в произвольном сечении трубопровода скорость можно выразить через скорость на входе, т. е.

Го(*. /)=£*-Н(0) ,'-®,0(0, щ.

Р 2

Переходя к безразмерным величинам [как это было сделано при получении уравнений (37.12) — (37.15)], уравнение (38.18) можно преобразовать к виду

«1/2-р - I Ч г)- 4- П, М- (тао (0) + 2те0 (0) ?см (0, т) +

От ог с? е |_ /2

-1- 0(0. Т>1 = --~/*+Тя. (38.20)

Из уравнения (38.20) можно получить систему уравнений [аналогичную (28.11) — (28.13)] для определения Р0, Р и АР, входящих в (38.11) — (38.13) для трубопровода переменного се­чения:

"■^(4г)+^/2=¥я'°; (38-21)

---- М(2®„«’и,+«&) 3-1 + Тял: (38-22)

1 дг д& де. ^ /2 ]

(№,„=^(0, т», (38.23)

Дх2 де

Где 721,0 — постоянная во времени безразмерная распределенная нагрузка (например, вызванная силами тяжести); 721,1—дина­

Мическая распределенная нагрузка (например, вызванная уско­ренным движением объекта); Дугі— дополнительная динамиче­ская нагрузка.

Уравнение малых колебаний трубопровода при нестационар­ном потоке жидкости отличается от уравнений (24.52) — (24.57) только уравнением поступательного движения (38.2), которое принимает вид

Д? и. л, да, дт& - дА б, . - ~ ,

П2 '~дъ? і7Є} (<° Х Щ ~1н Єі =='1Г+Ау Х +

X АС? —Дх X 1^1:|-|-*о X (Зц-[- Д<7 -}- Д'у - (38.24)

Нестационарные составляющие потока Р н связаны урав­нением (38.22). Для входящей в Д(7 силы ДР имеется дополни­тельное уравнение (38.23).

Уравнения (38.2) — (38.8) можно представить в более удоб­ной для решения записи, т. е.

- + А^) + “о-гг + «1-:

-

Е,—Дз„ а*—*(, х Фи+Д?-г ДV;

- + Л. ЛЛЇ++ Д, Д<3= АІГ,

ДЛ/ = ЛДх; -~--А%и=А{1кч;

- дА

Дх,

Дх

-|-ЛхДм = Дх,

«2 М -^Г - + 2я, К (0) + ®1 (0, Т)1 + лЛ23 +

-гк. л-олен ^,Лсй.1 = Д?„+АУк; (38.32)

У - [йМк] + екОх,0ДЖк + ев,./д>'.;Ж^-ек,-1д011=Д!*к; (38.33)

(38.34)

(38.35)

(38.36)

(38.37)

(38.38)

Основные особенности уравнений (38.32) и (38.33) заключа­ются в том, что они зависят от статического напряженного со­стояния (<3,о и Л1^о) и что для криволинейных трубопроводов при нестационарном потоке (при РфЪ и ш 1^0) имеют место вы­нужденные нестационарные колебания (из-за слагаемых-^^- ек23 и ЕкЛИгоФп).

Если не учитывать инерцию вращения стержня и жидкости, то уравнения малых колебаний стержня [кроме уравнения посту­пательного движения (38.32)] полностью совпадают с уравнения­ми малых колебаний стержней, взаимодействующих с внешним потоком, т. е. с уравнениями (24.53) — (24.57) при /°=0. Полу­ченные уравнения малых колебаний трубопровода переменного сечения, заполненного движущейся жидкостью (внутренним по­током), могут быть использованы и при исследовании малых ко­лебаний трубопровода, взаимодействующего как с внутренним, так и с внешним потоком. Для этого надо взять вместо Д<?к аэро­динамические силы Дг? ш (см. § 20). В более подробной форме записи имеем следующие проекции уравнения поступательного движения элемента трубопровода на связанные оси (38.32):

"Ь хзо АФг — х2о— Д<?1 ~Ь (38.39)

Яа(«) +2я, 1та0(0)+®, (0. ^1», —уу-Ь

—Ах5(21()-[- Д*3(?ц-[-х10ЛС? з — I *зс$11 — ^Ч2~~ ДТг> (38.40)

'h(e) Ц1 “2'1' f™010) +w'(0’ T)l "‘2~ Лх2<?1»~ A"ifto+

+*s, iQi — *„AQ2-Ay.2Qn -*ajQu = А? ч+Аул. (38.41) Уравнение (38.39) с учетом уравнения (38.22) принимает вид

П [г)^1------ t)XQi

DAQmi

-

-[- ДизФго Н - ^ 1 2' + Та л — A>i2Q--; 0 - j~ k30AQ2 -

— *2oAQ3—д<?1 + Д Yi - (38.42)

Для трубопроводов постоянного сечения (с постоянной пло - I щадыо канала) в уравнениях (38.32) — (38.38) считаем

П2(г)~1у /г=1, А»—const.. (38.43)

В уравнения систем (38.32) и (38.33) входят компоненты Quo и! Мио, которые определяются из уравнений равновесия стержня, заполненного _стационариым потоком жидкости и статическими силами до, , цо-

В прикладных задачах возможны следующие два случая при определении статического напряженного состояния трубопрово­да. В первом случае для жестких трубопроводов приближенно можно считать, что статические силы и стационарный поток прак­тически не изменяют форму осевой линии, т. е. вектор ко Для на­груженного трубопровода равен вектору %0 для трубопровода в естественном состоянии. Во втором случае форма осевой линии при нагружении статическими силами может очень сильно отли­чаться от формы естественного состояния и тогда вектор %о яв­ляется неизвестным. Если стационарный поток и статические си­лы естественную форму стержня практически не изменяют, то для определения £о(1) И Мо имеем следующие линейные уравне­ния (см. гл. II):

Для статически определимой задачи (в векторной форме за­писи)

А(А&1 КА - _(38 47)

Л

А1ч° +АУАч,—Л»д=0 (Д-'0=ч0ё1-|-ф1)ё24-!Ри«з): (38.48)

М.«„= А0Д^,; (38.49)

А10=ЛД*, (38.50)

Где Лх0—малое приращение вектора хо, вызванное действием потока н статических сил; «о — малый вектор смешения точек

Осевой линии; Дуо — вектор малого поворота связанных осей

При статическом нагружении стержня. Найденные значения $о(1) н Л7о из системы (38.44) — (38.45) или (38.46) — (38.50) под­ставляются в уравнения малых колебаний (38.32) — (38.33).

Во втором случае, когда х0 неизвестно, надо решать систему нелинейных уравнений равновесия [система (5.23) — (5.27) см.. гл. II].